专题01 轴对称与线段的垂直平分线（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦轴对称与垂直平分线，以分层题型构建从基础识别到综合应用的完整训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|7类21题|覆盖图形识别、折叠变换、性质应用等核心考法，标注重难高频|从轴对称概念生成到垂直平分线性质推导，形成"定义-性质-判定-应用"逻辑链| |综合攻坚|15题|融合尺规作图与角平分线综合题，体现跨知识点迁移|通过变式训练深化对称思想，衔接中考动态几何与最值问题，培养几何直观|

专题01 轴对称与线段的垂直平分线 常考题型·精准突破 题型1 轴对称图形的识别（重） 题型2 根据成轴对称的特征进行求解（重） 题型3 折叠问题（高频） 题型4 线段垂直平分线的性质求解（高频） 题型5 线段垂直平分线的判定定理（难） 题型6 作垂直平分线（尺规作图）（高频） 题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1轴对称图形的识别 1．（2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题）下列四种剪纸图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．（2026·福建厦门·三模）下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 3．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）在下列四个标志图中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形．对四个选项逐一判断即可． 【详解】选项A：节水标志，找不到能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形； 选项B：环形箭头标志，找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形； 选项C：WiFi标志，沿图形中间的竖直直线折叠，直线两侧部分能完全重合，是轴对称图形； 选项D：旋转形花朵图案，找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形． ∴选择C． ◆题型2根据成轴对称的特征进行求解 4．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，与关于直线对称，交于点O．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 而和不一定平行， 故选D． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点 M，若，，则下列说法不一定正确的是（    ） A．且 B． C． D．与的周长相等 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出角的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点，∴对称轴l是线段的垂直平分线，即且，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，，∵，，， ，故B正确，不符合题意； C项：根据题目中的条件，无法证明，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称，∴，由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等，∴它们的周长也相等，故D正确，不符合题意． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线和直线的交点不一定在上 B． C．与面积相等 D．垂直平分， 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． ◆题型3 折叠问题 7．（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质可知， ． 8．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，正方形中，点是上一点，连接，将四边形沿所在直线翻折到这个正方形所在的平面内，点，的对应点分别是点，，，则的度数是_________度，的度数是_________度． 【答案】 20 40 【分析】先得出，再根据角的和差即可得的度数；先得出和的度数，再得出的度数，然后根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴，， 由折叠的性质可知，， ∴． 9．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，图1是一张足够长的纸条，其中，点E，F分别在，上，（）．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕……依次类推． （1）第1次折叠后，的度数为_______； （2）第n次折叠后，的度数为_______．（用含m和n的代数式表示） 【答案】 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：（1）如图2， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）如图3， 同理可得， ， ……， ∴． ◆题型4 线段垂直平分线的性质求解 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上任一点，则周长的最小值是___________． 【答案】11 【分析】利用垂直平分线，将转化为，根据两点之间线段最短，得到，再加上的长，即可得到最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长的最小值是11． 11．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 【答案】3 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，列出两个三角形周长式子并作差，再用线段等量代换消去、、，化简后直接算出的长度． 【详解】解：由尺规作图痕迹可得，直线是线段的垂直平分线， ，． 的周长为， 的周长为， ， ∴． ∴， ， 12．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，的平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若 ，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，利用 证明 ，得到，再证明 ，得到，即得，最后根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ． ◆题型5线段垂直平分线的判定定理 13．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：，， 在与中， ， ， (2) 证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3) 解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （3）略 ◆题型6 作垂直平分线（尺规作图） 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用尺规作图即可． （2）根据垂直平分线性质和三角形周长的差值计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2) 【分析】（1）由尺规作图的垂直平分线作法：分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点；过这两点作直线，即为线段的垂直平分线；直线与交于点，与交于点； （2）由角平分线得，由结合为的外角，可得的度数；在中由内角和得，再由外角的性质可得，从而得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程，并完成计算． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的中线； ②过点A作边上的垂线交于点E； (2)若，，则中线长度的取值范围是______． 【答案】(1) ①如图，、即为所求， ②即为所求； (2) 【分析】（1）①作出线段的垂直平分线与交于点，连接即可； ②由过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可求解； （2）延长到点M，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：延长到点M，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， 即， ◆题型7 线段垂直平分线与角平分线的综合 19．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． 20．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2) 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，平分，于点，为的中线． (1)若，，则； (2)连接，求证：直线垂直平分线段； (3)若，且比的周长大，能否求出的值若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【答案】(1)2 (2) 证明：平分，，， ， 又， ， ， 点，均在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段； (3) 能求出的值； 理由：是边中点， 比的周长大， ， ， 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义、性质，垂直平分线的判定，三角形的中线的性质． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，得出，根据角平分线的定义得出，进而求得，再根据，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得，证明得出，结合，即可得证； （3）根据三角形中线的定义，结合题意可得，结合，即可求解． 【详解】（1）在中，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）对称美展现了平衡、和谐等美学特质，常被运用于各领域作品的创作与设计上．下列品牌标志是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．对各选项图形进行分析判断即可． 【详解】解：A、C、D不是轴对称图形，B是轴对称图形． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，则可得到当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即为12， 故选：C． 3．（2026·贵州黔东南·一模）下面是小星同学的尺规作图步骤：（）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点；（）画射线；（）连接．根据上面的作图方法，下列结论错误的是（    ） A． B． C．直线是线段的垂直平分线 D．是线段的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：由作图可知，，， ∵， ∴，故选项正确，不合题意； ∵， ∴，故选项正确，不合题意； ∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项正确，不合题意； 由作图无法得知，， ∴不能确定点是否在线段的垂直平分线上， ∴不一定是线段的垂直平分线，故选项错误，符合题意． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王芳同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．已知点E，F，M，N，G，H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图1，将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上的点，点D落在点处，如图2，展开后将正方形沿过P点的线段折叠，使点G落在上的点，点A落在点处，连接．有如下结论： ①图1中，； ②图1中，若，则； ③图2中，； ④图2中，点P是的中点； ⑤图2中，若平分，平分， 则；其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据折叠的性质（轴对称）、正方形的性质、平行线的判定与性质以及多边形内角和定理，逐一分析五个结论的正确性． 【详解】解：①由折叠的性质可知，点 E与点关于直线 对称， ∴， ∵点 在 上， ∴，故①正确； ②由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵ 正方形中， ∴，故②错误； ③由折叠的性质可知，点 G 与点 关于直线 对称， ∴， ∵点在上， ∴， 由①知 ， ∴， 如图，过点 作 ， 则 ， ∴，， 由折叠可知， ∴， ∴， 即，故③正确； ④点 P 是 与 的交点，题目条件无法推出 ，故④错误； ⑤根据折叠可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据③得：， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个． 二、填空题 6．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，将沿DE翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为________． 【答案】/44度 【分析】根据折叠的性质对应角相等：，，；先利用平角求出，算出，再在中求出，最后利用平角求． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ，， ， ， 三角形内角和为，，， ， ， ． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，由点A和点D为对称点可知与是对应角，从而得出，代入数值即可． 【详解】解：∵蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点， ∴与是对应角， ∴． 8．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 9．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为点，点P关于对称的点为点，当点P在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，过点O作交直线于点H，利用三角形的面积公式求出的长，再根据轴对称的性质可得，，从而得出的面积为，根据垂线段最短可知当时面积最小，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作交直线于点H， ∵，， ∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图所示，是直角三角形，，，点是边上的中点，是射线的动点，将沿翻折，得到（点不与点重合），连接，当是直角三角形时，________． 【答案】或 【分析】分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当点在线段上，且时，如图： 则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，且时，如图：则，作， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． (1)吗？说明理由； (2)若的周长为，cm，求长． 【答案】(1)解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， ， ； (2)． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【详解】（1）略； （2）解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即， 长为． 12．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1) (2) 证明：连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）连接，由（1）知，，易得，根据，求出，再根据，，推出，进而得到，结合，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 14．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）如图①，在中，，点是内的一点，分别作关于，的对称点，，连接，，． (1) ； (2)求的度数； (3)如图②，再作关于的对称点，分别连接，，，，求与的度数之和． 【答案】(1)128 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）由轴对称的性质可得，，再由角的和差关系可得，据此可得答案； （3）由轴对称的性质可得，，，可证明，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由轴对称的性质可得，， ；． （3）解：由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， 同理可得， ． 15．（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】(1)，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 (2)9 (3) 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01轴对称与线段的垂直平分线 内容概览 目常考题型精准突破 题型1轴对称图形的识别（重） 题型2根据成轴对称的特征进行求解（重） 题型3折叠问题（高频） 题型4线段垂直平分线的性质求解（高频） 题型5线段垂直平分线的判定定理（难） 题型6作垂直平分线（尺规作图）（高频） 题型7线段垂直平分线与角平分线的综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1轴对称图形的识别 1.D 2.B 3.C ◆题型2根据成轴对称的特征进行求解 4.D 5.c 6.A ◆题型3折叠问题 7.50°150度 8.20 40 9.(180-m)° 180 2- 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4线段垂直平分线的性质求解 10.11 11.3 12.3 ◆题型5线段垂直平分线的判定定理 13. 【答案】(1) 证明：：AB=CD,∠A=∠C, 在△ABO与△CDO中， ∠A=∠C ∠AOB=∠COD AB=CD ·.△ABO2ACDO(AAS). (2) 证明：△ABO≌△CD0, ∴.OB=OD BE=DE, ∴点O与点E在线段BD的垂直平分线上， ∴.OE垂直平分BD 14. 【答案】(I)证明：：DF⊥AC,DE⊥AB, ∴.∠AED=∠AFD, AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, 在△AED和△AFD中， ∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD :.AAED≌△AFD(AAS) :DE=DF,AE=AF 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF; (2)解：由(1)得△ADE≌△ADF, ∠AED=∠AFD=90°，DE=DF, CFDE(AB+C)3. .·DE=4 .AB+AC=18」 .BC=12 ∴△ABC的周长为30. 15. 【答案】(1)11 (2)45° 3) 解：点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB, :直线I垂直平分边BC,点P在直线1上， .'PB=PC, ,点P在边AC的垂直平分线上， .PA=PC, ∴.PA=PB, ∴.点P在边AB的垂直平分线上. 【详解】(1)解：：直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, .DB=DC, .AC=AD+DC=AD+DB. ,△ABD的周长为19， .AB+AD+DB=19」 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=8, .AD+DB=11, 即AC=11: 故答案为：11： (2)解：：∠ADB=90°， ∠BDC=90°， 又DB=DC, ∴.∠ACB=∠DBC=45O (3)略 ◆题型6作垂直平分线（尺规作图） 16. 【答案】(I)如图，DE即为所求， 米 (2)AC=3 【详解】(1)略. (2)解：，BC的垂直平分线DE交BC于点E, .'BE=CE, :C△ME-C△ME=2, :(AB+AE+BE)-(AE+CE+AC)=2, .AB-AC=2. AB=5, 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=3 17. 【答案】(1)如图，直线即为所求： E / (2)∠ACF=48° 【详解】(1)略 (2)解：：BD平分∠ABC,∠ABD=24°， .∠FBC=∠ABD=24° .∠FCB=∠FBC=24°， .∠CFD=∠FCB+∠FBC=24°+24°=48°， 在△ABD中，∠A=60°，∠ABD=24°， .∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-60°-24°=96°， ,∠ADB=∠CFD+∠ACF ∴.∠ACF=∠ADB-∠CFD=96°-48°=48° 18. 【答案】(1) ①如图，AD、AE即为所求， ②AE即为所求： (2)1<AD<6 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)①略 ②略 (2)解：延长AD到点M,使DM=AD,连接BM, D B 是 的中线， M :AD△ABC ∴CD=BD. 在△ADC和△MDB中， AD=DM ∠ADC=∠MDB CD=BD .△ADC≌AMDB(SAS). .BM=AC=5, 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM, 即7-5<AM<7+5, 即2<2AD<12, .1<AD<6 ◆题型7线段垂直平分线与角平分线的综合 19. 【答案】(1)65° (2)证明见解析 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，∠BAC=40°， ∴.∠ACB=50°， :CD平分∠ACB, :∠BCD=∠ACD=∠ACB=25° 21 .∠BDC=65° 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：CD平分∠ACB,BD⊥BC,DE⊥AC, .BD=DE, CD=CD. .RtaBCD≌RtECD(HL), :.CB=CE, .CD垂直平分BE. 20. 【答案】(1) 证明：DE平分∠ADC, .LEDC=∠EDF, .EF⊥AD, .∠DFE=∠EFA=90°， 在△EDC和△EDF中， ∠EDC=∠EDF ∠C=∠DFE=90°， ED=ED .△EDC≌aEDF(AAS), EC=EF, :E是BC的中点， .EC=EB, .EB=EF, 在Rt△EAB和Rt△EAF中， 「EB=EF AE=AE' ..RtEABRtEAF(HL), ∴.∠EAB=∠EAF .AE是∠DAB的平分线： (2) 证明：由(I)知Rt△EAB≌Rt△EAF, .AB=AF, ..EB=EF, 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.线段AE垂直平分BF. 21. 【答案】(1)20 (2) 证明：AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, :.DE =DC, 又：AD=AD, .RtAAED≌RtAACD(HL), .AE=AC, ∴点A,D均在线段CE的垂直平分线上， ∴直线AD垂直平分线段CE: (3) 能求出AD的值： 理由：F是边AC中点， .AF=FC. AADF比△DCF的周长大3， ..(AD+DF+AF)-(CD+DF+CF)=3. ∴.AD-CD=3. .CD=DE=2 ∴.AD=3+2=5. 【详解】(1)在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°， ∴.∠BAC=50° AD平分∠BAC, :∠DAC=∠BAC=250 ∴.∠ADC=90°-∠DAC=65° .'∠CFD=45 .∠ADF=∠ADC-∠CFD=65°-45°=20°， 故答案为：20； (2)略 (3)略 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 二、填空题 6.44°44度 7.70 8.6 32 9.9 10.99°或9° 三、解答题 11. 【答案】(I)解：AB=EC,理由如下： :EF垂直平分AC, ..AE=EC, AD⊥BC,BD=DE, ..AB=AE, :.AB=EC (2)8cm. 【详解】(1)略： (2)解：△ABC的周长为28cm, .AB+BC+AC=28cm, .AC=12cm, .AB+BC=16cm, ..AB+BD+DE+EC=16cm. 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可得：AB=EC, 又BD=DE, 2×16cm=8cm, 1 :DE+EC=AB+BD= 即DC=8cm, ∴DC长为8cm. 12. 【答案】(I)证明：·AF是∠BAD的角平分线， ∴.∠BAF=∠GAF :AD⊥BC,FE⊥AB, ∴.∠GDF=∠BEF=90° .∠BFE=∠GFD, .∠B=90°-∠BFE,∠G=90°-∠GFD, .∠B=∠G」 在△ABF和△AGF中， [∠B=∠G ∠BAF=∠GAF AF=AF .△ABF≌aAGF(AAS), ..BF=GF (2)AG=5, 理由：AD⊥BC,D是BC中点， ∴AD是BC的垂直平分线， .AB=AC=5. 由(1)得，△ABF≌aAGF(AAS). .AB=AG, .∴.AG=AC=5 13. 【答案】(1)3 (2) 证明：连接CE, 10/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 由(I)知BC=CF,RtAABCS≌RtAAFC, .AB=AF, .AE=AG」 .AB-AE=AF-AG,BE=GF, .2DF+AE=AD,DF+GF+AG=AD. .'.DF=GF, .DF=BE, .∠B=∠CFD=90°， .△BCE≌aFCD(SAS), .CE=CD. ∴点C在DE的垂直平分线上 【详解】(1)解：，∠B=90°， BC⊥AB ,CF⊥AD,AC平分∠BAD, ∴.∠BAC=∠CAF, ..AC=AC. .RtAABCS≌RtAAFC(HL), .BC=CF, BC=3, .CF=3 (2)略 14. 【答案】(1)128 (2)104° (3)256° 【详解】(1)解：，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠BAC=52° 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠ACB=128°： (2)解：由轴对称的性质可得∠M1AB=∠MAB,∠M2AC=∠MAC ∠M,4AM,=∠MAM,+∠MAM2=2∠BAM+2∠CAM=2(LBAM+∠CAM)=2∠BAC=104°，. (3)解：由轴对称的性质可得∠M,BA=∠MBA,∠M,CA=∠MCA, ∠MBC=∠MBC,∠M,CB=∠MCB .∴∠M,BM3=∠MBA+∠MBA+∠M,BC+∠MBC =2∠MBA+2∠MBC =2(∠MBA+∠MBC) =2∠ABC, 同理可得∠MCM3=2∠ACB ∠MBM3+∠MCM3 =2∠ABC+2∠ACB =2(∠ABC+∠ACB) =2×128 =256° 15. 【答案】(I)CB,CB,CB,AB,两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 (2)9 (3)104 【详解】(1)解：如图③，在直线I上另取任意一点C(与点C不重合)，连接AC,BC,B'C. :点B与点B关于直线I对称， 直线I是BB的垂直平分线. ∴CB=CB,CB=CB, ∴.AC+CB=AC+CB=AB 在△ACB中，AB<AC+C'B, .AC+CB<AC+CB',即AC+CB最小 “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决 的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决.小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两 点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； (2)解：如图，直线m与AB交于点D,连接BP 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n A D】 B ,直线m垂直平分BC, ∴.B、C关于直线u对称，BP=CP, ∴.AP+CP≥AB ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， .AB=5,AC=4」 ∴.△APC周长的最小值是AB+AC=5+4=9 (3)解：分别作点P关于OM、ON的对称点P、P”,连接OP'、OP”、P'P”,交OM、ON于点A、 B,连接PA、PB,此时△PAB周长的最小值等于PP”. D 由轴对称性质可得，OP'=OP”=OP,∠POA=∠POA,∠P"OB=∠POB, :.∠P'OP"=2∠MON=2×38°=76°， :.∠0P'P"=∠0P"p'=(180°-76)÷2=52 ∴.由轴对称的性质可得，∠BPO=∠OP"B=52°，∠APO=∠AP'O=52°. .∠APB=∠APO+∠BPO=104°」 13/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01轴对称与线段的垂直平分线 内容概览 目常考题型精准突破 题型1轴对称图形的识别（重） 题型2根据成轴对称的特征进行求解（重） 题型3折叠问题（高频） 题型4线段垂直平分线的性质求解（高频） 题型5线段垂直平分线的判定定理（难） 题型6作垂直平分线（尺规作图）（高频） 题型7线段垂直平分线与角平分线的综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1轴对称图形的识别 1.(2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题)下列四种剪纸图案中，属于 轴对称图形的是() B D 2. (2026福建厦门三模)下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是(） 米 C 3.(25-26八年级下·重庆江北阶段检测)在下列四个标志图中，是轴对称图形的是() 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 令 ◆题型2根据成轴对称的特征进行求解 4.(25-26八年级上：广西柳州期中)如图，△ABC与△AB'C'关于直线MN对称，BB交MN于点O.则 下列结论不一定正确的是() A.AC=4'C" B.△ABC≌△AB'C C.AA'⊥MN D.AB∥B'C 5.(25-26八年级上·安徽芜湖阶段检测)如图，△ABC与△AB'C关于直线I对称，连接AA交对称轴1 于点M,若∠CAB=50°，∠C'=30°，则下列说法不一定正确的是() M A A.AM=AM且AA'⊥I B.∠B=100° C.AM=AB D.△ABC与△AB'C'的周长相等 6.(25-26八年级上：黑龙江哈尔滨期中)如图，△ABC与△AB'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点， 下列结论中错误的是() M 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.直线AB和直线A'B的交点不一定在MN上 B.AP=A'P C.△ABC与△AB'C面积相等 D.MN垂直平分AA,CC ◆题型3折叠问题 7.(26-27八年级上广东湛江开学考试)如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D,C分别落在D,C 的位置.若∠EFB=65°，则∠AED'= D D 65 8.(25-26七年级下重庆荣昌·期末)如图，正方形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE,将四边形 ABCE沿AE所在直线翻折到这个正方形所在的平面内，点B，,C的对应点分别是点G,F,∠BAE=70°， 则∠DAE的度数是 度，∠FED的度数是」 度. D E B 9.(25-26七年级上湖南岳阳期末)如图，图1是一张足够长的纸条，其中AD∥BC,点E,F分别在 AD,BC上，∠EFC=m°(0<m<90),如图2，将纸条折叠，使CF与EF重合，得折痕FG.如图 3,将纸条展开后再折叠，使CF与FG重合，得折痕FG.将纸条展开后继续折叠，使CF与FG,重合，得 折痕FG,…依次类推。 E G G B 图1 图2 图3 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)第1次折叠后，∠EGD的度数为 (2)第n次折叠后，∠EG,D的度数为 (用含m和n的代数式表示) ◆题型4线段垂直平分线的性质求解 10.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，AB=4,AC=6，CB=7,EF垂直平分AC 点P为直线EF上任一点，则△ABP周长的最小值是 11.(25-26七年级下河南平顶山期末)如图，在△ABC中，△ABC的周长为18cm,通过尺规作图， △ABD的周长为l2cm,则CE= cm D 12.(25-26八年级下四川达州期中)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD和AC边的垂直平分线DE 交于点D,DM⊥BA的延长线于点M,D⊥BC于点N.若AM=2,BC=7,则AB的长为一 M ◆题型5线段垂直平分线的判定定理 13.(25-26八年级上云南昆明期末)如图，AD与BC相交于点O,AB=CD,∠A=∠C,BE=DE. 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABO≌△CD0: (2)求证：OE垂直平分BD 14.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交 AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (1)证明：AD垂直平分EF: (2)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 15.(25-26八年级上·浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC 于点D,E,连接BD (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为一 (2)若∠ADB=90°，求∠ACB的度数： (3)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直平 分线上，并说明理由. ◆题型6作垂直平分线（尺规作图) 16.(25-26七年级下福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB=5. (I)求作BC的垂直平分线，分别交AB,BC于点D,E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)连结AE,若△ABE的周长比△ACE的周长大2，求AC的长， 17.(25-26七年级下·河南南阳期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D. 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)请用无刻度的直尺和圆规作线段BC的垂直平分线I,分别交BC,BD于点E,F(保留作图痕迹，不 写作法)； (②)在(1)的条件下，连接CF，,若∠A=60°，∠ABD=24°，∠FCB=∠FBC,求∠ACF的度数. 18.(25-26八年级下·河南郑州期中)如图，在△ABC中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规 完成作图过程，并完成计算. B ()尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作△ABC的中线AD: ②过点A作BC边上的垂线交BC于点E: (2)若AB=7,AC=5,则中线AD长度的取值范围是 ◆题型7线段垂直平分线与角平分线的综合 19.(25-26八年级下·甘肃白银期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点 D,过点D作DE⊥AC于点E,连接BE交CD于点F. (1)若∠BAC=40°，求∠BDC的度数： (2)求证：CD垂直平分BE 20.(2026八年级下山东青岛专题练习)如图，∠ABC=∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠ADC, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点E作EF⊥AD,垂足为F,连接AE、BF, (I)求证：AE是∠DAB的平分线. (2)求证：线段AE垂直平分BF. 21.(25-26八年级上·河北邢台期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, DF为△ADC的中线. E B (1)若∠B=40°，∠CFD=45°，则∠ADF=°： (2)连接CE,求证：直线AD垂直平分线段CE: (3)若DE=2,且△ADF比△DCF的周长大3，能否求出AD的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请 你补充条件并解答. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)对称美展现了平衡、和谐等美学特质，常被运用于各领域作品的创 作与设计上.下列品牌标志是轴对称图形的是() 2.(25-26八年级上山西吕梁期末)如图，在△ABC中，AB=5,AC=12,BC=13,DE是BC的垂直 平分线、M是直线DE上一动点，则MA+MB的最小值为() 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.10 C.12 D.13 3.(2026贵州黔东南·一模)下面是小星同学的尺规作图步骤：(1)以点0为圆心，适当长为半径画弧， 交OA于点M,交OB于点N:(2)分别以点M,N为圆心，大于2MN长为半径画弧，两弧在∠AOB内 部交于点C;(3)画射线OC;(4)连接MN,根据上面的作图方法，下列结论错误的是() M B A.△OMC≌△ONC B.∠MOC=∠NOC C.直线OC是线段MN的垂直平分线 D.MN是线段OC的垂直平分线 4.(25-26七年级下辽宁沈阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N,在分别以点M、N,为圆心，大于MN的 长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点D②以点D为圆心，以适当长为半径作弧，交AB 于点M、N,在分以M、N为圆心，大于方MN的长为半径作强，两孤交于点Q:作别线D0文 AB于点E,若AC=5,AB=12,则BE的长为() B D A.5 B.6.5 C.7 D.8 5.(25-26七年级下四川绵阳阶段检测)在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，王芳 同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线.已知点E,F,M,N,G,H是正方形ABCD边上的点， 点P是正方形内一点.如图1，将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上的点E',点D落在 点D处，如图2，展开后将正方形沿过P点的线段MN折叠，使点G落在GH上的点G,点A落在点A处， 8/12 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接FA'.有如下结论： ①图1中，GH⊥EF: ②图1中，若∠AGD'=&,则∠GHB=90°-a: ③图2中，∠MA'F+∠A'FE-∠AMN=180°， ④图2中，点P是MN的中点： ⑤图2中，若NA平分∠BNM,FA平分∠BFE, 则∠NA'F=135°：其中一定正确的结论有() G M A D D D G E A E 图1 图2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.(25-26七年级下·北京期末)如图，在△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边 上的点F处，若∠FEC=76°，则∠BDF的度数为 7.(25-26七年级下·山东济南期末)木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代 如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线！对称，点A和点D为对称点，点B和点C为 对称点，若∠A=70°，则∠D的度数为度. 8.(25-26七年级下·重庆綦江期末)如图，在△ABC中，点D是AC中点，过点D作ED⊥AC交AB于点 E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,若点F是BE中点，△ABC的周长为20，CD=4,则AF=— 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F E 9.(25-26七年级下重庆万州期末)如图，∠AOB=45°，点MN分别在射线OA、OB上，MN=9, △OMW的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为点B,点P关于OB对称的点为 点B,当点P在直线NM上运动时，△OPB的面积最小值为一. A P M NB 10.(25-26七年级下·河南郑州期中)如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠C=36°，点D 是BC边上的中点，E是射线CA的动点，将△CDE沿DE翻折，得到△DEF(点F不与点B重合)，连接 BF,当△BDF是直角三角形时，∠CED=」 C E D B 三、解答题 11.(25-26七年级下四川达州期末)如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点F,交BC于点E, AD⊥BC且BD=DE,连接AE. B DE (1)AB=EC吗？说明理由： (2)若△ABC的周长为28cm,AC=12cm,求DC长. 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26七年级下·江西萍乡期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AF是∠BAD的角平分 线，点F在BC上，过F作FE⊥AB,垂足为E,交AD的延长线于点G. (I)求证：BF=GF: (2)若D是BC的中点，且AC=5,求线段AG的长度，并说明理由. 13.(25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，点E、G分别是边AB、 AD上一点，连接DE、CG、AC.过点C作CF⊥AD于点F,已知AC平分∠BAD、AE=AG, 2DF+AE=AD (1)若BC=3,求CF的长度； (2)求证：点C在DE的垂直平分线上. 14.(25-26七年级下·贵州贵阳期末)如图①，在△ABC中，∠BAC=52°，点M是△ABC内的一点，分 别作M关于AB,AC的对称点M,M2,连接AM,AM1,AM2. B M M M M M 图① 图② (①)∠ABC+∠ACB=_°； (②)求∠MAM2的度数： (3)如图②，再作M关于BC的对称点M,分别连接BM1,BM,CM2,CM,求∠M,BM,与∠M,CM, 的度数之和 15.(25-26七年级下·吉林期中)综合与实践 11/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从 A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海 伦利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”， 图1 图2 图3 图4 图5 (1)【题型解决】如图①，小明将A,B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点B 关于直线I的对称点B,连结AB与直线交于点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的， 小明对此进行了说明.以下是说明过程： 如图③，在直线I上另取任意一点C”(与点C不重合)，连接AC”,BC',B'C" :点B与点B关于直线对称， ∴直线I是BB的垂直平分线. ..CB= CB= ∴.AC+CB=AC+ 在△ACB中，AB<AC'+CB, .AC+CB<AC'+C'B',即AC+CB最小. “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解 决的问题，转化为直线！“异侧”线段距离问题解决.小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是 请你完成上面填空。 (②)【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点，若AB=5, AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值为 (3)【模型拓展】如图⑤，已知∠MON=38°，P为∠MOW内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B, 当△PAB的周长取最小值时，∠APB的大小是为 度 12/12