14.3 角的平分线（第2课时）（教学课件）2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 (第2课时) 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 复习引入 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 复习引入 证明 ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△OPD和Rt△OPE中， ∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL). ∴ ∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB， ∴点P在∠AOB的平分线上. 合作探究 已知： 求证： 点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.PD=PE. 点P在∠AOB的平分线上. 合作探究 角的平分线的判定: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴ OP平分∠AOB . P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 合作探究 典例分析 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证: (1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等； 证明 (1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 分析 (1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等. 典例分析 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证: (2)△ABC的三条角平分线交于一点. 证明 (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 分析 (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上. 巩固练习 1.如图，M，N分别是边OA，OB上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是( ) A.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B.PM=PN，OM=ON C.OM=ON，∠OPM=∠OPN D.PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ON C 巩固练习 2.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若DE=DC，则∠ADE的度数为 . 75° 3. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 巩固练习 4. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 巩固练习 巩固练习 5.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分∠BFE. 证明 ∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠ABD=∠CED=90°. 在△ABD和△CED中， ∴ △ABD≌△CED(AAS). ∴ DB=DE， 又∵DB⊥FB，DE⊥FE， ∴FD平分∠BFE. 巩固练习 6.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证: (1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. 证明 (1)过点P作PH⊥AD，PI⊥BC，PJ⊥AE，垂足分别为H，I，J. ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线， ∴PH=PI. 同理PI=PJ. ∴PH=PI=PJ. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. H I J 巩固练习 6.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证: (1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. 证明 (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. H I J 归纳总结 角的平分线 角的平分线的判定 角的内部 的点在 上. 图示 符号语言 到角两边距离相等 角的平分线 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴ OP平分∠AOB . 感受中考 1.(黑龙江)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=( ) A．30° B．35° C．45° D．60° B 感受中考 2.(2020·湖北)如图，已知△ ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF； ③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 $