精品解析：贵州贵阳长市郡贵阳高级中学2026-2027学年高二上学期10月份月考测试数学试卷

长郡贵阳高级中学高二年级10月月考测试卷 数 学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 5. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 6. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行10海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，需要航行的距离是（ ） A. 20海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 8. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.026 B. 估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C. 估计该校高一学生成绩的众数为75 D. 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使平面 C. 若，则点到直线的距离为 D. 若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 13. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 14. 在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. （1）用表示； （2）求的值. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 17. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 18. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡贵阳高级中学高二年级10月月考测试卷 数 学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则的虚部为． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的投影公式即可求解. 【详解】向量在向量方向上的投影向量. 4. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 5. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 6. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行10海里后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，需要航行的距离是（ ） A. 20海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 由余弦定理可得. 所以，即从A到C，需要航行的距离是. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则   . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 8. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，假设存在实数，使得，则， 由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确； 对于D，，解得， 所以，，所以，D正确． 10. 为培养学生科技创新意识，某校组织科技创新知识测试，高一年级一共1000名学生参加测试，从中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，将80分及以上的成绩评定为科创优秀，下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.026 B. 估计该校高一学生成绩的下四分位数为65 C. 估计该校高一学生成绩的众数为75 D. 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为89 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用频率分布直方图的性质求参数即可；对于B，根据百分位数的求解方式求解；对于C，由众数的概念求解；对于D，根据平均值的公式求解． 【详解】，解得，故A正确； 的频率分别为， 则高一学生成绩的下四分位数落在，设为， ，解得，故B错误； 估计该校高一学生成绩的众数为，故C正确； 估计该校高一年级被评定为科创优秀的学生的平均分约为，故D正确． 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使平面 C. 若，则点到直线的距离为 D. 若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等体积转换法得到三棱锥体积不变，判断A选项；找正方体顶点，由线面垂直证明线线垂直，然后得到线面垂直，判断B选项；建立空间直角坐标系，由向量的投影计算出点到线的距离，判断C选项；利用平行作出截面，由平行得到交点位置，即可求截面的周长，判断D选项. 【详解】因为，又因为点在线段上运动， 且在正方体中，平面， 所以动点到平面的距离不变， 故不变，A选项正确； 当点与点重合时，因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面, 所以，同理可证明， 因为，平面，所以平面， 因此存在点，使平面，B 选项错误； 以正方体顶点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在的投影， 所以点到直线的距离，C选项正确； 连接交于点，过点作，分别交于点， 连接和， 在正方体中，所以， 因为，所以过点，，三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以四边形的周长为，D选项正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 13. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由的坐标求出，由已知数量积求出，代入夹角公式求解. 【详解】由已知得， 所以，， 又，所以. 14. 在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. （1）用表示； （2）求的值. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 【答案】（1）如图所示，连接，作出符合题意的图形， 因为、分别为、中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为底面，底面，所以． 在正方形中，， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得  的值，从而求出  的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【小问1详解】 由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 18. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， 【小问2详解】 直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $