精品解析：福建省南平市武夷山市第二中学2026-2027学年高二10月月考数学试题

武夷山市第二中学2026-2027学年第一学期高二10月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 已知向量，向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求. 【详解】由，则，所以. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3. 如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用空间向量，结合空间向量的基本定理推出结果即可． 【详解】底面ABCD是平行四边形可知：，所以A正确； ，所以B不正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 故选：B 4. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 5. 如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则，将所求向量分解为已知向量或可转化为已知向量的组合，再根据向量的线性运算规则进行计算即可. 【详解】由已知. 故选：D. 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 7. 在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱为2，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 8. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，分别连接线段、在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量法求得的长. 【详解】， 两边平方得：， ， ， 所以的长为. 故答案为：A 二、多选题 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断. 【详解】对于A，向量，，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由数量积的定义得，C错误； 对于D，，所以，D正确. 故选：AD. 10. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，O为BD的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过向量点积是否为0，验证线线垂直、线面垂直，判断A、B选项，求解平面法向量，利用线面角公式算出直线与平面夹角，验证C选项，运用点到平面的向量距离公式计算到平面距离，对比选项数值判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，. 选项A， ，，，即，故A正确； 选项B，，，则，且，，平面，所以平面，故B正确； 选项C，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则，所以，故C正确； 选项D，由B选项可知，平面，，所以平面的法向量为，，，， 点到平面的距离，故D错误. 三、填空题 12. 已知空间向量，，且.则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且，所以，整理得，解得. 13. 已知空间向量，，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故答案为： 14. 如图，棱长为2的正方体，点是棱的中点，点到直线的距离为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出在上的投影长，再由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，所以，，， 所以直线方向向量 ，又 ， ， 所以在上的投影长为 ， 所以点到直线的距离为 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，所以； 【小问2详解】 由题意， 因为，， 所以，解得. 16. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以，，为基底向量，表示向量，； （2）求证：； 【答案】（1），． （2）因为，，，， 所以，． 由（1）得． 又与均为非零向量，所以，即． 【解析】 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用，，表示，； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为0，证明向量垂直. 【小问1详解】 由空间向量的加法法则，得． 在平行六面体中，，，所以． 【小问2详解】 略 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为，是的中点， 所以， 由可得， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 因为，设点到平面的距离为， 则，故点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）可得平面的法向量为， 显然平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明:连接与交于点,连接， 因为底面是正方形,所以点是的中点, 又是的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出辅助线，根据中位线得到线线平行，进而得到线面平行. （2）根据题意在点处建立空间直角坐标系，依次写出点的坐标，代入线面夹角的正弦值公式求解即可, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧棱底面且在正方形中, 所以如图所示,以点为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 设,则,,,,, 则,,, 设平面的法向量 即 取,则,,所以 设直线与平面的夹角为 因此. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别是、的中点． （1）求证： （2）求直线与平面所成角的大小； （3）设为与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为，，所以，故． 又平面，以点为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由三棱柱的侧棱长均为2，得，，，，， 又、分别为、的中点，所以，， 从而，，故，因此． （2）​ （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理确定底面直角，建立空间直角坐标系，用数量积证明两直线垂直． （2）求平面的法向量，利用方向向量与法向量的夹角求线面角． （3）用参数表示线段上的点，由线面平行的必要条件求参数，再验证候选点满足原条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为，由，，得，取，可得． 由，得，所以方向向量与该法向量的夹角为，因此直线与平面所成角为． 【小问3详解】 侧面为矩形，其对角线互相平分，所以为的中点，得． 假设在线段上存在点，使得平面，设，其中，又，故． 因为平面，所以，解得． 当时，点在线段上，且，又，所以不在平面内，从而平面． 因此在线段上存在点，使得平面，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武夷山市第二中学2026-2027学年第一学期高二10月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 已知向量，向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，分别连接线段、在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A. B. C. D. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，O为BD的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 三、填空题 12. 已知空间向量，，且.则________. 13. 已知空间向量，，则在上的投影向量的坐标为________． 14. 如图，棱长为2的正方体，点是棱的中点，点到直线的距离为____________． 四、解答题 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以，，为基底向量，表示向量，； （2）求证：； 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别是、的中点． （1）求证： （2）求直线与平面所成角的大小； （3）设为与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $