14.3角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 班级 姓名 . 角平分线的性质 角平分线的判定 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 图像 已知 ①OP平分∠AOB ②PD⊥OA于D PE⊥OB于E ①PD=PE ②PD⊥OA于D PE⊥OB于E 结论 PD=PE OP平分∠AOB 几何语言 ∵OP平分∠AOB 且PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE ∵PD=PE 且PD⊥OA，PE⊥OB ∴OP平分∠AOB 作用 证明两条线段相等 证明角相等 添加辅助线的方法 ①垂两边；②垂中间；③截等长构造对称 考点一 角平分线的性质 1.如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 2.如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 3.如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 4．已知，如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB＝DC，DE＝3，AB＝4，∠BDC＝α，则△ABD的面积为 　6　 ，∠BAC＝ 　180°﹣α　 ． 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质求出DE＝DF＝3，证出Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），再根据全等三角形的性质及四边形内角和定理求解即可．． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于E， ∴DE＝DF＝3，∠CED＝∠BFD＝90°， ∴△ABD的面积＝AB•DF＝×4×3＝6， 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）， ∴∠BDF＝∠CDE， ∴∠FDE＝∠BDC＝α， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣α＝180°﹣α， 故答案为：6，180°﹣α． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 5..如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数； （2）若DE＝8，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC＝70°，再利用角平分线的定义得到∠BAD＝35°，然后根据三角形外角性质可计算出∠ADC的度数； （2）过D点作DH⊥AC于H点，如图，先根据角平分线的性质得到DH＝DE＝8，然后垂线段最短求解． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+35°＝85°； （2）过D点作DH⊥AC于H点，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DE＝8， ∵点F是AC上的动点， ∴DF的最小值为DH的长， 即DF的最小值为8． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 6．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，四边形中，，平分，点P是延长线上一点，且．证明：． 【答案】 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】此题主要考查了余角的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 由三线合一可知，然后利用等腰三角形的性质结合互余的定义即可证明． 【详解】略 8.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE＝BD． 【分析】延长CE、BA交于点F，利用已知条件证明△ABD≌△ACF，得到BD＝CF，再通过证明△BEC≌△BEF得到CE＝，从而证明CE＝BD． 【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F． ∵CE⊥BD，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°． 又∵∠ADB＝∠EDC， ∴∠ABD＝∠ACF． 在△ABD与△ACF中， ∴△ABD≌△ACF（ASA）． ∴BD＝CF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE． 在△BCE与△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）． ∴CE＝FE，即CE＝CF． ∴CE＝BD． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是通过辅助线证明BD＝CF． 考点二 角平分线的判定 9．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 10．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 11.如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】略； 12.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】 证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】 略 13.如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 【答案】 证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】略 14.如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 15.解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； (2) ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 16.如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理得到，，进而得到，从而得到结论； （2）易证得和，进而得到和，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上， ∴平分； （2）解：，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 考点三 作图问题 17.如图，直线与交于点，． (1)作的平分线（保留作图痕迹）． (2)求的度数． 【答案】(1) 如图所示，射线即为所求． (2) 18.如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 【答案】 【分析】作的角平分线即可． 【分析】此题考查了角平分线的作图、角平分线的相关计算． （1）根据角平分线的作图步骤进行作图即可； （2）根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）， ． 平分， ． 19.如图，已知，点在射线上，过点作射线，请用尺规作图法在射线上找一点，使得点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示，点P即为所求. 【分析】根据角平分线的性质定理作图即可． 【详解】略． 20．在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】 【分析】延长和交于一点，作的角平分线，连接与角平分线交点即为所求点． 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $ 角平分线的性质、判定、作图问题专项训练 班级 姓名 . 角平分线的性质 角平分线的判定 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 图像 已知 ①OP平分∠AOB ②PD⊥OA于D PE⊥OB于E ①PD=PE ②PD⊥OA于D PE⊥OB于E 结论 PD=PE OP平分∠AOB 几何语言 ∵OP平分∠AOB 且PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE ∵PD=PE 且PD⊥OA，PE⊥OB ∴OP平分∠AOB 作用 证明两条线段相等 证明角相等 添加辅助线的方法 ①垂两边；②垂中间；③截等长构造对称 考点一 角平分线的性质 1.如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 3.如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 4．已知，如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB＝DC，DE＝3，AB＝4，∠BDC＝α，则△ABD的面积为 　　 ，∠BAC＝ 　 ． 5..如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数； （2）若DE＝8，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 6．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 7．如图，四边形中，，平分，点P是延长线上一点，且．证明：． 8.如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E． 求证：CE＝BD． 考点二 角平分线的判定 9．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 第9题图 第10题图 10．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 11.如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 12.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 13.如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 14.如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 15.解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 16.如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 考点三 作图问题 17.如图，直线与交于点，． (1)作的平分线（保留作图痕迹）． (2)求的度数． 18.如图，在中，．用尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等． 19.如图，已知，点在射线上，过点作射线，请用尺规作图法在射线上找一点，使得点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 20．在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $角平分线的性质、判定、作图问题专项训练班级 姓名」 角平分线的性质 角平分线的判定 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 图像 已知 ①OP平分∠AOB ①PD=PE ②PD⊥OA于D ②PD⊥OA于D PE⊥OB于E PE⊥OB于E 结论 PD=PE OP平分∠AOB 几何语言 ,OP平分∠AOB .'PD=PE 且PD⊥OA,PE⊥OB 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴.PD=PE ∴.OP平分∠AOB 作用 证明两条线段相等 证明角相等 添加辅助线的方法 ①垂两边；②垂中间；③截等长构造对称 考点一 角平分线的性质 1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,若AB=6,AC=4,DE=2,则△ABC的面积为(). A.20B.12 C.10D.6 B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、 N两点：②分别以M、N为圆心，以大于W的长为半径作弧，两弧相交于点P:③作射线BP,交AC于D点.若 AB=10,BC=6,AC=8,则线段CD的长为() A.3 B.5 C.1o D.6 3 3.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=40°，点D在AC边上，且AD=3,点E是BC边上的动点，连接BD、DE, 若DE的最小值是3，则∠ABD的度数为°. 4.已知，如图，AD平分∠BAC,DE⊥AC,DB=DC,DE=3,AB=4,∠BDC=,则△ABD的面积为一， ∠BAC= 5如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB,∠B=50°，∠C=60°. (1)求∠ADC的度数； (2)若DE=8,点F是AC上的动点，求DF的最小值. 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF. (1)求证：CF=EB, (2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系，并说明理由. 7.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.证明： ∠BDC=∠PDC. 8.如图，己知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E. 求证：CE=上BD. 2 考点二 角平分线的判定 9.如图，∠AOB=80°，点C是∠AOB内一点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC的度 数是() A.35° B.40° C.45° D.50° A 0 第9题图 第10题图 10.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P,则OP平分∠BOA的依据是() A.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D.以上均不正确 11.如图，△ABC的边BC上有一点D,DE,DF分别是AABD和△ACD的高，连接AD,且AE=AF.求证：AD 是△ABC的角平分线. 12.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD,垂足为E,BD=ED,求证：CD平分 ∠ACE. 13.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点且BD=DC,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF, 求证：∠BAD=∠CAD. 14.如图，在△ADF中，∠F=90°，点B、C分别在边AF、DF上，连接AC、BC，,CB=CD,∠D=∠CBF,在 边AD上截取DE=BF,连接CE.求证：AC平分∠DAB. 15.解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,且PE=PF,求证：点P在∠AOB 的平分线上； 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=0°，点E在边AB上，DE=DC,DF⊥AC于点F,BE=FC. ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. 图2 16.如图，在△ABC中，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,延长BA,BC,PM⊥BE,PN⊥BF.求证： (1)CP平分∠ACF: (2)∠ABC+2∠APC=180°. 考点三 作图问题 17.如图，直线AB与CD交于点O,∠AOC=50°. (1)作∠AOD的平分线OE(保留作图痕迹). (2)求∠DOE的度数. 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.用尺规作图作射线BP,交AC于D,并使D到BC,AB的距离相等. B C 19.如图，已知∠AOB,点C在射线OA上，过点C作射线CD,请用尺规作图法在射线CD上找一点P,使得点P到 OA、OB的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） A 20.在四边形ABCD中，找到一点M,使点M到AB、DC的距离相等；并且到A、C的距离之和最短.（请用尺 规作图，并保留作图痕迹)