17.2 用公式法分解因式（第3课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第17章　因式分解 17.2 用公式法分解因式（第3课时） 综合分解与数学活动 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 是否已经分解彻底？ 答：没有；还可以分解。 继续写成。 逐一检查每一个多项式因式，不能只看到乘积就停止。 新知讲授 先提公因式，再看公式 从整体开始 对，两项先有公因式。若直接寻找两个平方，会忽略最方便的第一步；先提取后得到。 继续检查 括号内是平方差，因此还要写成。一次分解之后，逐个因式再检查，形成完整的分解过程。 新知讲授 分解到不能再分解为止 要求 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 使用范围 本课用已经学过的提公因式法、平方差公式和完全平方公式判断。留下，与留下还能继续分解的，处理是不一样的。 例题讲解 例 5 分解因式： （1） （2） （1） 答： 先写成。 再对第二个因式用平方差公式。 （2） 答： 先提，得。 再用平方差公式。 新知讲授 三项式先提取共同部分 提取后暴露结构 中先提，括号内成为，它才是容易识别的完全平方式。 负号一起提出 可先提，使括号内首项为正，得到，再分解为。 例题讲解 例 6 分解因式： （1） （2） （1） 答： 先提，括号内是和的完全平方式。 （2） 答： 先提，括号内为。 新知探究 示例 分解因式：。 答： 展开原平方并合并，得。 整理后才出现完全平方结构。 方法归纳 综合分解的选择顺序 先观察整体 ① 先检查公因式，必要时先整理或统一括号方向。 ② 提取后根据两项或三项结构，选择平方差或完全平方。 再检查每个因式 ① 每次分解后逐个检查多项式因式是否还能分。 ② 最后展开抽查，保留正确的常数因子和负号。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 先提，再分解。 （2） 答： 先提，再用完全平方公式。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 先提，括号内为。 （4） 答： 写成。 再分解。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （1） 答： 先提，括号内重排为。 （2） 答： 先提，再用完全平方公式。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （1） 答： 展开合并得。 （2） 答： 展开合并得。 再用平方差公式。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （1） 答： 提取，括号内为。 （2） 答： 先得。 再分解。 课堂练习 练习 分解因式： （1） （2） （3） （4） （3） 答： 两次使用平方差公式。 （4） 答： 两底数和为，差为。 最后分解。 课堂练习 习题 5 已知，求的值。 答： 原式。 整体代入得。 新知讲授 阅读：从两因式相乘寻找新结构 推导 。把等号两边反过来，就得到这类二次三项式的因式分解。 识别 若二次项系数为，需要找到两个数，使它们的和等于一次项系数，积等于常数项。例如、。 阅读拓展 示例 把分解因式。 答： 寻找积为、和为的两个数，为。 展开复核一次项系数。 阅读拓展 阅读练习 利用上述方法，你能把下列多项式分解因式吗？ （1） （2） （3） （4） （1） 答： ，。 （2） 答： ，。 阅读拓展 阅读练习 利用上述方法，你能把下列多项式分解因式吗？ （1） （2） （3） （4） （3） 答： ，。 （4） 答： ，。 数学活动 活动 1 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：；；；……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 答：。 展开得。 前两项提出，得到。 新知讲授 活动二：因式码怎样形成 规则 先将确定的多项式分解因式，再赋值生成正整数或的因式码，按从小到大的顺序排列。例如。 示例 取，三个因式码为，按从小到大排列得到。这里每个数必须来自分解后的完整因式。 数学活动 活动 2（1） 已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是什么？ 答：。 。 代入得，从小到大排列为。 数学活动 活动 2（2） 已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码，若密码的前两个因式码为，你能求出第三个因式码吗？ 答：第三个因式码为。 ，故。 两式相加得，再得。 第三个码为。 数学活动 活动 2（3） 自己写一个多项式，并用上述方法生成密码。 答：例如，取，生成密码。 。 代入得到因式码，按从小到大排列为。 例题讲解 示例 改正不彻底的结果：。 答： 括号内仍是平方差。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 先提得到。 继续用平方差公式。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 先写成，再分解。 例题讲解 示例 分解因式：。 答： 中间项。 原式。 课堂练习 示例 设为奇数，求证：除以的余数为。 答：是的倍数，故余数为。 设，则。 相邻整数有一个是偶数，故乘积是的倍数。 课堂总结 因式分解的方法选择 第一步 先查公因式，必要时整理与统一符号。 两项式 识别平方差，逐个检查所得因式。 三项式 检验完全平方，阅读拓展关注和与积。 终点 每个多项式因式都分解到不能再分解。 应用 简算、整体求值、面积、整数规律。 针对训练 训练 下列结果中尚未分解彻底的是：A.；B.；C.；D.。 答：B 。 检查每个多项式因式，不只看整个式子是不是乘积。 针对训练 训练 。 答：；；。 先提公因式，再用平方差公式。 提公因式后不要立即停止。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 正确 平方差公式连续使用两次。 （2） 。 正确 先提2，再用完全平方公式。 （3） 。 正确 负号在平方外保留。 （4） 。 错误 两数积为6，但和为7，不是5。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 先提，再分解。 最大公因式应一次提尽。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 先提，得到。 括号内为完全平方式。 中间项4x是x与2乘积的两倍。 针对训练 训练 分解因式：。 答： 先得。 第二个因式继续使用平方差公式。 平方和与平方差在后续处理上不同。 针对训练 训练 已知，求。 答： 原式。 代入得。 不必分别求a、b，把表达式改造成已知整体。 针对训练 训练 已知是完全平方式，求。 答：或。 两个底数为，两倍乘积为。 和的平方与差的平方都需考虑。 第三项是平方并不能唯一确定中间项的符号。 针对训练 训练 如图，在半径为的圆形钢板上，挖去半径为的四个小圆，计算当时剩余部分的面积（取）。 答：。 面积为。 代入得。 四个小圆的总面积是4πr²，分解时对应的底数是2r。 针对训练 训练 一块正方形活动区原边长为米，四周调整后新面积比原面积增加平方米。用因式分解求新活动区边长（）；当时，新增面积是多少？ 答：新边长为米；新增面积为平方米。 新面积，新边长为。 代入。 先求新面积再识别正方形边长，新增面积不能直接当边长。 方法归纳 让每一步都有依据 按结构选择方法 ① 公因式优先；两项看平方差，三项检验完全平方。 ② 需要时先整理，整体代换后记得还原。 以应用和检验收尾 ① 逐个检查因式是否分尽，展开复核符号、系数与次数。 ② 求值代入已知整体，面积与整数问题解释每个因式的意义。 $