精品解析：天津市环湖中学2026-2027学年 九年级第一学期数学阶段练习一

环湖中学2026-2027学年九年级第一学期数学阶段练习一 一、选择题（每题3分，每题只一个正确答案，将答案填入答题纸的表格中） 1. 解方程的结果为（ ） A. B. C. D. 该方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据求抛物线对称轴的公式即可求得． 【详解】解：抛物线中，，， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线对称轴的公式，熟练掌握和运用求抛物线对称轴的公式是解决本题的关键． 3. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位可得，再向上平移3个单位可得， 故选：D 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键． 4. 若方程x2+9x-a=0有两个相等的实数根，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】∵方程x2+9x-a=0有两个相等的实数根， ∴△=92-4×1×（-a）=0， 解得：a=-． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 5. 抛物线，，共有的性质是（ ） A. 对称轴是x轴 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质， 根据选项可对每条抛物线从开口方向、对称轴、最值、增减性几个方面进行分析确定共同的特点即可． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； 抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 所以抛物线，，共有的性质为对称轴是y轴，而所有抛物线在没有限定自变量的取值范围时，增减性都不一致，故D不正确． 故选：B． 6. 用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 7. 一元二次方程的两根之和与两根之积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴两根之和为，两根之积为． 8. 二次函数图象对称轴为直线L，若M在L上，则M坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，点在直线上， ∴点的横坐标为， 四个选项中只有的横坐标为，符合题意． 9. 函数图象上有两个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴与对称轴的距离越近点越高，越远点越低， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的增减性是解题的关键． 10. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为， A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误； B、对称轴为直线，故此选项错误； C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确； D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 11. 某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每次降价的基数为上一次降价后的价格，据此推导两次降价后的价格表达式． 【详解】解：商品原价为元，第一次降价百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价百分率仍为，降价基数为第一次降价后的价格， 两次降价后的价格． 12. 已知抛物线（，，是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ① ； ② 关于的方程有两个不等的实数根； ③ ． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴为直线可得，由可判断①，将代入解析式可得，将代入可得a与c的关系，可判断③，由可得抛物线开口向下，可判断②． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴，①错误． ∵抛物线经过点， ∴， 将代入得， ∴， ∵， ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与直线有2个交点， ∴关于x的方程有两个不等的实数根，②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质． 二、填空题（每题3分共18分） 13. 抛物线与y轴的交点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．令，可确定抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，得，故抛物线与y轴交于． 故答案为：． 14. 若是二次函数，且开口向上，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义得到x的指数为2，结合开口向上得到二次项系数大于0，联立方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵ 是二次函数，且开口向上， ∴ ，且 解方程得或， 解不等式得， ∴ ． 15. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据单循环赛总比赛场数的公式和计划总比赛场数，建立方程，即可作答． 【详解】解：参赛队有 个，每两个队之间比赛一场，则总比赛场数为， ∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场数为， ∴， 故答案为：． 16. 抛物线不经过第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】将抛物线的解析式变形为顶点式，画出其图象，观察图形即可得出结论． 【详解】解：抛物线 画出该抛物线图象如图所示： 观察函数图象可知：抛物线不经过第四象限. 故答案为四. 【点睛】考查二次函数的性质，把一般式化为顶点式，画出函数图象是解题的关键. 17. 抛物线与x轴一个交点为，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】交点坐标满足抛物线解析式，利用整体代入法即可求出式子的值． 【详解】解：∵抛物线与x轴一个交点为， ∴， 整理得， 将代入，得． 18. 已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】m≥-1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣=，开口向上， ∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大， ∴≤1， 解得：m≥﹣1． 故答案为：m≥﹣1． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原方程移项得， 因式分解得， 可得或， 解得，； 【小问2详解】 解：方程， 计算判别式得， ∴， 解得，． 20. 抛物线，根据下列条件求m值． （1）抛物线过原点； （2）抛物线最小值为． 【答案】（1）或 （2）m的值是1 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的最值问题是解答此题的关键． （1）直接把原点代入抛物线，求出m的值即可； （2）根据抛物线的解析式判断出其开口方向，进而可得出m的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过原点， ∴当时，，即， 解得或； 【小问2详解】 解：∵抛物线中，，顶点坐标， ∴当时，二次函数的值最小， ∴， 解得， ∴m的值是1． 21. 已知二次函数的图象经过，， （1）求这个二次函数的解析式． （2）判断点是否在该抛物线上． （3）写出抛物线的开口方向：_________，对称轴：_________，顶点坐标：_________ （4）当x_________时，y随着x的增大而增大． 【答案】（1） （2）点不在该抛物线上 （3）向上，， （4） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可． （2）把代入函数解析式，求得的值，再与2比较即可； （3）根据图象和性质直接写出顶点坐标、对称轴、开口方向即可； （4）根据图象和性质即可求得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过，，， ∴设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得： ∴点不在该抛物线上； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线开口向上； 对称轴为，即， 把代入得： ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问4详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧递增， ∴当时，y随着x的增大而增大． 22. 二次函数（a，b，c是常数且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）求m的值； （3）当时，y的取值范围是_________ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中对称点的坐标确定二次函数的对称轴与顶点，结合待定系数法求解析式； （2）将代入已求的解析式，计算得到的值； （3）根据二次函数的开口方向与对称轴，结合给定的的取值范围，通过比较端点与顶点的函数值确定的取值范围． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，当和时，的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 设二次函数的解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 整理得； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，取得最小值，最小值为． 当时，； 当时，． ∴当时，的取值范围是． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 【答案】（1） 证明： ， 故该方程总有两个实数根； （2）它的另一个根为，的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 24. 如图要围一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长，其余的三边，，用篱笆围成，篱笆总长为，请问围成的菜园最大面积是否能达到，如果能请说明理由；如果不能，请求出菜园的最大面积． 【答案】菜园的面积不能达到．菜园的最大面积为． 【解析】 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得， 依题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴菜园的面积不能达到． 菜园的面积， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，菜园的面积最大，最大值为． 25. 二次函数的图像上，有点B与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式． （2）抛物线对称轴上是否存在点M使得最短，如存在求点M坐标，如不存在说明理由． （3）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作轴，交直线于点D．请求出点P在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点P的坐标； （4）抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）存在点M使得最短，此时点M的坐标为 （3）长度的最大值为，点P的坐标为 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，则可求出点C的坐标，再由对称性求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点D，连接，求出点D的坐标，可证明当C、M、D三点共线时有最小值，求出直线的解析式，进而求出点M的坐标即可； （3）设，则，可求出，据此求解即可； （4）当点Q在直线下方时，作轴交直线于点T，连接，可证明当有最大值时，有最大值，由（3）可知，的最大值为，则的最大值为，不符合题意；当点Q在直线左侧时，取点，连接，可证明，则，求出直线的解析式，再联立函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点B与点C关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，设抛物线与x轴的另一个交点为点D，连接， 由对称性可得，， ∴， ∴当C、M、D三点共线时有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴存在点M使得最短，此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，长度有最大值，最大值为， 此时，即点P的坐标为； 【小问4详解】 解：当点Q在直线下方时，作轴交直线于点T，连接， ∴ ， ∴当有最大值时，有最大值， 由（3）可知，的最大值为， ∴的最大值为，不符合题意； 当点Q在直线左侧时，取点，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环湖中学2026-2027学年九年级第一学期数学阶段练习一 一、选择题（每题3分，每题只一个正确答案，将答案填入答题纸的表格中） 1. 解方程的结果为（ ） A. B. C. D. 该方程无实数根 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 若方程x2+9x-a=0有两个相等的实数根，则（　　） A. B. C. D. 5. 抛物线，，共有的性质是（ ） A. 对称轴是x轴 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 6. 用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 17 7. 一元二次方程的两根之和与两根之积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 二次函数图象对称轴为直线L，若M在L上，则M坐标可能是（ ） A. B. C. D. 9. 函数图象上有两个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 11. 某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线（，，是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ① ； ② 关于的方程有两个不等的实数根； ③ ． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每题3分共18分） 13. 抛物线与y轴的交点的坐标为_____． 14. 若是二次函数，且开口向上，则_________ 15. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 16. 抛物线不经过第________象限． 17. 抛物线与x轴一个交点为，则_________ 18. 已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 抛物线，根据下列条件求m值． （1）抛物线过原点； （2）抛物线最小值为． 21. 已知二次函数的图象经过，， （1）求这个二次函数的解析式． （2）判断点是否在该抛物线上． （3）写出抛物线的开口方向：_________，对称轴：_________，顶点坐标：_________ （4）当x_________时，y随着x的增大而增大． 22. 二次函数（a，b，c是常数且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）求m的值； （3）当时，y的取值范围是_________ 23. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 24. 如图要围一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长，其余的三边，，用篱笆围成，篱笆总长为，请问围成的菜园最大面积是否能达到，如果能请说明理由；如果不能，请求出菜园的最大面积． 25. 二次函数的图像上，有点B与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式． （2）抛物线对称轴上是否存在点M使得最短，如存在求点M坐标，如不存在说明理由． （3）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作轴，交直线于点D．请求出点P在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点P的坐标； （4）抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $