18.3 分式的加法与减法（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.3 分式的加法与减法（第2课时） 分式的混合运算与应用 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 比较与，再说出分式混合运算应遵守什么顺序。 答：分别为；分式同样先算括号与乘方，再乘除，后加减。 不能因为运算对象变成分式，就改变四则运算的顺序。 新知讲授 分式混合运算顺序 原话 式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减。 括号优先 若式子含有括号，先算括号内。先乘除的部分可分别约分，到了加减层再通分；不必一开始就把整条式子全部通分。 新知讲授 先把大结构分清 看最后一步 在中，整个式子最后做减法，两边各自先完成乘方与乘除。 各部分计算 左部分成为，右部分成为；此时再用共同分母通分。 例题讲解 例 3 计算： （1） （2） （1） 答：。 先得。 通分后分子，再约分。 （2） 答：。 括号内通分，分子。 再乘倒数约分；原条件。 新知讲授 括号作为一个整体相除 先处理括号 若括号内有加减，不得直接把除式同其中某一项约分。先将括号合并成一个分式，再乘以除式的倒数，才有可约去的整体因式。 保留原条件 化简结果只明显排除，但原式还出现分母和除式的分子，所以也必须排除。 例题讲解 例 4：分析 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地。张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是。如果，两人谁先到达乙地？ 答：设全程为，张华用时，李明用时。 张华两段路程均为，分别用时。 李明总时间为。 例题讲解 例 4：解答 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地。张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是。如果，两人谁先到达乙地？ 答：李明先到达乙地。 张华用时减李明用时为。 且，所以时间差大于。 新知讲授 等路程的平均速度不能直接平均 总量决定平均量 平均速度等于总路程除以总时间。两段路程相等但速度不同，花费时间并不相等，因而不能直接把两个速度求算术平均。 用式子核对 张华的全程平均速度为。要比较两种速度，可先比较正的时间差，避免凭直觉判断。 方法归纳 分式混合运算分层处理 从结构决定先后 ① 先识别括号、乘方、乘除、加减所在的层次。 ② 乘除阶段分解约分，加减阶段统一分母。 从结果检查条件 ① 合并分子后再检查因式分解与约分。 ② 原分母和除式的非零条件不能随化简丢失。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 先得。 通分分子为，提出。 （2） 答：。 括号内。 第二个分式为，相乘约分。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 乘法部分为，括号内为。 通分相减得分子。 （4） 答：。 除法部分化简为。 。 课堂练习 练习 2 甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 答：。 两队一天的工作量分别为。 相加并通分，分子。 课堂练习 练习 3 前年、去年、今年某地的森林面积（单位：）分别是。今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？ 答：。 今年增长率为，去年为。 两者相减并通分，化简得结果。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 括号分别化为和。 乘方并除以后一分式，再分解约分。 （2） 答：。 先分别得与。 通分相加，提出公因式。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 两个括号分别为和。 相乘并除以后一整体，再约分。 （4） 答：。 先得。 通分分子为。 课堂练习 习题 4 先化简，再求值：，其中。 答：；值为。 除法部分先分解并约分为。 与后一项相加后代入。 阅读拓展 阅读：每次倒出的水量 问题 一个容器装有升水，第次倒出升，第次倒出升，第次倒出升，依此类推，第次倒出升。 研究目标 按照这个规则，这升水经过多少次可以倒完？先不考虑操作因素，把问题转化为分式求和；关键是将每一项改写为两个分式的差。 阅读拓展 示例 证明（为正整数）。 答：等式成立。 右边通分为。 分子等于，得到左边。 阅读拓展 示例 求前次倒出水的总量。 答：升。 每一项写成。 中间相邻的正负项相消，仅留下。 阅读拓展 阅读结论：有限次后始终有剩余 剩余水量 倒出次后剩余升。对于每一个正整数，这个数都大于，因此任何有限次操作后都不能倒完。 准确表述 次数增加时，剩余水量越来越小；“越来越小”与“某一次恰好为零”不同。本结论来自明确的代数表达式，不需用实际测量来猜测。 例题讲解 示例 计算。 答：。 先做乘法约去，再进行加法通分。 例题讲解 示例 计算。 答：，。 括号内先合并为，再相乘约分。 例题讲解 示例 计算。 答：，。 括号内通分为，与除式相同且非零。 例题讲解 示例 计算。 答：，。 第一项先约为，再减。 例题讲解 示例 计算。 答：，。 括号内合并为。 例题讲解 示例 计算。 答：。 裂项后相消，得到。 例题讲解 示例 计算。 答：。 裂项后留下。 例题讲解 示例 甲每小时完成工程的，乙每小时完成，两人共同完成所需时间如何表示？ 答：小时。 共同效率为。 总量除以共同效率，得。 例题讲解 示例 某年面积为，下一年为（），增长率为什么是而不是？ 答：增长率以原来的量为比较基准。 增加量除以原有量，表示相对原量增长的比例。 课堂总结 分式混合运算与应用 顺序 括号、乘方优先，再乘除，最后加减。 乘除 转乘法，先分解约分。 加减 统一分母，分子按整体相加减。 条件 原分母与所有除式均不能为零。 应用 平均量、增长率、工作效率、分式求和。 针对训练 训练 计算时，第一步应进行哪一种运算？A.加法；B.除法；C.乘方；D.通分整个式子。 答：C 按混合运算顺序，先算分式的平方。 通分是加减层的操作，不能代替运算顺序。 针对训练 训练 。 答：。 乘法部分为，再与相加。 乘法部分必须先算，不能把前两项先相加。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 分式混合运算与数的运算顺序相同。 正确 先乘方、再乘除、后加减，括号优先。 （2） 乘法与加法中的约分方式完全一样，可以跨加号约。 错误 约分只针对整体的共同因式。 （3） 平均速度总等于两个速度的算术平均。 错误 应由总路程除以总时间确定。 （4） 化简结果没有分母时，原式一定可取任意实数。 错误 原式的取值限制仍需保留。 针对训练 训练 计算。 答：，。 除法部分化简为。 同分母相加，分子为。 原除式的分母x+1不能为零。 针对训练 训练 计算。 答：，。 括号内通分得，再乘。 先把括号内减法化为一个分式，才能约分。 针对训练 训练 计算。 答：，。 分子为。 约分得到。 分子平方必须展开出中间项。 针对训练 训练 先化简，再求时的值。 答：；值为。 括号内为，再乘倒数约分。 原条件。 除式的分子x不能为零。 针对训练 训练 求。 答：。 每项裂成相邻倒数之差，中间项相消。 留下。 写出首尾项能帮助防止漏掉最终的负项。 针对训练 训练 一块麦田有，甲收割完这块麦田需，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？ 答：小时（）。 合计效率为。 总面积除以合计效率，约去后化简。 共同工作时间是总量除以效率之和，不是两个时间相加。 针对训练 训练 某人前半段路程以骑行，后半段路程以骑行。设总路程为，求全程平均速度。 答：。 总时间为小时。 平均速度。 必须先求两段时间之和，不能直接平均12与18。 方法归纳 计算和建模都保持整体 分层计算 ① 用括号确定整体，乘方乘除各自先算。 ② 加减统一分母后处理完整分子，合并后再约分。 数量关系 ① 平均速度用总路程除以总时间，工作时间用总量除以合计效率。 ② 比较增长率先确定各自基期，比较大小可作差并判断符号。 $