13.1 三角形的概念（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.1 三角形的概念（第1课时） 三角形的概念与分类 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 三根线段围出的图形 情境 用三根直木条首尾相接，能围出怎样的图形？观察交通标志、屋架中的轮廓，找出三个顶点和三条边。 问题 三条线段放在一起，就一定是三角形吗？关注它们是否首尾相接，以及三个顶点是否在同一直线上。 A B C 新知讲授 成立的条件缺一不可 观察与思考 三角形的边必须是线段，三条边首尾顺次相接，形成封闭图形。 理解与表达 三点共线时，不能围成三角形；有缺口的三条线段也不能组成三角形。判断时先检查连接方式。 新知讲授 三角形的定义 定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 关键词 不在同一条直线上、三条线段、首尾顺次相接共同限定这个图形。不能把三点共线或没有闭合的图形计入。 A B C 新知讲授 边、顶点和内角 定义 组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。 对应 线段是边；点是顶点；是内角。 A B C 新知讲授 用符号准确表示三角形 观察与思考 顶点是的三角形，记作，读作“三角形”。三个字母都要写出。 理解与表达 改变顶点书写顺序仍可表示同一个三角形，例如；但不能把共线的三个点写成一个三角形。 A B C 例题讲解 示例 写出图中三角形的三条边、三个顶点和三个内角。 A B C 答：边：；顶点：；角：。 每条边用两个端点表示。 三个字母表示角时，顶点字母放在中间。 图中角多时使用三个字母表示角，避免歧义。 新知讲授 角的名称不能混淆 观察与思考 在中，顶点是，两边沿射线。的顶点则是。 理解与表达 同一顶点只有一个待讨论角时，可以简称；若从该点引出多条线段，使用三个字母更清楚。 新知讲授 边和所对的顶点 观察与思考 所对的边用表示；所对的边用表示；所对的边用表示。 理解与表达 小写字母所表示的边，与同名大写字母顶点相对。例如不是边，而是边。 A B C 例题讲解 示例 在中，填出下列对应关系。 （1） 表示哪条边？ （2） 边对应哪个顶点？ A B C （1） 答：边。 边与顶点相对。 （2） 答：顶点。 边不经过顶点。 先找不在这条边上的第三个顶点。 新知讲授 按角分类的标准 观察与思考 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个直角的是直角三角形；有一个钝角的是钝角三角形。 理解与表达 分类时逐个检查内角。不能因为看见一个锐角，就判断整个三角形是锐角三角形。 例题讲解 示例 小明看到三角形的一个角是锐角，就断定它是锐角三角形。这个判断对吗？ 答：不对。 锐角三角形要求三个内角都是锐角。 直角三角形和钝角三角形也有锐角。 “有一个”和“所有”代表不同的条件。 新知讲授 按边的相等关系观察 观察与思考 把三角形的三条边逐一比较：可能三边都不相等，可能有两边相等，也可能三边都相等。 理解与表达 分类的第一步是判断“是否有边相等”。有两边相等的图形组成一类，三边都相等的图形也属于这一类。 新知讲授 等腰三角形 定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 识别 若，腰是，底边是，顶角是，底角是。 A B C 例题讲解 示例 在中，，指出它的腰、底边、顶角和底角。 答：腰：；底边：；顶角：；底角：。 相等的两边在点处相交，所以顶角在。 底边不经过顶角的顶点。 不要把图上方的角固定认作顶角。 新知讲授 等边三角形 定义 三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。 包含关系 等边三角形有两边相等，因此属于等腰三角形。说“等腰三角形”时，不能自动排除等边三角形。 A B C 新知讲授 按边分类的层次 观察与思考 三角形先分为三边都不相等的三角形和等腰三角形；等腰三角形再分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形。 理解与表达 第一层分类没有遗漏，也不重复。若把“等腰三角形”和“等边三角形”并列成互不重叠的两类，就忽略了包含关系。 例题讲解 辨析 判断下列说法，并说明理由。 （1） 等边三角形一定是等腰三角形。 正确 三边都相等当然满足有两边相等。 （2） 等腰三角形一定是等边三角形。 错误 两边相等不能保证第三边也相等。 （3） 三边都不相等的三角形可能是直角三角形。 正确 按边分类与按角分类的标准不同。 一个图形可以同时拥有按边、按角得到的两个名称。 例题讲解 例 如图，在中，点在边上，。 （1） 写出以点为顶点的三角形。 （2） 写出以为边的三角形。 （3） 找出图中的等腰三角形和等边三角形。 （1） 答：。 检查包含点且三边均已画出的图形。 （2） 答：。 固定，再选择能够连成三角形的第三个顶点。 先固定要求的顶点或边，再检查三条边是否完整。 例题讲解 例 如图，在中，点在边上，。 （1） 写出以点为顶点的三角形。 （2） 写出以为边的三角形。 （3） 找出图中的等腰三角形和等边三角形。 （3） 答：等腰：；等边：。 ；，等边三角形也计入等腰。 等边三角形需要三边相等；不要漏写它的等腰身份。 例题讲解 示例 在上题图中，点在同一直线上。能把它们记作一个三角形吗？ 答：不能。 三个点共线，三条线段不能围成封闭的三角形区域。 列举三角形时，字母组合必须对应真实存在的图形。 数三角形必须同时检查不共线和三边存在。 例题讲解 示例 点在上，连接。若只知道，能确定是等腰三角形吗？ 答：不能；只能确定是等腰三角形。 是中的两条边相等。 的边是，没有已知的相等边。 相等关系的两条线段必须属于所判断的同一个三角形。 课堂练习 练习 如图，在中，，点在内，，找出图中的等腰三角形和等边三角形。 答：等腰：、、、；等边：。 由得到三个小等腰三角形。 由得到大三角形等边，同时也是等腰。 “找全部”要检查小图形和整体图形。 课堂练习 练习 如图，在中，是直角，，垂足为，点在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 答：锐角：；直角：；钝角：。 先由垂直关系找出含直角的三角形。 再观察为钝角、其邻补角为锐角。 底边从B到C依次经过E、D；不能看错点的顺序。 课堂练习 练习 如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形。 答：以为角：；以为边：。 固定角的两条边，沿射线寻找可闭合的第三边。 固定后分别考察顶点。 交点也能作为顶点，但必须具有已画出的三条边。 课堂练习 练习 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。 答：共6个：。 固定顶点，从共线的中每次选两个点。 按左端点为依次列举，得到个。 按底边左端点分组，避免漏数和重复。 课堂练习 练习 如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形。 答：等腰：；等边：。 且，得到两个等边三角形。 且，另有两个等腰三角形。 对角线交点未命名时，题目用已有顶点表示三角形。 课堂练习 练习 如图，在中，，垂足为，是钝角，是上一点，且是锐角，，垂足为。（1）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。（2）找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 答：共8个；锐角：；直角：；钝角：。 固定A：；再补。 按垂直关系确定五个直角三角形，其余依据角的条件分类。 答案中的三个字母均表示相应三角形；EF引入了两个新的直角三角形。 新知讲授 从数图结果检查遗漏 观察与思考 上图从顶点出发共有四条方向不同的线段，底边上的形成六个以为顶点的三角形。 理解与表达 又与组成和。按新增线段补数，可检查总数。 方法归纳 把分类与数图分开 数图方法 ① 固定一个顶点或一条边，有序寻找其余顶点。 ② 逐一排除三点共线、边未画出的组合。 分类方法 ① 按角检查三个内角，按边检查已知相等关系。 ② 等边三角形必须同时列入等腰三角形。 课堂总结 三角形的概念 定义条件 三条线段不共线，首尾顺次相接。 元素与符号 三边、三顶点、三内角；。 按角分类 锐角、直角、钝角三角形。 按边分类 等边三角形属于等腰三角形。 识图步骤 固定对象，有序列举，检查闭合和不共线。 针对训练 训练 以下哪种情况能组成三角形？A．三点共线；B．三条线段首尾顺次相接且不在同一直线上；C．三条射线相交；D．三条线段有两个缺口。 答：B。 三角形的定义同时要求线段、不共线、首尾顺次相接。 把选项逐一对照定义中的三个条件。 针对训练 训练 在中，顶点所对的边是______；边所对的顶点是______。 答：；。 对边不经过这个顶点；对顶点不在线段的两端。 “相对”表示这个顶点不属于该边的两个端点。 针对训练 训练 在中，，其底边为______，顶角为______。 答：；。 等腰在点处相交，所以是顶角的顶点。 顶角由相等的两边组成，字母E必须放在中间。 针对训练 训练 判断下列说法，并说明理由。 （1） 有一个锐角的三角形一定是锐角三角形。 错误 应要求三个角都是锐角。 （2） 所有等边三角形都是等腰三角形。 正确 三边相等满足两边相等的条件。 （3） 三边都不相等的三角形只能是锐角三角形。 错误 边不相等不决定三角形按角的类别。 分清一个条件是充分的信息，还是只有部分信息。 针对训练 训练 已知中，。写出相等的两条边和顶角。 C B A 答：，顶角为。 与相对，表示；与相对，表示。 两条相等边共同经过，所以顶角在。 先把小写边名转换成线段，再确定顶角。 针对训练 训练 点依次在线段上，连接。图中共有几个以为顶点的三角形？ A B D E C 答：6个。 底边端点可取。 对应。 底边上四个点，两两组合后逐项检查。 针对训练 训练 在内部取点，连接，仅知道。能确定几个等腰三角形？能确定大三角形等边吗？ A B C O 答：能确定3个小等腰三角形；不能确定大三角形等边。 分别有两边相等。 没有之间的相等条件。 内部三条线段相等，不能推出外部三边相等。 针对训练 训练 点在直线上，点在另一条直线上，且这五点中仅三点共线。任取三点，可组成几个三角形？ 答：9个。 含的有，共3个。 只含的有，只含的有，共6个。 以是否同时含A、B分类；三点C、D、E不能组成三角形。 针对训练 训练 校徽外框由三条长度都为的直边围成。设计说明只写“等腰三角形”。这个名称正确吗？还可以怎样更准确地命名？ A B C 答：正确；可以更准确地命名为等边三角形。 三条边全部相等，满足等边三角形的定义。 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以原名称也正确。 更具体的名称并不否定其所属的大类别。 针对训练 训练 帐篷正面支架是，两根斜杆等长，水平杆是。工人把标为顶角。请改正，并写出两个底角。 A B C 答：顶角应为；底角为。 斜杆为两腰，它们相交于。 腰与底边形成的两个角是底角。 实际图形也按等腰三角形的定义确定要素。 方法归纳 本课解题方法 复杂图中识别三角形 ① 先固定题目指定的角、边或顶点。 ② 按位置有序列举，检查三点不共线且三边存在。 按条件分类 ① 从已知相等边确定腰、底边和顶角。 ② 按边和按角分别判断，保留等边属于等腰的包含关系。 $