精品解析：福建省漳州市第三中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试卷

漳州三中2026~2027学年高二上10月阶段检测数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A. B. C. D. 2. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 3. 已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 11. 已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（ ） A. B. 偶数项是等比数列 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过定点________. 13. 已知数列满足，则________________________． 14. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 17. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 18. 一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. （1）求，，并写出与的递推关系式； （2）求数列的通项公式，并求出的最大值. 19. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2026~2027学年高二上10月阶段检测数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 2. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 3. 已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由得，所以， 又得，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 4. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 5. 设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为． 6. 已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 7. 若数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系式可构造出，从而证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 8. 现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距是 B. 直线经过第一、三、四象限 C. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 11. 已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（ ） A. B. 偶数项是等比数列 C. D. 【答案】ADC 【解析】 【分析】直接计算出判断A，计算出后可判断B，由递推关系得出数列的奇数项的关系，从而利用等比数列的通项公式求解判断C，利用分组求和法求和判断D. 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式逐个求出，得到数列是周期数列，结合周期数列的性质求解. 【详解】因为，所以，， ，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 14. 已知三个互不相同的实数经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【解析】 【分析】假设经过适当排序后变成等差数列，依次讨论是等比中项的情况，结合公差即可求解. 【详解】由于经过适当排序后可成等差数列，不妨设这三个数为，其中公差， 这三个数经过适当排序后也可成等比数列，则有： ①当是等比中项时，则有，解得，这与矛盾，所以不是等比中项； ②当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，由于这三个数是互不相同的实数，所以， 而这三个数要构成等比数列，只有两种排序方式，即或， 因此公比或； ③当是等比中项时，则有，化简得，由于，所以解得， 此时，这三个数分别为，情况与②相同； 综上所述，该等比数列的公比为或. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）赋值求出前3项，作差得到递推关系，证明数列是等比数列，从而写出通项即可. （2）写出的表达式，采用错位相减法，即可得解. 【小问1详解】 根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 16. 一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线的倾斜角的2倍； （2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程. （2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【小问1详解】 设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． 【小问2详解】 设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 17. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解； （2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明. 【小问1详解】 由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； 【小问2详解】 略 18. 一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. （1）求，，并写出与的递推关系式； （2）求数列的通项公式，并求出的最大值. 【答案】（1），，， （2），. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，并得到，得到答案； （2）累加法得到，，也符合上式，所以. 【小问1详解】 由题意可知，. 在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，. 可得 ，， 也符合上式，所以. 因为，故当时，的最大值为. 19. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $