福建泉州市泉港区第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

2026年秋季泉港二中高三年段第一次月考数学试卷 （本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列函数中是奇函数的是（　　） A.　 .　　 .　　 . 2．已知函数的图象关于直线对称，则（　　） A． B． C． D． 3．如图在中， ，若 ，则实数 的值为（　　） A. B． C． D． 4． 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则 ＝（  ） A．－ B．－ C． D． 5．设等比数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（　　） A． B． C． D． 8．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.已知复数z满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B．复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C．将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D．若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 10．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（    ） A．最大值为 B．的最小值为 C．最小值为 D．最小值为 11．已知圆（），则（    ） A．圆心在曲线上 B．存在两个不同的实数，使得圆过点 C．存在四个不同的实数，使得圆与直线相切 D．存在两个不同的实数，使得直线平分圆的面积 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为__________． 13．设集合，若集合S的所有非空子集的元素之和是64，则___________. 14．已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的大小； (2)若，求的范围. 16.（15分）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 17．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点． 求角的大小； 若是的角平分线，，的周长为，求的长度． 18．（17分）从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． (1)求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； (2)求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； (3)设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 19．（17分）已知函数． （1）讨论在上的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，点关于直线对称的点在曲线上，证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季泉港二中高三年段第一次月考数学试卷 命题：庄宗龙审核： (本试卷共150分，考试时间120分钟) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.) 1.下列函数中是奇函数的是()D A.y=Vx2 B.y Inx C.y=2-x+2x D.y=x3 2.已知函数f(x)=(x-)2+bx的图象关于直线x=1对称，则() A.2a-b=-1 B.2a-b=1 C.2a-b=-2 D.2a-b=2 2.D【详解】将函数fx)展开可得，fx)=x2-(2a-b)x+d,由二次函数的对称性可推出 2a-b-1→2a-b=2. 2 3.在△ABC中，AE=3BC,若BE=xAB+AC,则实数x的值为() 4 A.、1 1 2 B.一3 B.C.1 4 D.-1 3.D 利用向量的线性运算，结合A正=3C,化简得到距=34C-A正，对照题设即得x的值. 【详解】因为远=3C,可得A正=34C, 所以B题=AE-AB=AC-AB,又因为BE=B+Ac,所以x=-1. 4.已知点P(3,4)在角a的终边上，将a的终边绕原点O逆时针旋转得到角B的终边，则cosB =() A.-4 B.-3 -5 c.} D. 4.A g年号，又=a+号所以o月=coa-}ma-专 4 【详解】依题意得sina&= 。4 5.设等比数列{a}的前n项和为Sn,若S4=20,S=5,则4++a+=() A.75 B.150 C.180 D.210 【答案】C整体代换方法的应用更快捷 【分析】根据题意，结合等比数列{a}的前项和的性质即可求解. 【详解】己知等比数列{a}的前n项和为S,设等比数列{a}的公比为9， 根据等比数列{a}的前n项和的性质，S,S4-S,S。-S4,S-S等构成一个公比为q的等比 数列， 已知4=20，S=5,则3，-8=20-5=15，所以g=$4、8=15=3, S25 所以S6-S4=q(S4-S2)=3x15=45,即4+4。=45， 8-S6=q(S-S4)=3×45=135,即4+4=135， 因此4，++4，+4=45+135=180，故C正确. 6.已知平面向量a,6,均为单位向量，且āc-0,则a+25+c的最小值为() A.2-√2 B.2+√2 C.√2-1 D.√2+1 6.A 计算ā+c的模，再利用向量模的三角不等式求解(a+c)+2b1的最小值： 【详解】由题意知，a,b,c均为单位向量，故a曰b曰c=1,且d.c=0, |a+cP=(a+c):(a+c)a+2a.c+|cP,得|a+cP=1+0+1=2,故|a+c=√2， |a+2b+c=(a+c)+2b|, 对任意平面向量，方，有m+-‖，等号成立当且仅当与反向， 令m=a+c,元=2b,12b=2b=2,代入得：1(a+c)+2b≥ā+cl-12bl=V2-2=2-√2， 当ā+c与2b反向时等号成立，故1a+25+1的最小值为2-√2 7.设函数fw=3cos2x-写-2在区间Q写)内的两个零点分别为a,P(a<P),则 sin(2a-28)=( A.-23 5 B.2V5 C.45 D.-45 9 9 7.D整体代换方法的应用 先根据零点的定义及余张两数图象的对称性可得20-否(0】 再根据二倍角公式及同角三 角函数平方和为1的关系，即可求出sin(2a-2B)的值. 【详解】令f3am2x引20，则am四2x)子又a,60到为)的两个零点， 则u骨20-音骨》所以oam0我 根据余弦函数图象的对称性可得，20-骨与20胥关于x=0对称。 又a,则n所以a到引9引0，即a0空 3 所以m(2a-2p例=n0a+2p-4p)m4pm2a-到， 又p-引a-引r2-引.ofa-引则 m引小-w8哥--5 所以动2w-29-2m20到引m20-引-2子5 33 9 8.函数f(x)= 4sinx 3-2cosx 的值域为()( 454V5 2W52W5 A. L55 B. 55 c.[-2,v2] D.[-4,4] 8.A 设函数值为，将原式变形为正弦型函数等式，结合正弦函数的有界性列不等式求解值域， 【详解】（法一：辅助角法：法二：斜率法：法三：求导） 设y= ,由于3-2c0sx≥3-2×1=1>0， 故原式可变形为：4simx+2 y cosx=3y, 由辅助角公式，左边可整理为V42+(2y)}sin(x+9=√16+4y2sim(x+p), 其中p为辅助角，因此有：V16+4y2sin(x+p)H曰3y|, 13y1 根据正弦函数的有界性|sin(x+p)≤1，可得： V16+4y 1, 两边均为非负数，平方后得：9y2≤16+4y,即得5y2≤16，即y≤16 解得.45≤v≤45 】 5 5 即函数f)=,4,的值域为 4W54V5 3-2cosx 5,5 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知复数z满1+)z=2i,则下列说法正确的是() A.2=2i B.复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C.将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转买，所得向量对应的复数为-V万 D.若复数z是关于x的方程x2+ax+b=0(其中a,beR)的一个根，则a+b=0 9.ABD 根据复数的除法运算得到==1+i,据此逐项判断即可. 【详解解：由复数2满足1+2得z击1+0-1+i, 所以2=(1+i)2=2i,故A正确： 复数==1+i的共轭复数是1-i,在复平面内对应的点为(1，-1)，位于第四象限，故B正确： 复数：=1+i对应的点为，)，绕原点按顺时针方向旋转受，得到的点为(-1小， 所以所得向量对应的复数应为-1+i,故C错误： 由1+i是关于x的方程x2+ax+b=0的一个根，得另一个根为1-i, -28解得亿2子，所以a-办=0，故D正确 1+i+1-i=2=-a 所以 10.已知x,y是正数，且2x+y=1,下列叙述正确的是( A.2w最大值为4 B.4x2+y2的最小值为号 C.+最小值为3+25 D.√2x+√y最小值为√2 x v 10.ABC 【分析】题可知0<<0<y<1,且1-2，利用基本不等式可判断AC:构造=次函数型 可判断B;对√2x+√少两边同时平方，利用基本不等式可判断D. 【详解】因为x,y是正数，且2x+y=1, 所以不等式可知2x+y222,即1≥22，得2w≤年， 当且仅当2x=分，即x-子-号取得等号，所以2的最大值为子，所以A正确： 2 因为y是正数，且2x+y=1,所以0<x<号0<<1，且y=1-2, 所以4x2+y2=4x2+1-2x)2=8x2-4x+1, 当号时+少有最小值为8.4好1所以B正确： 16 因为4产2133 x y x y 当且仅当是5且2x+=1即-1号=5-1时取等号。 此时+最小值为325，所以C正确， 2 (V2x+√)=2x+y+22xy=1+2√2y≤1+2 2x+y 2 =2, 当且仅当2x=分，即x子}取得等号， 2 因为x,y是正数，所以√2x+√y最大值为√，故D不正确：故选：ABC. 11.己知圆C:(x-e)2+(y-a)2=2(aeR),则 A.圆心C在曲线y=nx(x>O)上 B.存在两个不同的实数a,使得圆C过点(1,1) C.存在四个不同的实数a,使得圆C与直线x-y-3=0相切 D.存在两个不同的实数a,使得直线x-3y=0平分圆C的面积 解：对于选项A,圆C:(x-e)2+(y-a)2=2 (a∈R),可得圆的圆心C为(ea,a), 又a=lnea,所以圆的圆心C(e4,a)在曲线y=lnx (x>0)上，所以A选项正确； 对于选项B,若圆C:(x-e)2+(y-a)2=2 (a∈R)过点(1,1)，则(1-e)2+(1-a)2=2 (a∈R) 设函数f(a)=(1-e)2+(1-a)2,其函数图象连 续不断，且f(-1)=(1-e1)2+（-1-1)2>2 f0)=(1-e)2+(0-1)2=1<2,f1)=(1 e)2+(1-1)2>2, 根据零点存在性定理可知方程∫（α）=2恰有两个实数 根，所以B选项正确； 对于选项C,若直线x-y-3=0与圆C:(x-e) +(y-a)=2(a∈R)相切，则圆心(ea,a)到直 线x一y-3=0的距离等于半径 即leea-3 =√2，化简得ea-a-3=2, V12+(-1)2 即ea-a=5或者ea-a=1, 令h(a)=ea-a,则h'(a)=ea-1,令h'(a)=0 得a=0 所以h(a)在(-o,0)单调递减，在(0，十o∞)单调递 增， 所以h(a)min=hO)=1,所以方程ea-a=1有唯 一解，方程ea-a=5有两个解 所以存在三个不同的实数a,使圆C与直线x一y一3 =0相切，所以C选项错误； 对于选项D,直线x一3y=0平分圆C的面积，等价 于直线过圆心，即ea-3a=0, 令函数m(a)=ea-3a,则m'(a)=ea-3,令m (a)=0得a=ln3, 所以m(a)在(-o,ln3)单调递减，在(n3,+o)单 调递增， 且m(a)mim=m(m3)=3-3h3<0,m(0)=1 >0,m(3)=e3-9>0 m(a)函数图象连续，由零点存在性定理，m(a)共有 两个零点， 所以存在两个不同的实数a,满足直线x一3y=0平 分圆C的面积，所以D选项正确， 故选：ABD 题号1 23 45 6 7 8 9 10 11 答案 D D D A C A D A ABD ABC ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.若f(x)=ar-enx在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，则f(x)的极小值为 .e 13.设集合S={a,a2,3,a4},若集合S的所有非空子集的元素之和是64，则 a1+a2+43+a4= 13.答案：8 解析：易知S的非空子集为{a},{},{a},{a4},{a4,},{4,},{a,4},{a,a3},{a,4}, {4,a4},{a,4,a},{a1,a,a4},{a,a3,4},{a,a3,4},{a,,43,a4},则所有非空子集的 元素之和为8(4+a2+a3+4)=64,得a1+a,+4+a4=8 14.已知椭圆c:+号-1的左焦点为P,点P在c上，点Q(4o),且所西-片，则点P到 43 x轴的距离为 14.多 设点P(),写出向量坐标，利用向量点积公式建立方程；结合椭圆方程消元求出，再代 入椭圆求%，即为点P到x轴的距离. 【详解】椭圆c:号-芳=1，d4,公3，c公公1左焦点(10叭. 设P(,),则PF=(-1-x,-6),P0=(4-,-), 厘顶-(1-4-)+--3%4+-华， 整理得：5+方-3戏-子，由椭圆方程得：坊-33污 4 代入上式符：后+33污-36行整理得龙-12+1=0， 4 解得=1或=11.又因6∈[-2,2]，则6=1， 将其代入椭园方程：子+号-1，解得， 43 即点P到轴的跑高为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且bcosC+ccosB=2acos4. (1)求A的大小： (2)若a=3,求b+c的范围， 【详解】（法一：射影定理；法二：正弦定理：法三：余弦定理） (1)因为bcosC+ccosB=2 acos4, 由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2 sinAcos4.即sin(B+C)=2 sinAcosA, 因为在△ABC中，sin(B+C)=sinA>0,所以cosA= 2’ 又0<<5所以4=号6分 (2)（法一：正弦定理；法二：余弦定理) b V3 因为A-牙，a=5,结合正弦定理，得8mC =2 所以b=2sinB,c=2sinC. 在AABC中，simC=si血(A+B)=simB+3 .所以 +c=2sinB+2sinc=2sinB+2sinB-2sinB+2sinBcos 2cosBsin -n+版co8-2n8+周引 因为△ABC为锐角三角形，所以 6 3 2 所以b+c∈(3,23.. …13分 16.(15分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm2在(0，+o)上单调递减， (1)求f(x)的解析式： 2若命题：3xe,3引，a≤为假命题，求实数a的取值范围； (3)求不等式f(x+I)<f(3-2x)的解集. 【答案】①倒-②(08)(m-0u后引 【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性来确定m的值，进而得到f(x)的解析式： (2)先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最 值问题： (3)根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式 【详解】(1)因为f(x)=(m2-5m+5)xm-2是幂函数，所以m2-5m+5=1,解得m=1或m=4: 当m=1时，f=x士在(0+o)上单调递减，符合题意： 当m=4时，f(x)=x2,在(0，+o)上单调递增，不符合题意，舍去： 所以，f的解析式为f=； …5分 2)因为命趣“3xe引码as倒”为假命怎， 所以其否定“x∈l,3引， fa>f)”为真命题 由(D知女则高，所以x->在L列上恒成立，即<x在刘止恒成立： 设g田)=x-1 ，x∈[1,3]，g(x)在，3]上单调递增： 则g=g0=1-=0,因为a<x-在L,3]上恒成立，所以a<gn=0, 即实数a的取值范围是(-o0,0):…l0分 (3)(法一：穿针法；法二：讨论法) 由f)=,不等式fx+1)<f3-2) 即为4°400 2-3x (x+1)(3-2x) (x+108-29<0 0+--》0, 3x-2 由“数轴标根法”求得不等式的解集为：(-0仔引 …15分 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量，=(c,2b+a), 号=(osA,cosC),且b+=B-点D为边AB上-点. (1)求角C的大小： (2)若CD是C的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度； 【答案】解：①)由一+一=一-一，两边平方得：1一+一2一-一2， 展开得：2+2一…一+2=2-2一一+2 p a 9 p 化简得。0…2分 =(c.26 ta),=(cosA,cosc ) ：cc0sA+(2b+a)cosC=0,… …4分 由正弦定理得：sinC cosA+2 sinB cosC+sinA cosC=0, :sin(A +C)+2sin B cos C =0, :A+B+C=π，故sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, ·sinB+2 sin B cos C=0, :0<B<r, sinB≠0， a1+2cosc=0,得osC=-克 :0<C<r, ac年 …7分 (2)C=9,a+b+c=19,故a+b=10,…。 …8分 由余弦定理：c2=a2+b2-2 a b cos C,即 1=a2+b2-2ab(-3=a2+b2+ab=a+b)2-ab=10-ab, 得：Qb=19,…10分 :CD是C的角平分线， ·∠ACD=∠BCD-r …11分 ·△ABC的面积为： b sinc·CDsin∠AcD,CDsin/BCD, 即bsin空CDsin号+经CD:tn号 32 32 b9e)c0,aa)c0 3 ·CD-19 0 …15分 18.(17分)从5名优秀大四学生中抽选人员分3批次到某公司参与实习.每次实习需要同时 派送2名学生，且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀大四学生中，2人有实 习经验，3人没有实习经验， (1)求5名学生中的“小张”，在这3批次实习中恰有两次被抽选到的概率； (2)求第一次抽选到有实习经验学生的人数x的分布列及数学期望： (3)设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为Y,判断P(?=O)与P(Y=1)的大小，并 加以说明， 【详解】(1)（法一：古典概型求解；法二：二项分布求解） 法一：p-cccc36 CCC 125 法二：每次从5人中选2人，小张单次被抽中的概率为P=CC_? 5’ …2分 3次拍途是雅立重复试验，设这：批次实习中小张被抽选到的次数为，则5引， 因此恰有两次被抽选的概率P-C: 2 3×4×336 …5分 125 125 (2)因为x表示第一次抽选的2人中，有实习经验的人数， 所以X的可能取值为0,1,2，…6分 PX=0)-i0 C3 P(x-1)-cC=63 C10,P(x=2)=g-1 C10 …9分 所以x的分布列为 X 0 1 2 3 3 1 10 5 10 所以e0001g20号 …11分 10 (3)P(Y=0)<P(Y=1),… …12分（有写，对给分) 由已知事件Y=0表示第二次抽到的2人都有实习经验， 事件Y=1表示第二次抽到1名无实习经验、1名有实习经验的学生， 由(2)Px-0)PX-)-Px=2d c=0 第二次抽选仍从全部5人中随机选2人，P(Y=0)=∑P(X=)P(Y=0X=k), 若第一次选了k个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为 3-(2-k)=k+1, 因此-0x=-告，所以r-0-器8品8品 PY=1)=罗PX=H7=1X=肉， 若第一次选了k个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为k+1, 因此P(-1r=)=CCu 所以P=1)=34133x2+12x312+9+622 101051010101002510050 故P(Y=0)<P(Y=1).…17分 19.（17分》已知的数/=e+as2x-} 4 上的单调性； (2)证明：当x>0时，f(x)>x; (3)设s,t>0,点(s,)关于直线y=x对称的点在曲线y=f(x)上，证明： ；fmoy. 2026个f () 解：对f(x)求导得： fa)-e-gsin2z 1 ·当之0时，e≥1.血2a≤分故fa)≥ 1>0 ·当-<<0时，2红e(x0,血2<0 ,故-2in2x>0,结合e>0得f')>0。 因此f)在（分+o∞）上单调递增。 …5分 (2) 证明：令ga)=fe)-x=c+ 490s2 5 4 T, 4-5=0, 则g(0)=1+44 求号得/倒=产-0 sin 2x-1 令h(c)=g（x),则h'(z)=e-cos2x, 当x>0时，e>1,cos2a≤1，故h'(x)>0,h( x)在(0，+oo)单调递增， 因此g(x)>g(0)=1-0-1=0, 故g(x)在(0，+o∞)单调递增，g(x)>g(0)=0,即f (z)>t. …10分 (3) 证明：由题意，点(t,s)在y=f(x)上，故s=f(t) 由(2)知s=f(t)>t>0。 ①证右半部分 由(1)知f(x)在(0，十o∞)单调递增，由(2)知对任意x> 0,f(x)>x, f(f(t))=f(s)>s,f(f(f(t)))>f(f(t))=f( s),以此类推，迭代2026次得： ff(…f(t))>f(ft)=f(s 2026个f 右半部分得证。 ②证左半部分 <fo,即证f八osfe 要证92 8>t=t 令oe)= f(c) (x>0),则p'(x)= xf(x)-f(x) 2 令(x)=xf'(x)-f(x),则： a)=e-1e-5n2a 1 5 …17分 -cos 2x+ 4 4 k'(x)=xe*-x cos 2x x(e*-cos 2x) 当x>0时，x>0,e2-cos2x>0,故(x)>0 ,k(x)在(0，十o0)单调递增， 又k(0)=0,故k(x)>0,p(x)>0,p(x)在(0 +oo)单调递增，