17.2 用公式法分解因式（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第17章　因式分解 17.2 用公式法分解因式（第2课时） 完全平方公式 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 一个正方形的边长为。用两种形式表示它的面积，再把面积多项式重新写成乘积。 答：面积为；反向写成。 边长平方得到面积。 将完全平方乘法公式反过来读，就是一次因式分解。 新知探究 三项式的共同结构 寻找平方项 与都包含这两个平方项，另外一项分别是两底数乘积的倍或它的相反数。 观察中间项 中间项为时，对应两数和的平方；中间项为时，对应两数差的平方。符号差别决定分解结果中的加号或减号。 新知讲授 完全平方式 名称 我们把和这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。 三项缺一不可 有两个平方项还不够，必须同时核对另一项是否是对应底数乘积的两倍。例如不满足这一条件。 新知讲授 完全平方公式的逆用 公式 ；。 文字表达 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 新知讲授 判断完全平方式的顺序 先定两数 先把两个平方项写成与，明确对应底数。例如与的底数可分别取与。 再验乘积项 计算，与剩余项进行比较。若剩余项是，则应写成两数差的平方。 例题讲解 例 3 分解因式： （1） （2） （1） 答： ，。 （2） 答： ，。 中间项。 例题讲解 示例 是否为完全平方式？ 答：不是。 平方项的底数是。 所需中间项应为，实际中间项为。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 重排为。 中间项。 新知讲授 整体参与完全平方公式 一个整体 中，整体在平方项和中间项中同时出现。把暂记为，式子就成为。 还原整体 因为、，所以结果为。最后必须把换回，得到。 新知讲授 平方项为负时先调整 提出负号 的首尾平方项都带负号，可以先提出，得到。 再套公式 括号内是与之差的平方，所以原式为。外面的负号不能在套用公式时消失。 例题讲解 例 4 分解因式： （1） （2） （1） 答： 把看作一个整体，与组成完全平方。 （2） 答： 先写成。 括号内为。 新知讲授 用公式法分解因式 名称 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。 方法的来源 因式分解与整式乘法方向相反。把乘法公式等号两边互换，就得到对应的分解公式；但使用时必须逐项核对结构，不能只凭“像一个平方”。 方法归纳 判断与分解要分开 判定是否为完全平方式 ① 找出两个平方项的底数，算出两倍乘积。 ② 核对第三项的大小与正负，必要时先重排或提负号。 写出正确的平方 ① 正的乘积项对应和的平方，负的对应差的平方。 ② 把代换的整体还原，保留括号外原有的负号。 课堂练习 练习 1 下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：是。 可写为。 （2） 答：不是。 缺少两底数乘积的两倍这一项。 （3） 答：不是。 常数项为负，不是两个平方的和。 （4） 答：不是。 中间项应为而不是。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 两个底数为。 （2） 答： ，。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 两个底数为。 （4） 答： 。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （1） 答： 整体与构成完全平方。 （2） 答： 重排并提负号，得。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 中间项为。 （2） 答： 先提出。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 两个底数为。 （4） 答： 先提负号，再把视为整体。 课堂练习 习题 8 已知是完全平方式，求的值。 答：或。 两个平方底数可取。 两倍乘积为，所以中间项可以是。 课堂练习 习题 4（1） 利用因式分解计算：。 答： 。 原式。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： ，。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 底数为，两倍乘积为。 例题讲解 示例 把写为对吗？ 答：不对，应为。 常数项，中间项。 例题讲解 示例 改正：。 答：。 先提出负号，括号内才是完全平方式。 例题讲解 示例 使成为完全平方式，方框内填什么？ 答：。 中间项，另一个平方为。 例题讲解 示例 与是否相等？用公式解释。 答：相等。 分别展开都等于。 例题讲解 示例 说明的值为什么不小于，何时等于？ 答：，当时等于。 任何实数的平方都不小于。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 把看作第一个底数，中间项为。 课堂总结 完全平方公式 结构 共有三项。 检验 两平方项定底数，第三项检验两倍乘积。 结果 分别写成或。 变形 允许重排、整体代换、先提负号。 注意 不能遗漏中间项或括号外的负号。 针对训练 训练 下列各式中，哪个是完全平方式？A.；B.；C.；D.。 答：C 。 检验中间项是否等于两个底数乘积的两倍。 针对训练 训练 填空：。 答：。 常数项为。 中间项已经确定另一个底数是7。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 正确 中间项为两倍乘积。 （2） 。 错误 右边多出。 （3） 。 正确 两底数为。 （4） 。 正确 提出负号后套用公式。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 两平方底数为。 。 先确定平方底数，再核对乘积项。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 把看作整体，与组成和的平方。 保留整体，不必先展开它的平方。 针对训练 训练 若是完全平方式，求。 答：或。 两平方底数为，两倍乘积为。 和的平方与差的平方都满足条件。 未指定和或差时，要保留正负两种可能。 针对训练 训练 当时，求的值。 答： 原式。 代入得。 把大数的三项运算化为一个整百数的平方。 针对训练 训练 求的最小值，并指出此时的值。 答：最小值为，此时。 原式。 等号成立条件为。 平方为零时取得最小值，不需使用二次函数。 针对训练 训练 一块正方形地面的面积为平方米，且。将面积式分解因式，并求它的边长；当时，边长是多少？ 答：面积为；边长为米，代入得米。 中间项，常数项为。 因为，边长为正。 边长必须取正值，不能只写平方形式后忽略情境。 针对训练 训练 一个正方形花坛边长比原计划的米增加米。新面积表达式为平方米。若，用因式分解求新面积。 答：平方米。 。 代入得。 新边长是原边长加3，三项式对应一个完整的平方。 方法归纳 完全平方的两条核查线 结构核查 ① 两平方项决定底数，中间项必须为两底数乘积的两倍。 ② 根据中间项正负选和或差，注意重排与整体代换。 结果核查 ① 平方展开应恰好得到原三项，外面的负号完整保留。 ② 应用中利用平方非负性时，明确等号成立的条件。 $