第13章 三角形 综合与实践-确定匀质薄板的重心位置 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦匀质薄板重心位置的确定，涵盖概念理解、简单图形重心（如线段中点、三角形中线交点）及组合图形重心（分割法、坐标法），通过视频导入衔接已学三角形重心，构建从实验操作到坐标计算的知识支架。 其亮点是以实验探究为核心，通过悬挂法确定图形重心、分割正方形推导面积比与重心坐标关系等活动，培养几何直观与推理能力，结合“背越式”跳高原理体现数学应用。学生提升实践创新意识，教师获得结构化活动设计与多元评价工具支持。

综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 综合与实践 八年级上 1. 理解一般平面几何图形重心的物理概念和数学概念，并学会利用分割法和平面直角坐标系确定平面几何图形的重心，理解其与图形对称性的关系. 2. 感受重心与生活实际的紧密联系，认识到重心知识在工程技术、体育运动等领域的重要应用价值. 学习目标 点击播放视频 新课引入 活动目标 发现确定匀质薄板、薄壳(厚度可忽略)重心位置的方法. 活动目标 活动准备 1. 材料用具： 质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线. 2. 资料学习： 查阅资料，了解重心的概念以及工程中确定物体重心位置的方法. 活动准备 活动任务 由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，再探究确定平面组合图形重心位置的方法. 确定简单平面图形的重心位置 活动一 我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形的重心在什么位置呢? O 活动任务 任务1 认识平面图形的重心 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题. (1)在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？ 在物理学中，一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心. 匀质薄板的重心位置只跟薄板的几何形状有关. 活动任务 (2)用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡.此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心.三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？ 在薄板上，连接三角形的三条中线，可以发现三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置重合. 活动任务 (3)你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？ 一个平面图形形状的匀质薄板的重心所在的位置就是这个平面图形的重心. 活动任务 任务2 了解平面图形重心位置的分布特点 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题. (1)你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗? 利用物理中的二力平衡这一知识，可以设计确定物体重心位置的实验方法——悬挂法. 如图，用悬挂法确定三角形匀质薄板重心位置的过程如下： 活动任务 ①在质地均匀的薄纸板上任意画一个三角形△ABC，把△ABC剪下来，并在△ABC的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点. ②用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”AD; ③对于小钉B(或C)重复②的过程，描出 细线的“痕迹”BE(或CF)，AD与BE(或CF)的 交点G就是三角形薄纸板的重心位置. 由于三角形薄纸板的重心位置与△ABC 的重心位置重合，所以点G就是△ABC的重心. A B C E F D G 活动任务 (2)怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？ 与用悬挂法确定三角形的重心类似，可以用悬挂法确定线段、正方形、长方形和平行四边形的重心(操作过程略). 通过实验，可以发现：线段的重心是线段的中点，正方形、长方形和平行四边形的重心都在两条对角线(不相邻顶点所连线段)的交点处. 总体来说，这些图形的重心都在图形的几何中心. 活动任务 对于三角形，虽然不容易直接看出它的重心位于几何中心，但将重心与三角形的三个顶点连接后，连线把三角形分为面积相等的三部分，我们可以直观的感受到三角形的重心就是它的几何中心. (2)怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？ O A B C 活动任务 (3)如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么？位于它的什么位置？”，你会怎样回答？ 平面图形的重心指的是这个平面图形形状的匀质薄板的重心，重心位于平面图形的几何中心. 活动任务 任务3 确定一些平面图形的重心位置 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择一些平面图形，尝试确定它们的重心位置. (1)你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定其重心位置？如果能， 你的依据是什么？如何验证你找到的重心位置的准确性？ 我选择的是圆，它的重心位置是它的圆心. 依据：圆是中心对称图形，对称中心就是圆心. 可以利用悬挂法来验证圆的重心位置. 活动任务 (2)当不能根据图形的形状确定它的重心位置时，你能通过把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗？如果能，你是如何做的？如果不能，你遇到了什么困难？ 对于一般四边形，可以尝试把它分割成两个三角形.分别通过画出两个三角形两条中线的交点来确定其重心位置G1，G2. 要由G1，G2的位置确定四边形的重心位置，还需要知道两个三角形的重心位置与四边形重心位置之间的关系. G1 G2 活动任务 确定平面组合图形的重心位置 活动二 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了. 为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置. 活动任务 任务1 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分 的重心位置之间的关系. 通过小组合作活动，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系. 活动任务 (1)你选择的是什么图形？你是按照什么标准把图形分成两部分的？图形 的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里？ 选择一个正方形，分成左右两个面积相等的长方形.通过画出正方形和两个长方形的对角线的交点，可以确定它们的重心位置分别为G和G1，G2. G G1 G2 活动任务 (2)你是如何建立平面直角坐标系的？图形的重心位置的横坐标x、纵坐标y与两部分的重心位置的横坐标x1，x2、纵坐标y1，y2之间有什么数量关系？例如，能写成“x=( )x1+( )x2，y=( )y1+( )y2”的形式吗？两者之间的关系与你选择的分割图形的标准有关吗？如果不能发现x与x1，x2、y与y1，y2之间的关系，换一种方式建立平面直角 坐标系试试看. G G1 G2 活动任务 如图，建立平面直角坐标系，则正方形的重心坐标为G(0.5，0.5)， 左侧长方形的重心坐标为G₁(0.25，0.5)， 右侧长方形的重心坐标为G₂(0.75，0.5). 由0.5=×0.25+×0.75， 0.5=×0.5+×0.5， 得x=x1+x2，y=y1+y2. x y O 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.2 0.2 0.6 0.8 1.0 0.4 1.2 G(x，y) G1(x1，y1) G2(x2，y2) 活动任务 换一种分割方式，把正方形分成上下两个面积相等的长方形. 如图，建立平面直角坐标系，则正方形的重心坐标为G(0.5，0.5)， 上方长方形的重心坐标为G₁(0.5，0.75)， 下方长方形的重心坐标为G₂(0.5，0.25). 则可得到同样的等式 x=x1+x2，y=y1+y2. x y O 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.2 0.2 0.6 0.8 1.0 0.4 1.2 G(x，y) G1(x1，y1) G2(x2，y2) 活动任务 由此可以发现，正方形的重心坐标与被分成两部分的重心坐标的关系和两部分与整体的面积比有关. 再换一种建立坐标系的方式. 如图，建立平面直角坐标系，则正方形的重心坐标为G(0，0)， 上方长方形的重心坐标为G₁(0，0.25)， 下方长方形的重心坐标为G₂(0，-0.25). 等式x=x1+x2，y=y1+y2仍然成立. x -0.2 0.2 0.4 0.6 -0.4 -0.6 y O -0.4 -0.6 0.2 0.4 -0.2 0.6 G(x，y) G1(x1，y1) G2(x2，y2) 活动任务 (3)换一个标准把图形分成两部分，你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系? 这种关系是否与前面得到的关系具有一致性？ 把正方形分成左右两个面积比为1:3的长方形. G(x，y) G1(x1，y1) G2(x2，y2) 活动任务 x y O 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.2 0.2 0.6 0.8 1.0 0.4 1.2 G(x，y) G1(x1，y1) G2(x2，y2) 由此仍然可以看出，正方形的重心坐标与被分成两部分的重心坐标的关系和两部分与整体的面积比有关. 如图，建立平面直角坐标系，则正方形的重心坐标为G(0.5，0.5)， 左侧长方形的重心坐标为G₁(0.125，0.5)， 右侧长方形的重心坐标为G₂(0.625，0.5)， 则x=x1+x2，y=y1+y2. 活动任务 (4)你能根据前面的探究结论，猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗? 如果能，你能用式子把这个关系表达出来，并进一步验证它的正确性吗? 如果不能，可能的原因是什么? 活动任务 猜想：若正方形的重心坐标为G(x，y)，面积为S，被分成两部分的重心坐标分别为G₁(x1，y1)，G₂(x₂，y2)，面积分别为S₁，S₂，则 验证：通过实际分割计算，结果一致，所以猜想成立. 活动任务 任务2 确定一个工程用薄板类工件的重心位置 要求: 以小组合作的形式，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件(或工件的横截面)，也可以从下图提供的工件或横截面中选择一个，通过推理、计算确定它的重心位置. “L”型角钢的横截面 “Z”型薄板 由小正方形薄板拼接成的薄板 活动任务 确定“L”型角钢横截面的重心位置 x y O 如图，将“L”形角钢分为两个长方形I，Ⅱ. I的面积S₁=1440 cm²，重心坐标为(6，60)，Ⅱ的面积S₂=816 cm²，重心坐标为(46，6). 由 可得“L”形角钢的重心坐标约为(20.5，40.5). I Ⅱ 活动任务 跳高运动员为什么采用“背越式” 活动三 如图，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好. 试通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因. 活动任务 查阅资料可知，运动员能越过的横杆的高度h的计算公式如下： h=h₁+h₁—h3， 其中h₁为运动员起跳时离开地面瞬间身体重心的高度，h₂为通过起跳的技术动作使运动员重心上升的高度，h3为运动员重心腾起的最高点的高度减去横杆的高度.由于当运动员采用“跨越式”“滚式”的技术动作时，h3都为正数，而采用“背越式”时，h3为负数，所以在h₁，h₁相同的情况下，采用“背越式”能取得更好的跳高成绩. 活动任务 每组选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分享活动经验，并反思活动中的不足. ①明确分工：使每位成员都有明确的任务. ②完成活动任务，形成研究报告. 组成5～8人一组的研究小组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人. 展示交流 组建合作团队 方案构思 方案实施 讨论与交流，集思广益，形成解决任务的方案. 活动过程 通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、表现评分表、自我反思表等进行评价. 与老师和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动. 活动评价 附：综合与实践活动研究报告的参考形式 报告主题：_________ ___年级__班__组 报告时间：_______ 1.活动名称 2.研究小组成员与分工 3.选题的意义 4.研究方案 5.研究过程 6.研究成果 7.收获与体会 8.对此研究报告的评价(由评价小组或教师填写) 活动评价 1.如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是( ) A.画出三角形薄板的三条中线，取其交点 B.画出三角形薄板的三条高，取其交点 C.画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D.过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点 A 随堂练习 2.已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是( ) O A B D C A. AD是∠BAC的平分线 B. AD是BC边上的高 C. AD是BC边上的中线 D. AD是BC边上的中垂线 C 随堂练习 3.如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形，该图形的各顶点坐标分别为 A(-1，3)，B(-1，-1)，C(-3，-1)，D(-3，-3)，E(3，-3)，F(3，3). (1)(结论开放)将图中该不规则图形分成两个规则的四边形，请你分别画出这两部分的重心位置，并写出这两个重心的坐标； 解:(1)如图，延长CB交EF于点G，可以得四边形ABGF和四边形CDEG. 画出这两部分的重心分别为点M，N. 由图可知，四边形ABGF重心M的坐标为(1，1)，四边形CDEG重心N的坐标为(0，-2). G M N 随堂练习 (2)设不规则图形的面积为 S，四边形ABGF的面积为 S1 ，四边形CDEG的面积为 S2 . 得：S1 =4×4=16，S2 =6×2=12，S=S1+S2=28. 3.如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形，该图形的各顶点坐标分别为 A(-1，3)，B(-1，-1)，C(-3，-1)，D(-3，-3)，E(3，-3)，F(3，3). (2)结合(1)得到的结论，请你求出该不规则图形的重心坐标. 设该不规则图形的重心坐标为(x，y)， G M N 随堂练习 由(1)可得，所分成两部分的重心坐标分别为(1，1)和(0，-2). 所以， 答：该不规则图形的重心坐标为 . G M N 随堂练习 分割法：将组合图形分割为简单图形(如长方形、三角形). 坐标法：建立平面直角坐标系，分别计算各部分的面积和重心坐标，利用公式计算整体重心坐标. 线段：线段的中点. 三角形：三条中线的交点. 平行四边形、长方形、正方形：对角线的交点(几何中心). 共同特点：对称图形的重心在其对称中心. 简单平面图形 的重心位置 组合图形重心 的确定方法 综合与实践 确定匀质薄板 的重心位置 课堂小结 $