13.4 确定匀质薄板的重心位置（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.4 确定匀质薄板的重心位置（第1课时） 综合与实践 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 同样是支撑，为什么有的能平衡？ 观察情境 运动员转向、杂技演员转盘，都需要调整物体或身体的位置，使运动和支撑相协调。 提出问题 一块厚薄均匀的硬纸板，只用一个小支点托住，支在哪里才能保持平衡？ 引入讨论 想一想 剪一块三角形硬纸板。甲认为应支在最高的顶点，乙认为应支在三条中线的交点。谁的方案更合理？ A B C D E F G 答：乙的方案更合理。 均匀三角形薄板的重心对应三条中线的交点。 顶点通常不在重心位置，单点支撑时容易倾斜。 先说明纸板质地均匀、厚薄一致，再讨论几何图形与物体重心的联系。 活动准备 本次活动要完成什么 活动目标 发现确定匀质薄板、薄壳（厚度可忽略）重心位置的方法。 研究路线 先研究三角形、长方形等简单图形，再研究由简单图形拼成的组合图形。 活动准备 材料与记录怎样准备 所需材料 质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线。画图与剪裁尽量准确，悬挂时让薄板自由静止。 分工与记录 小组分别负责制图、操作、测量和记录。先预测位置，再实验检验，不要把预测值写成实测值。 活动探究 任务 在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？ 答：物体重力作用可等效集中的位置；匀质薄板的重心与形状、尺寸和质量分布有关。 研究同一种材料、厚薄均匀的薄板时，各部分质量与面积成正比。 要区分物理物体的重心与用几何图形表示的位置。 比较薄板时，先检查材料和厚度是否保持一致。 活动探究 任务 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡。此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心。三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？ A B C D E F G 答：两者对应同一个位置。 先作两条中线，得到交点。 把放在支点上，观察平衡情况，并检查第三条中线是否经过。 实验可支持猜想；画图时中线必须连接顶点和对边中点。 活动探究 任务 你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？ 答：可用与该图形对应的匀质薄板的重心位置，描述这个平面图形的重心。 这个描述依赖匀质、薄板的前提。 说明图形的位置时，可用特殊线的交点或在坐标系中给出坐标。 描述重心时，先明确研究对象和前提。 活动探究 任务 你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗？ 答：用两次悬挂，画出两条铅垂线，以交点确定重心。 从薄板上一点悬挂，静止后沿重垂线画直线。 换一个悬挂点重复操作；两条线的交点是待验证的位置。 两次悬挂所画直线应不重合，才能确定交点。 知识讲授 悬挂法为什么需要换一个点 一次悬挂 薄板自由静止时，重心位于经过悬挂点的铅垂线上。一次操作只能确定一条位置线。 再次悬挂 选不同位置悬挂，两条位置线交于一点。第三次悬挂可用于核查偏差，最终还可用支撑法验证。 活动探究 任务 怎样确定其他常见的几何图形（如线段、正方形、长方形、平行四边形等）的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？ O A B C G 答：均匀细棒对应线段中点；正方形、长方形和平行四边形的重心在对角线交点。 将对应薄板分成质量相同、位置相互对应的部分，观察它们的平衡位置。 三角形可通过中线分成等面积的两部分，结合悬挂实验理解重心位置。 这里讨论均匀模型；不能仅凭外形判断内部质量不均匀物体的重心。 活动探究 任务 如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么？位于什么位置？”，你会怎样回答？ 答：先说明匀质薄板模型，再根据图形确定位置，或通过实验寻找。 三角形可找中线交点，长方形可找对角线交点。 对于不规则图形，不能直接套用简单图形结论，可用悬挂法。 回答要同时交代含义、条件、定位办法。 活动探究 任务 你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定重心的位置？如果能，你的依据是什么？如何验证你找到的重心位置的正确性？ O A B C G 答：示例：选择长方形薄板，取两条对角线的交点。 两条对角线交于长方形的中心，各部分的分布相互对应。 在交点处支撑，或换两点悬挂后比较交点。 开放题可以有不同选择，但必须提供定位依据和验证方法。 活动探究 任务 当不能根据图形的形状确定它的重心位置时，你能通过把它分割成已知重心的图形来寻找它的重心位置吗？如果能，你是如何做的？如果不能，你遇到了什么困难？ O A B C D E G 80 cm 120 cm 答：可以。先分成简单图形，找各部分重心，再研究面积和重心位置之间的关系。 分割时各部分应不重叠、不遗漏。 两部分面积不相等时，总重心通常不是两部分重心的中点。 先提出需要解决的问题：面积不等时，怎样确定位置的权重？ 活动探究 活动二·任务1：把图形分成两部分 研究任务 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置的关系。 统一表示 选择已知重心的平面图形，在同一坐标系中记录两部分面积和重心坐标，再比较整体重心。 O A B C G 活动探究 任务 你选择的是什么图形？你是按照什么标准把图形分成两部分的？图形的重心和两部分的重心分别在哪里？ O A B C G G1 G2 答：选的长方形，沿竖直中线平分。整体重心，两部分重心、。 以左下角为原点，向右、向上分别为正方向。 两部分面积均为，整体重心恰为两个分块重心的中点。 本页数据用于说明一种可行方案，坐标单位统一。 活动探究 任务 你是如何建立平面直角坐标系的？图形的重心位置的横坐标、纵坐标与两部分的重心位置的横坐标、纵坐标有什么数量关系？ O A B C G G1 G2 答：当两部分面积相等时，，。 取长方形左下角为原点，用两条边所在直线作坐标轴。 在等面积方案中，两个坐标的权重均为；面积不等时不能照搬。 换坐标原点后，所有重心坐标都要在同一个新坐标系中表示。 活动探究 任务 换一个标准把图形分成两部分，你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标有什么数量关系？这种关系是否与前面得到的关系具有一致性？ O A B C G G1 G2 答：两块宽为和，权重为、。 两块面积为，重心为。 ，，与整体重心一致。 位置计算中的权重取面积占比，不能取块数占比。 活动探究 任务 你能根据前面的探究结论，猜想这个图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标有什么数量关系吗？如果能，你能用式子将关系表达出来，并进一步验证它的正确性吗？如果不能，可能的原因是什么？ 答：设两块面积为，则，。 同种材料、同厚度时，质量比等于面积比。 用另一种分割计算，再用悬挂实验检验；若不一致，应检查分块与坐标。 这是活动中需要探究和验证的关系，两个方向都要加权。 易错提醒 分割计算的三个常见错误 面积的错误 把两块重叠部分重复计算，或漏掉一个小角，都会改变总面积。画分割线后先检验面积之和。 位置的错误 不能把图形顶点当作重心，也不能混用不同原点的坐标。分块面积不等时，不可直接平均两个坐标。 活动探究 任务 以小组合作的形式，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件（或工件的横截面），可以从图中提供的工件或横截面中选择一个，通过推理、计算确定它的重心位置。 答：可分别把“L”形、“Z”形和方格组合薄板分成不重叠的长方形。 给定坐标原点，计算每一块的面积和重心坐标。 分别按横坐标、纵坐标的面积权重计算，再用实验检验。 图示数据按厘米统一计算；计算结果应回到原图上解释。 活动探究 任务 图示“L”形薄板厚薄均匀，外侧竖边长，横边长，两条臂的宽均为。以外侧左下角为原点，求重心坐标。 O A B C D E G 80 cm 120 cm 答：分成和两块。 面积分别为平方厘米。 重心坐标分别为与；总面积为。 横块从开始，避免把的小方块计算两次。 活动探究 任务 图示“L”形薄板厚薄均匀，外侧竖边长，横边长，两条臂的宽均为。以外侧左下角为原点，求重心坐标。 O A B C D E G 80 cm 120 cm 答：重心为，约为。 。 。 重心可落在形状的凹口区域，不一定在薄板材料上。 活动探究 任务 图示“Z”形薄板，两条横臂厚，竖臂宽；上横臂长，下横臂长，中间竖臂高。以图中外接范围左下角为原点，求重心。 O A B C D E F H I G 答：重心为。 上、中、下三块面积为，重心为。 ，。 总面积；中间竖块只取两条横臂之间的部分。 活动探究 任务 图示薄板由边长的小正方形拼成。以整个图形左下角为原点，求重心。 答：重心为。 以小正方形边长为单位，下两行格、中两行格、上行格。 三块重心为，加权得，再乘。 先使用统一格长计算，再换算厘米，两个坐标都乘。 活动探究 任务 如图，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”“滚式”更好。试通过查阅资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因。 答：背越式可以通过调整身体姿态，使身体越杆时重心的位置相对较低。 人体是可以改变形态的组合体，重心位置随姿态变化。 身体各部分越过横杆时，重心可处在身体外部的空间；不能只看某一身体部位的高度。 这项选做活动用于理解重心可能在物体外部，可以结合身体姿态解释这一现象。 活动归纳 把计算方案变成小组实验 实施顺序 每组选择一种薄板，明确原点和分割方案。先完成图纸与计算，再剪裁、悬挂、测量，最后比较结果。 记录内容 同时保留预测坐标、实验标记和偏差原因。重新剪裁或换悬挂点时，说明改动了什么。 活动归纳 怎样说明自己的研究结论 展示要点 用一张图交代分块、尺寸、坐标轴与重心位置，再展示面积表和计算过程。结论必须带上匀质、同厚度的条件。 评价依据 检查图形是否完整、分块是否重叠、坐标是否统一、计算与实验是否一致。出现偏差时，先找可检查的原因。 课堂练习 练习 下面均为同种材料、厚薄均匀的薄板，分别求整体重心。 （1） 两块面积相等，重心为。 （2） 两块面积为，重心为。 （1） 答：。 ，。 （2） 答：。 ；纵坐标同为。 先看面积是否相等，再决定能否直接取中点。 课堂练习 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 匀质薄板的重心一定在材料内部。 错误 “L”形薄板的重心可以落在凹口区域。 （2） 两部分面积相同，总重心是两部分重心的中点。 正确 同质同厚时，两部分质量相等，两个位置权重相同。 （3） 两个分块应采用同一个坐标系。 正确 这样才能对相应坐标进行加权。 各条判断都以质地均匀、厚薄一致为前提。 方法归纳 活动阶段归纳 实验定位 ① 两次悬挂画出不重合的铅垂线。 ② 交点标记后，再通过支撑或第三次悬挂核查。 分割计算 ① 将图形分成不重叠的简单图形。 ② 统一坐标系，用面积占比作权重。 课堂总结 确定匀质薄板的重心 研究对象 匀质、同厚度，面积比对应质量比。 简单图形 三角形找中线交点，长方形找对角线交点。 组合图形 分块求面积与重心坐标，分别加权。 验证与解释 通过悬挂或支撑检验，重心可以在材料之外。 针对训练 训练 要寻找一块不规则匀质薄板的重心，以下方法最直接的是（　）。A.找最高点　B.找任意弦中点　C.两次悬挂画铅垂线　D.任选中心位置 答：C。 不规则外形未必能直接确定特殊线的交点。 两次悬挂得到两条不重合的位置线，交点用于定位。 方法选择应与图形是否规则相适应。 针对训练 训练 两块同质同厚的薄板面积为和，计算整体重心时，两块重心坐标的权重分别为多少？ 答：、。 总面积。 两块所占比例分别为与，权重之和为。 权重之和等于1可以用来快速检查。 针对训练 判断 判断下列计算方法是否正确。 （1） 面积分别为的两块，坐标直接取算术平均。 错误 面积不等，两块权重分别为。 （2） 只算横坐标，纵坐标照抄一块的纵坐标。 错误 除非两块纵坐标相同，否则纵坐标也要加权。 （3） 换一种不重叠的分块，总体重心应保持一致。 正确 研究的同一薄板没有改变。 结果是否依赖分块方式，是交叉检查的重要线索。 针对训练 训练 两块面积相同的均匀薄板重心分别为和，求组合后的重心。 答：。 。 。 出现负坐标时，应带符号代入，不取绝对值。 针对训练 训练 两块同质同厚薄板的面积分别为，重心坐标分别为，求整体重心。 答：。 。 。 面积较大的部分在计算中占更大的权重。 针对训练 训练 一块外边长、臂宽的“L”形均匀薄板，小明把它看成两块的长方形，总面积算成。错在哪里？正确面积是多少？ O A B C D E 答：重叠的方块算了两次，正确面积为。 可以取和两个不重叠长方形。 面积为；随后用这两块的重心计算。 分块图与面积表必须一一对应。 针对训练 训练 宽、高的长方形薄板沿横向分成高和高两块。以左下角为原点，求整体重心，并与对角线交点比较。 O A B C G 答：整体重心为，与对角线交点相同。 两块面积为，重心为。 ，。 不同分割得到相同结果，能帮助发现坐标或面积错误。 针对训练 训练 一块均匀指示牌可分成两块不重叠长方形，面积分别为，重心分别为。要在整体重心处设置支撑点，支撑点的坐标是多少？ 答：。 。 两部分纵坐标都为，因此整体纵坐标也为。 实际制作还需用支撑实验核查材料和裁剪误差。 针对训练 训练 一块展板由两片同质同厚薄板拼成，重心为、。第一片面积是第二片的2倍。整体重心距多远？若以该点为单支点，安装前应做什么验证？ 答：距为个长度单位；安装前进行支撑或悬挂验证。 设第二片面积为，则。 总重心更靠近面积较大的一块，不是两点的中点。 模型计算给出预计位置，实验用于核查薄板的实际条件。 方法归纳 方法总结 实验法：用位置线定位 ① 静止后画出经过悬挂点的铅垂线。 ② 换点再画，取两线交点。 ③ 用第三次悬挂或支撑法检验。 分割法：用面积确定权重 ① 分成不重叠、不遗漏的简单图形。 ② 统一坐标系，分别计算两个坐标的面积加权平均。 ③ 换分割或做实验，检查结果是否一致。 $