专题14 等边三角形（五大题型20道题）-2026-2027学年人教版·数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题14 等边三角形（五大题型20道题） 目录 知识点一等边三角形的性质 1 知识点二等边三角形的判定 4 知识点三等边三角形的判定和性质 7 知识点四大（小）边对大（小）角定理 10 知识点五最短路径问题 13 知识点一等边三角形的性质 1．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 2．已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用非负数和为0的性质列方程求出三边长，再判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 将代入，得， ∴，， ∴ ， 故为等边三角形． 3．如图，是等边三角形，，，则的度数为______． 【答案】/75度 【分析】根据等边三角形的性质得出，，然后证得是等腰三角形，求得，然后根据三角形外角的性质求得即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． (2)6 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形外角性质，，三角形内角和，垂直定义证明即可； （2）利用等边三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接， ∵等边， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 知识点二等边三角形的判定 5．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【答案】B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴B正确，A错误． ∵等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误． 6．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 7．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是_______． 【答案】等边三角形 【分析】先根据，，得到，，再根据对顶角相等得到，最后根据三角形内角和为得到，可得到是等边三角形． 【详解】解：∵，， ∴．， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质． 8．如图，在中，是直角，，垂足为，点在线段上，． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)有6个三角形，分别是，，，，， (2)锐角三角形是；直角三角形是，，，；钝角三角形是． (3)等腰三角形是，；等边三角形是． 【分析】（1）根据，，分别为三角形的一边，依次计数三角形即可． （2）根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义解答即可． （3）根据等腰三角形和等边三角形的定义求解即可，注意等边三角形是特殊的等腰三角形． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． 知识点三等边三角形的判定和性质 9．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：在等边三角形中，∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与相等的线段条数为7． 10．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】C 【分析】利用作图的方法和痕迹，得到和，再利用等腰三角形的底角相等及三角形内角和为，求出答案． 【详解】解：如图所示，连， 由作图可知，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 在中，， ． 11．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】易得为等边三角形，根据平行线的性质，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴. 12．如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上．与相交于M点，与相交于N点． (1)判断和是否相等，并说明理由． (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1)相等， 理由：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； (2)证明：由（1）可知，， ， 和都是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据对应边相等即可得证； （2）根据全等三角形和等边三角形的性质，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 知识点四大（小）边对大（小）角定理 13．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过折叠的性质，通过比较与的大小，即可判断与的大小，从而求解． 【详解】解：、如图， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， ∴， ∴，不符合题意； 、由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， 无法确定与的大小，从而无法确定与的大小，符合题意． 14．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 15．在中，已知，，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据三角形大边对大角的性质，可得与的大小关系，再结合三角形内角和定理，即可推导出的取值范围． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边所对的内角为，边所对的内角为， 又 ， 根据三角形内角和定理， 可得 三角形的内角大于，即 解得 综上可得． 16．已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：在中，， ， 在中，， ， ． 【分析】（1）根据三角形三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可； （2）根据在同一个三角形中，大角对大边证明即可． 【详解】（1）解：∵、、为的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）略 知识点五最短路径问题 17．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 18．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 19．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 【答案】70 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： 此时，路程最短， 由对称性质可知，，． ， ， ， ∵， ， 由对称性质可知，， ，， ． 20．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题14 等边三角形（五大题型20道题） 目录 知识点一等边三角形的性质 1 知识点二等边三角形的判定 2 知识点三等边三角形的判定和性质 3 知识点四大（小）边对大（小）角定理 4 知识点五最短路径问题 5 知识点一等边三角形的性质 1．如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．已知的三边长，，满足等式，则的形状是（     ） A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．如图，是等边三角形，，，则的度数为______． 4．如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 知识点二等边三角形的判定 5．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 6．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 7．如图，等腰三角形ABC的顶角的度数为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则的形状是_______． 8．如图，在中，是直角，，垂足为，点在线段上，． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 知识点三等边三角形的判定和性质 9．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 10．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（    ）． A．100° B．105° C．110° D．115° 11．如图，直尺的一边经过含（）的直角三角板的顶点，对边与三角板的和边分别交于点，，若，则的度数是______． 12．如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上．与相交于M点，与相交于N点． (1)判断和是否相等，并说明理由． (2)求证：为等边三角形． 知识点四大（小）边对大（小）角定理 13．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 14．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 15．在中，已知，，则应满足的条件是________． 16．已知、、为的三边长． (1)化简； (2)为上一点，连接，若，求证：． 知识点五最短路径问题 17．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 18．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 19．如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 20．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $