福建省福州第四中学2026-2027学年第一学期第一次适应性练习高三数学试题

福州四中2026-2027学年第一学期第一次适应性练习 高三数学 一．选择题：（共40分） 1．已知集合，则的子集个数为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．复数，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知直线m，n与平面，，，则的一个充分条件是（ ） A．， B．， C．， D．，， 4．某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.44 C．0.56 D．0.6 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．函数与函数公切线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 7．双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，点P是C上一点，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二．多选题：（共18分） 9．（多选）在正三棱台中，D为的中点，则（ ） A． B．平面 C． D．平面 10．（多选）已知为定义在R上的函数，对任意的x，，都有，并且当时，有，则（ ） A． B．若，则 C．在上为增函数 D．若，且，则实数a的取值范围为 11．（多选）已知函数（，，），若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．函数在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的最大值为 三．填空题：（共15分） 12．若函数为偶函数，则_______________________． 13．已知是奇函数，且当时，．若，则_______________________． 14．函数的最小值为______________________． 四．解答题：（共77分） 15．（13分）已知等差数列的公差，其前n项和为，若，，成等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求证：． 16．（15分）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． （1）求角C；（2）若为锐角三角形，且，求的面积． 17．（17分）已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间； （3）若区间，求实数a的取值范围． 18．（15分）已知球O的半径为1，在球O的内接八面体中，顶点P，Q分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥． （1）如图1，若点O在平面上，求证：平面； （2）如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积． 19．（17分）已知双曲线C：（，）的实轴长为4，且经过点． （1）求C的方程； （2）记C的右顶点为A，点R在线段（不含端点）上运动，垂直于x轴的直线交C于点（M在第一象限），点S满足，设直线与C的另一个交点为． ①用，表示直线的斜率；②证明直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州四中2026-2027学年第一学期第一次适应性练习 高三数学 参考答案与试题解析 一．选择题： 1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 二．多选题： 9．BD 10．ACD 11．AC 三．填空题： 12．1 13． 14．1 四．解答题（共5小题） 15．【解答】（1）因为，，成等比数列，， 所以，（4分）由，解得，（2分） 所以．（1分） （2）由，（3分），2，…，n， 得，（2分） 由，有，所以，得．（1分） 16．【解答】（1）当时，，因为，即，所以不合题意（1分） 当时，由得，则（1分） 因为，所以，所以，（1分） 又，（1分）所以（1分），因为，，， 所以由正弦定理得（1分），所以（1分）或（1分）， 因为，所以，两个解均符合题意； （2）因为为锐角三角形，所以，所以，（3分） 因为，所以N是的重心，（1分） 所以，所以的面积为．（3分） 17．【解答】（1）当时，，则（1分）， 所以（1分），又（1分），则所求切线方程为（1分）． （2）（1分），令，可得或， 当时，的定义为（1分）， 则由，可得或，由，可得或， 则的增区间为和（2分），减区间为和（2分）． （3）由（2）得，当时，在和上单调递增，在和上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 而，与题意不符，舍去；（3分） 当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则，解得．（3分） 当时，在上，但在处无定义，舍去．（1分） 综上，a的取值范围是． 18．【解答】（1）证明：如图，连接，则必过点O， 在四边形中，由于对角线，互相平分， 则四边形为平行四边形，故，（2分） 由于平面（1分），且平面，所以平面；（2分） （2）【解法一】如图，过点B作，记正方形的中心为N，连接，， 由于平面，，平面，则，， 又，则，，两两垂直， 如图，以点B为坐标原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，（1分） 由对称性，不妨设点O在N的下方，设， 则，，，， 于是点，，，， 设平面的一个法向量为，，， 由，，令，则，， 于是平面的一个法向量为，（3分） 设平面的法向量为，，， 由，则， 令，则，，则平面的法向量为（2分）， 设二面角平面角为，由，得（2分） 则，则，即内接八面体的体积为．（2分） 【解法二】如图，记正方形的中心为，取中点M，连接，，，， 由于，则，同理可证，则为二面角的平面角，（2分） 又，则，则为二面角平面角，为二面角平面角，不妨设点O在N的下方，设， 则，，，，， 于是，（1分） ，（1分） 于是，（2分） ， 由于，则，（1分）解得，则，（1分） 则，即内接八面体的体积为（2分） 19．【解答】（1）由题可得（2分），解得（1分），故C的方程为；（1分） （2）①因为，，所以直线方程为，（2分） 由于，故，因为，所以，（1分） 所以；（1分） ②证明：由①可知，即，（1分） 由题意可知，直线的斜率显然存在，设直线：，联立，消y得， （1分），即， 所以（1分），，（1分） 则，（2分） 所以（1分），所以直线：，所以直线过定点．（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $