精品解析：广东省深圳市沙井中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

沙井中学高二月考数学试卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 5. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 7. 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和圆总有公共点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 12. 设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 13. 已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________． 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 四、解答题 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）短轴长等于，离心率等于的椭圆； （2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 17. 在平面直角坐标系中，点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 19. 已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为 （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙井中学高二月考数学试卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：D 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 5. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行确定，再由平行线间距离公式求解即可； 【详解】因为平行， 可得， 则， 所以和间的距离为， 故选：D 6. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 7. 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 二、多选题 9. 已知椭圆，则下列结论正确的是（ ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解判断选项即可． 【详解】椭圆，化成标准方程为， 可得，，， 长轴长为， A选项错误； 焦距， B选项错误； 短轴长为， C选项正确； 离心率，D选项正确. 故选：CD． 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和圆总有公共点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断B；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断C；结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内部， 则直线和圆总有公共点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆有且只有一条公切线，则两圆内切， 则有，解得，故C错误； 对于D，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，依题意需满足. 因为，，，满足， 故圆上恰有两个点到直线的距离等于1.故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 存在点P，使得 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，求出正方体外接球半径计算判断A；利用空间位置的向量证明判断B；求出轨迹并求出其长度判断C；利用线线角的向量法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图： 则，设， 对于A，正方体的外接球半径，表面积，A正确； 对于B，，当P与B重合时，，，则，B正确； 对于C，，，由，得， 即，点P运动的轨迹为线段，其长度为，C错误； 对于D，，由，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题 12. 设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 【答案】 【解析】 【详解】易得，，，故 13. 已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】解：如图， 设关于直线的对称点为，因为 所以，解得，则 所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 则，直线为 于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为. 故答案为：. 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 四、解答题 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）短轴长等于，离心率等于的椭圆； （2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，且，利用，求得的值，结合椭圆的焦点位置分类讨论，即可求解. （2）设所求椭圆方程为，代入和两点的坐标，联立方程组，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，短轴长等于，离心率等于，可得，且， 又由，可得，， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 解：设所求椭圆方程为， 由和两点在椭圆上，可得， 即，解得， 故所求椭圆的标准方程为． 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. 【小问3详解】 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 17. 在平面直角坐标系中，点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）因为，由两点间距离公式列出方程后化简即可求得轨迹的方程； （2）由点斜式设出直线的方程，因为与相切，且的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线的方程，再考虑直线的斜率不存在即可． 【小问1详解】 因为，由，得， 化简得，即， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离，等于圆的半径， 故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 19. 已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为 （1）求圆的方程； （2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）；（2）当点为时，直线与直线关于轴对称 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求得圆的半径，即可求得圆的方程； （2）设，通过对称性将坐标的关系找出，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，代入化简求解即可. 【详解】（1）圆心到直线的距离，由圆的性质可得，所以，圆的方程为； （2）设， 由得，, 所以 若直线与直线关于轴对称，则， 即，即，化简得， 代入韦达定理，即 所以当点为时，直线与直线关于轴对称； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $