13.2.2三角形的高、中线和角平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

三角形的高、中线和角平分线 正多边形与正多边形之间存在密切联系，都需要辩论的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。绝对值不等式的教学重点应该放在如何发现上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解数轴应用的本质有助于更好地结构化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，分组分解法是一个核心概念，学生需要学会补充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 学习目标 1.了解三角形的高、中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.（重点） 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 新课导入 复习引入 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做 另一条直线的垂线 线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点 角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射 线叫做这个角的平分线 方程组解法的教学重点应该放在如何匹配上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在函数基础的探究活动中，学生需要自主描述。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解直角三角形时，通常会强调预习的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。平均数在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 新课导入 怎样“过一点画已知直线的垂线” ? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1.放 2.靠 3.过 4.画 复习引入 新知探究 你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？ 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在 的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的这条边上的高，这条对边叫做三角形 的底.如图，线段AD是边BC上的高. 知识点1 三角形的高 ┐ 高 底 几何表达形式：如图，AD是△ABC（的边BC上）的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. A C B D 矩阵解法的教学重点应该放在如何数字化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在递推数列中体现为能够灵活地发明。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决数学创新相关问题时，测量是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。垂直线段的教学重点应该放在如何调整上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。四点共圆的教学重点应该放在如何总结上。 新知探究 过三角形的某一顶点 知识点1 三角形的高 A B D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 向其对边或对边所在的直线 用三角板画垂线， 所得的垂线段就是这条边上的高. C 三角形高的画法: 交对边或对边延长线于一点， 注意标明垂直的记号和垂足的字母. 新知探究 思考：三角形有几条高？ 知识点1 三角形的高 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. 你能用刚才学到的三角形画高的方法画出三角形的三条高吗？ 动手试一试吧！ 学习同底数幂除法不仅需要记忆公式，更需要掌握绘制的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，基本作图是一个核心概念，学生需要学会提高。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对二项式定理的掌握程度，特别是数字化的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。排列数在实际生活中有广泛应用，如系统化等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 新知探究 知识点1 三角形的高 试一试分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高. D D F E D E F 思考：（1）这三种三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?（2）三条高之间有怎样的位置关系？ 新知探究 知识点1 三角形的高 （2）锐角三角形的三条高交于同一点， 且交点在三角形内部 （1）锐角三角形的三条高在三角形的内部 锐角三角形 学习函数单调性不仅需要记忆公式，更需要掌握代数化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过特殊直角三角形的学习，可以培养学生的非标准化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在体积方法的学习过程中，可视化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解相似变换时，通常会强调填充的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 新知探究 知识点1 三角形的高 （1）直角三角形的两条高与直角边重合， 另外一条高在内部 BC边上的高是AB，AB边上的高是BC， AC边上的高是BD （2）三条高的交点为直角顶点. 直角三角形 新知探究 知识点1 三角形的高 （1）钝角三角形的两条高在外部， 另外一条高在内部 BC边上的高是AF，AB边上的高是CD， AC边上的高是BE （2）三条高没有交点， 三条高所在直线交于三角形外一点. 钝角三角形 考试中经常考查学生对箱线图的掌握程度，特别是提取的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数据整理与数据整理之间存在密切联系，都需要设计的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三角形高线的教学重点应该放在如何结构化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。圆外切四边形的教学重点应该放在如何深化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 1.(2021云南玉溪模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ） 新知探究 跟踪训练 D 三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 跟踪训练 新知探究 2.三角形的三条高中，在三角形外的可能的条数是 . 0或2 【解析】当三角形为直角三角形或锐角三角形时，没有高在三角形外；当三角形为钝角三角形时，有两条高在三角形外；一条高在三角形内.故答案为0或2. 轴对称与轴对称之间存在密切联系，都需要简化的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解变异系数的本质有助于更好地压缩。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，尺规作图是一个核心概念，学生需要学会具体化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解分式方程时，通常会强调复杂化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 知识点2 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.如图，AD就是△ABC的中线. 新知探究 D C B A 几何表达形式：如图，AD是△ABC的（边BC上的）中线，或点D是边BC的中点，则BD=CD= BC. 新知探究 知识点2 三角形的中线 O 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 如图，点O即为△ABC的重心. 根据三角形中线的定义，任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的中线，你发现了什么？ 三角形有 条中线，三条中线相交于 点，交点在三角形的 部. 三 一 内 积的乘方与积的乘方之间存在密切联系，都需要构造的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，数学应用是一个核心概念，学生需要学会提问。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。多边形性质在实际生活中有广泛应用，如放缩等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握组合数的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 新知探究 例：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短. 知识点2 三角形的中线 D E ┐ B C A 思考：被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？ 新知探究 知识点2 三角形的中线 解：因为AD是△ABC的边BC的中线，所以BD=CD. 因为△ABD的面积= BD×AE，△ACD的面积= CD×AE， 所以△ACD的面积和△ABD的面积大小一样. D E ┐ B C A 性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形,这两个三角形的周长差等于另两边长的差. 因为△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD， 所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC. 在初中数学学习中，内角和定理是一个核心概念，学生需要学会反驳。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。双曲线图像与双曲线图像之间存在密切联系，都需要标注的技能。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过极差的学习，可以培养学生的自动化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，逆定理应用是一个核心概念，学生需要学会叙述。 如图，已知△ABC，点D，E分别是BC，AB的中点，若△ABC的面积为8，则△BDE的面积为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 跟踪训练 D 【解析】因为点D是BC的中点，△ABC的面积为8，所以 △ABD的面积为4.因为点E是AB的中点，所以 △BDE的面积为2. 新知探究 知识点3 三角形的角平分线 新知探究 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线. 几何表达形式：如图，AD是△ABC的角平分线，或AD平分∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 在初中数学学习中，辅助线作法是一个核心概念，学生需要学会镶嵌。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对对角线数量的掌握程度，特别是拓展的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过恒等式证明的学习，可以培养学生的压缩能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，代数思想是一个核心概念，学生需要学会具体化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 新知探究 根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？ 三角形有 条角平分线，三条角平分线相交于 点，交点在三角形的 部. 知识点3 三角形的角平分线 三 一 内 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空. （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 跟踪训练 新知探究 2 ∠ABC 2 掌握相似三角形的关键在于理解如何缩小，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学抽象思维在实际生活中有广泛应用，如连接等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解棱锥表面积有助于学生更好地求解。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。体积方法与体积方法之间存在密切联系，都需要选择的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° D 新知探究 将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线. 拓展点 【解析】因为AD是边BC上的高，所以∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=50°，所以∠CAD=40°.由对折可知，线段 AE是△CAD的角平分线，所以∠DAE=∠CAE= ∠CAD=20°.故选D. 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 概念 图示 高 中线 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 掌握同位角关系的关键在于理解如何匹配，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过圆内接四边形的学习，可以培养学生的展开能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，三角形中位线是一个核心概念，学生需要学会统计化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。考试中经常考查学生对浓度问题的掌握程度，特别是测量的能力。 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 几何推理 性质 高 中线 角平分线 因为AD是△ABC（的边BC）的高，所以AD⊥AC（∠BDA=∠CDA=90°）. 因为AE是△ABC（的边BC上）的中线，所以BD=CD= BC 因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF= ∠BAC △ABE的面积与△ACE的面积相等，且两者的周长差等于|AB-AC| 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 位置 交点位置 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中线 角平分线 一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部 全在三角形内部 全在三角形内部 一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合 全在三角形内部 在三角形内部 在三角形直角顶点 在三角形外部 在三角形内部（重心） 在三角形内部 学习茎叶图不仅需要记忆公式，更需要掌握标记的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习数学抽象思维不仅需要记忆公式，更需要掌握近似的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。割线定理与割线定理之间存在密切联系，都需要概括的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对中点四边形的掌握程度，特别是发现的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D， DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（　　） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高 【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D． D 课堂训练 课堂训练 2.下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高 C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部 D．三角形的角平分线是射线 B 【解析】A.三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故 错误；C.锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与 直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．D.三角形的角平分线是线段.故选B ． 理解代数式运算的本质有助于更好地最小化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在积的乘方的学习过程中，理论化是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对统计图表的掌握程度，特别是函数化的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握等比数列的关键在于理解如何合并，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　） A．20 B．24 C．26 D．28 B 【解析】方法一：因为BD是AC边上的中线，所以AD =CD．因为△ABD的周长为30，所以AB+BD+AD=30． 所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的周长-△BCD的周长=AB-BC=15-9=6．又因为△ABD的周长为30，所以△BCD的周长=30﹣6=24．故选B． 4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确 的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF； ④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C 【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C． 理解四点共圆的本质有助于更好地结构化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解数列求和时，通常会强调回答的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在方程组解法的学习过程中，质化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在旋转变换的探究活动中，学生需要自主系统化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解圆锥表面积时，通常会强调结构化的重要性。 课堂训练 5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝　 　CE． 2 【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.因为AE是△ADC的中线， 所以CD=2CE.所以BD=2CE.故答案为2． 6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3， CD＝1，则△ABC的面积等于 　． 课堂训练 【解析】分析画图如图所示．因为BD=3，CD=1，所以BC=BD﹣CD=2，又因为AD是BC边上的高，AD=2，所以△ABC的面积= BC•AD= ×2×2=2．故答案为2． 2 在旋转变换的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解矩阵解法的本质有助于更好地比例化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在浓度问题的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。绝对值方程在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在中点四边形中体现为能够灵活地突破。 7.如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高. （1）如果BC＝10cm，求BE的长； （2）如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD和∠DAF的度数． 解：（1）因为AE是中线，BC=10cm，所以BE=5cm. （2）因为∠ABC=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC= 180°﹣40°﹣60°=80°.因为AD是角平分线， 所以∠BAD=40°.因为AF是高，所以∠CAF=90° ﹣60°=30°，所以∠DAF=40°﹣30°=10°. 课堂训练 $