北京市西城区北京师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026-2027 初三第一学期月考 数 学 试 卷 班级：__________　姓名：__________　学号：__________ 考 生 须 知 1. 本试卷有三道大题，共6页。考试时长90分钟，满分100分。 2. 考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效。 3. 考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回。 一、单选题（本大题共10小题，共20分）。 1. 已知二次函数的顶点坐标是 A.(1,4) B.(1,-4) C.(-1,4) D.(-1,-4) 2. 下列是一元二次方程的是 A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是 A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 4. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是 A.3，5 B.3，-5 C.-3，5 D.，-5 5. 已知一元二次方程两个实数根分别为，，则的值为 A.5 B.-5 C.8 D.-8 6. 已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是 A.， B.， C.， D.， 7. "双碳"背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长。假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍。设第一个月的销售量为辆，月销售量的增长率为，则可列方程为 A. B. C. D. 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是 9. 已知抛物线经过点，。若，且，则的取值可以是 A.0 B.1 C.2 D.3 10. 关于的一元二次方程（），有下列四个结论： ①若是该方程的一个根，则一定有成立； ②若，则方程有一根为； ③若该方程的解为和，则方程的解是或； ④当，，时，方程一定有实数根。 其中，正确的有 A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.②④ 二、本大题共10小题，共20分。 11. 二次函数的对称轴是直线________. 12. 若关于的方程是一元二次方程，则=________. 13. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________. 14. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为________. 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________（用"<"连接）. 16. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________. 17. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为________. 18. 已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________. 19. 如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________. 20. 在平面直角坐标系中，已知点，，二次函数（）与线段只有一个交点，则的取值范围为________. 三、解答题（21题20分，22题8分，23题6分，24题6分，25题6分，26题7分，27题7分，共60分） 21. 计算：（1）； （2）； （3）； （4）. 22. 二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … -1 0 1 2 3 … … -3 -3 0 … （1）该函数图象的对称轴是________； （2）与轴的交点坐标是________； （3）二次函数解析式是________； （4）画出该二次函数的图象； （5）结合图象，当时，的取值范围是________________； （6）结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________. 23. 关于的方程. （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个根都是整数，求正整数的值. 24. 小军同学计划为一幅长10寸，宽9寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摞台画框，根据有关要求，画框的上、下宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摞台画框的左、右边宽度应是多少？ 25. 2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线。以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）. 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 （米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度 （米） 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系. （1）根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； （2）求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； （3）若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填"有效"或"无效"），挑战者投篮________（填"有效"或"无效"）. 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大. （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知点，是抛物线上的两点。若对于，，都有，求的取值范围. （3）已知直线，若抛物线总在直线的上方，求的取值范围. 27. 在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，点关于直线的对称点为. 给出如下定义：若图形上存在点，直线上存在点，使得点是的中点，则称点是直线关于图形的关联点. （1）已知，，直线. 在，，中，是直线关于线段的关联点的是________； （2）已知直线，正方形的四个顶点分别为，，，，记正方形及其内部为图形. ① 已知点，若点是直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围； ② 令，记抛物线在之间的部分为图形，若图形上存在直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围. 北京师大附中 2026-2027学年（上）初三数学月考 第 页 （共 页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与详细解析 一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.【答案】A　【解析】是抛物线的顶点式，顶点坐标为。故选 A。 2.【答案】B　【解析】A 含有两个未知数，不是一元二次方程；C 中的没有限定，当时不是二次方程；D 不是等式，根本不是方程；B 符合"只含一个未知数、最高次数为 2、整式方程"三个条件。故选 B。 3.【答案】A　【解析】判别式，方程没有实数根。故选 A。 4.【答案】B　【解析】移项得一般式，一次项系数为 3，常数项为 -5。故选 B（注意 D 中"3x"不是系数）。 5.【答案】A　【解析】由根与系数的关系，。故选 A。 6.【答案】C　【解析】抛物线开口向下，；由图象，抛物线与轴交于正半轴，故；对称轴在轴右侧，故，即。故选 C。 7.【答案】A　【解析】第一个月销售量为辆，月增长率为，则第二个月为辆，第三个月为辆。由"第三个月的销售量是第一个月的2倍"得。故选 A。 8.【答案】C　【解析】两个函数都经过点，即两图象在轴上的交点必须是同一点。A 中抛物线开口向上（）而直线下降（），矛盾；D 中抛物线开口向下而直线上升，矛盾；B 中抛物线与直线在轴上的交点不是同一点，不符合；C 中两图象恰好交于轴上同一点，且开口方向与直线的升降一致。故选 C。 9.【答案】C　【解析】抛物线开口向上，，。由得，即；由得，即，解得。四个选项中只有符合。故选 C。 10.【答案】D　【解析】①当是根时，，即；当时推不出，故①错误；②由得，当时，故是根，②正确；③由根为，得，，代入并化简得，解得或，不是 3 或，故③错误；④由，得，故且；又，，则，于是，方程一定有实数根，④正确。综上正确的有②④。故选 D。 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.【答案】　【解析】，对称轴是直线。 12.【答案】　【解析】是一元二次方程需其次数为 2 且二次项系数不为 0：且，解得（均满足）。 13.【答案】　【解析】向左平移 2 个单位：；再向上平移 1 个单位：。 14.【答案】　【解析】与轴有两个交点，需，即。 15.【答案】　【解析】对称轴为，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大。，，点 B 离对称轴更近，故。 16.【答案】　【解析】对称轴为，开口向上。要使时随增大而减小，需对称轴不在左侧，即，。 17.【答案】　【解析】，。由得，。此时，符合题意。 18.【答案】　【解析】对称轴为，开口向上，离对称轴越近函数值越小。点 P 到对称轴的距离为。由知点 Q 离对称轴更近：，即，解得。 19.【答案】　【解析】点 B 在轴上且是两图象的交点，所以抛物线与直线交点的横坐标为和。由 B 是公共点知，于是等价于，即抛物线不在直线上方。由图象，这在两交点之间成立，故解集为。 20.【答案】或或　【解析】线段 AB 在直线上，。令，即。抛物线对称轴为。（i）当时，方程两根为，其中；恰有一个根落在线段上需，即，解得（时抛物线恰好经过点 A）；（ii）当时，需即；若，两根都落在内，有两个交点，不合；当时仅一根在内，符合；当时，抛物线与直线恰切于顶点，符合。综上，或或。 三、解答题（共60分） 21.【解析】（每小题5分，共20分） （1），因式分解得，所以，。 （2），因式分解得，所以，。 （3），配方得，，所以，。 （4），因式分解得，所以，。 22.【解析】（8分） 由表中数据，与时都是 -3，由对称性得对称轴为；时，由对称性时，故；顶点处。由过与，解得，。 （1）对称轴是直线x=1；（2）与轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0)；（3）解析式为y=x²-2x-3，即； （4）图象（画图要点）：开口向上，顶点为，对称轴，过点、、，在原图坐标系中用平滑曲线连接即可； （5）当时，最小值为顶点处，最大值在端点处：，故y 的取值范围是； （6）方程有实数解，等价于函数的图象与直线有公共点，故不小于函数的最小值 -4，即t≥-4。 23.【解析】（6分） （1）方程有实数根，需判别式，即，解得m≤7/2，即。 （2）由求根公式，。两根都是整数，需为完全平方数。设（为非负整数），则。要使为正整数，须为奇数：当时，，两根为，，都是整数，符合；当时，，不是正整数，舍去。故m=3。 24.【解析】（6分） 设左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸。画框（外框）的长为寸，宽为寸。画框所占面积为外框面积减去创意画面积，由题意得 ， 整理得，即，因式分解得，解得，（宽度不能为负，舍去）。 答：摞台画框的左、右边宽度应为 0.5 寸（此时上、下边宽度为 1 寸）。 25.【解析】（6分） （1）由数据表，与时同为 3.5 米，关于对称，且时最大，故篮球飞行竖直高度的最大值为3.6 米。 （2）由（1）知顶点为，设。将代入得，解得。故函数关系式为y=-0.1(x-4)²+3.6，即。 （3）机器人：时由数据表，满足，故机器人投篮有效；挑战者：时，因为，不满足范围，故挑战者投篮无效。 26.【解析】（7分） （1）抛物线经过点，代入得c=2。由"当时随的增大而减小，当时随的增大而增大"知对称轴为，即，所以b=-2a。 （2）此时。当时，。即，也就是。 若，需对一切成立，但时左边为 0，不成立，故不合； 若，需，即对一切成立，于是需且，解得。 综上，t 的取值范围是 -1≤t<0。 （3）抛物线总在直线上方，即对一切都有，即。这需要且判别式小于 0： ， 解得或。又，故a 的取值范围是 a>1。 27.【解析】（7分） （1）答案：P₁ 和 P₃。 对：其关于直线的对称点为。取直线上一点，则，点在线段上（），故是关联点； 对：对称点为。设，则。要使在线段上需纵坐标为 0 且横坐标介于 1 与 4 之间，但此时横坐标恒为 5，不在内，故不是关联点； 对：对称点为。取，则=B，在线段上，故是关联点。 （2）① 点关于直线的对称点为。设直线上一点，则。要使在图形（正方形及其内部）内：横坐标可通过选取落入；纵坐标需，解得3≤t≤5。 ② 时，图形为正方形区域。设图形上一点，其中，即。关于的对称点为。设，则的纵坐标为 ， 横坐标可通过选取任意调节，故只需，即 ，等价于。 因此只需区间与有公共部分：由得；由得。故n 的取值范围是。 参考答案与详细解析 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $