专题13 等腰三角形（十大题型30道题）-2026-2027学年人教版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题13 等腰三角形（十大题型30道题） 目录 知识点一等边对等角 1 知识点二三线合一 2 知识点三根据等角对等边证明等腰三角形 3 知识点四根据等角对等边证明边相等 3 知识点五根据等角对等边求边长 4 知识点六含30度角的直角三角形 5 知识点七格点图中画等腰三角形 6 知识点八找出图中的等腰三角形 7 知识点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 8 知识点十等腰三角形的性质和判定 8 知识点一等边对等角 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，以为一边画等腰三角形，P在边上，则的度数为________． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 知识点二三线合一 4．如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 5．如图，点C在直线上，．将一张纸片如图放置，，纸片的边在直线上平移，当以C，P，F为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数为______． 6．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 知识点三根据等角对等边证明等腰三角形 7．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 8．如图，在中，，，若，则的长为________． 9．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 知识点四根据等角对等边证明边相等 10．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 11．如图，在中，平分 ， 平分，过点作分别交，边于点、，的周长为18，的周长为25，那么边 的长为_________ 12．如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 知识点五根据等角对等边求边长 13．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 15．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？ 知识点六含30度角的直角三角形 16．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 17．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 18．在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 知识点七格点图中画等腰三角形 19．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 20．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 21．如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)在图中画出等腰，使点在格点上，且，； (2)仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹． 知识点八找出图中的等腰三角形 22．在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有_____个 24．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)成立吗？ 知识点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 25．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 26．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________． 27．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 知识点十等腰三角形的性质和判定 28．如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 29．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 30．从“一线三等角”到一线四等角． (1)如图1，与中，，试证明． (2)如图2，在（1）的条件下，聪明的小赵发现此时上还存在一个点，使得，，试证明． (3)在（1）的条件下，若，，请直接写出与的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题13 等腰三角形（十大题型30道题） 目录 知识点一等边对等角 1 知识点二三线合一 4 知识点三根据等角对等边证明等腰三角形 6 知识点四根据等角对等边证明边相等 8 知识点五根据等角对等边求边长 10 知识点六含30度角的直角三角形 12 知识点七格点图中画等腰三角形 14 知识点八找出图中的等腰三角形 17 知识点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 19 知识点十等腰三角形的性质和判定 22 知识点一等边对等角 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两底角的和为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为． 2．在中，，，以为一边画等腰三角形，P在边上，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】根据三角形为等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，结合等腰三角形性质、三角形外角性质、三角形内角和定理分析求解，即可解题． 【详解】解：三角形为等腰三角形， ①当时，如图： ， ， ； ②当时，如图： ， ， ； ③当时，如图： ， ， ； 综上，的度数为或或． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点E． ∴ ∴ ∵ ∴； (2) 【分析】（1）先由线段的垂直平分线得到，再由等边对等角以及三角形的外角性质即可证明； （2）根据等边对等角以及角平分线的定义可得，，再通过设未知数，利用三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 知识点二三线合一 4．如图，在中，，，是边上的中线，且．若、分别是、上的动点，则的最小值是（     ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， 如图，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 即的最小值是． 5．如图，点C在直线上，．将一张纸片如图放置，，纸片的边在直线上平移，当以C，P，F为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解： 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，的度数为或． 6．已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， (2)证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先证明，进而证明； （2）先证明，再证明，得出，则，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2）略 知识点三根据等角对等边证明等腰三角形 7．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 8．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在中，，点在上，点在上，射线交的延长线于点，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， ． ， ， ， 是等腰三角形. 【分析】先证明，进而得到，等量代换结合等角对等边，推出，即可得证． 【详解】略 知识点四根据等角对等边证明边相等 10．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 11．如图，在中，平分 ， 平分，过点作分别交，边于点、，的周长为18，的周长为25，那么边 的长为_________ 【答案】7 【分析】利用角平分线和平行线的性质可得、，从而得到、．将的周长转化为．已知 的周长为 25，即可求出． 【详解】∵平分平分， ∵， 的周长为18， 即 ∵的周长为 25， ， ． 12．如图，在中，，点为内部一点，连接、，且，过点作交的延长线于点，，求证：． 【答案】， ， ，， ， 又∵， ， ， ． 【分析】由等角对等边得到，然后证明，得到，即可证明． 【详解】略 13．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 知识点五根据等角对等边求边长 14．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 15．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？ 【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由如下： 作于， ∵在处测得小岛在北偏东方向， ∴， ∵在处测得小岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴， ∵海里， ∴海里， ∴海里， ∵， ∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险． 【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁． 【详解】解：略． 知识点六含30度角的直角三角形 16．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 17．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 【答案】18 【分析】如图：连接，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得、、，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．在如图的房屋人字梁架中，斜梁米，立柱垂直于横梁于点，且顶角，求立柱的长． 【答案】4米 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出，最后根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直于点， ∴， ∴ （米）． 知识点七格点图中画等腰三角形 19．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 20．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 由不共线的三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题． 【详解】解：依题意，由不共线的三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 如图，共有符合要求的点坐标为：，，，，， 故答案为：，，，， 21．如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1． (1)在图中画出等腰，使点在格点上，且，； (2)仅用无刻度直尺，作出等腰直角边上的中线，并保留作图痕迹． 【答案】(1)如图，即为所求作等腰： (2)如图，即为所求中线： 【分析】（1）要使，，就是把绕点旋转 ．把网格上“横a竖b”的线段转变成“横b竖a”，即 应为“横3竖1” ． （2）① 取格点 （ 正上方 1 格）和格点 (正下方 1 格 的点)； ② 用直尺连，设 交于； ∵且 ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵平行四边形对角线 与 互相平分， ∴点 就是中点．　 ③ 连接，即为所求中线． 【详解】（1）略 （2）略 知识点八找出图中的等腰三角形 22．在如图所示的方格中，点，，，均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：以其中三个点为顶点的等腰三角形有、、、共4个． 23．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有_____个 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 24．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)成立吗？ 【答案】(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 知识点九求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 25．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，分，，三种情况讨论，结合网格特点找出满足条件的格点的个数． 【详解】解：设网格小正方形的边长为， 由图可知，点、在同一条竖直格线上，且， 网格横向有个格，纵向有个格， 分三种情况讨论：①当时，点在以为圆心，为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ②当时，点在以为圆心，为半径的圆上． 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ③当时，点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线， 该直线上共有 个格点，除去与、共线的个点（即 中点），剩余个点满足条件， 综上所述，满足条件的点的个数是． 26．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 27．如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】 解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 知识点十等腰三角形的性质和判定 28．如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 无法证明，故D错误． 29．如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【分析】利用平行和角平分线得到，，可得出结论，由此即可求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证， ∴， ∵，， ∴． 30．从“一线三等角”到一线四等角． (1)如图1，与中，，试证明． (2)如图2，在（1）的条件下，聪明的小赵发现此时上还存在一个点，使得，，试证明． (3)在（1）的条件下，若，，请直接写出与的关系． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用即可证明； （2）由（1）知，得到，利用三角形内角和定理求得，计算求得，即可得到； （3）设，同（2）即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $