14.2 三角形全等的判定（第4课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.2 三角形全等的判定（第4课时） 尺规作角、平行线与三角形 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 不用量角器怎样复制角 情境 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，已经可以完成。角度没有刻度可读时，能不能也准确复制一个角？ 思路 把已知角放入一个三角形，再复制这个三角形的三条边。全等三角形的对应角相等，为复制角提供依据。 新知讲授 把角放进三角形 观察与思考 在角AOB两边分别取C、D，连接CD。原角AOB就是三角形COD在O处的内角。 理解与表达 只要作出一个与COD全等的三角形，对应的O处角就与原角相等。这样把作角转化为复制长度。 新知讲授 为什么通常取OC等于OD 观察与思考 以O为圆心、任意适当长度为半径作弧，与角两边交于C、D，就保证OC=OD。 理解与表达 两条半径相等使作图更方便，但复制时仍须保持第三条边CD。只有两条半径相同，不能确定角的大小。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作角A′O′B′，使它等于角AOB。 答：先确定C、D，再记录半径OC及弦长CD。 以O为圆心、适当长为半径作弧，交OA、OB于C、D。 圆规记录OC；再记录连接两个交点的弦CD。 必须复制弦CD的长度，不能复制圆弧长度。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作角A′O′B′，使它等于角AOB。 答：作射线O′A′，以O′为圆心、OC为半径作弧，交射线于C′。 任取新顶点O′，作射线O′A′。 保持圆规半径OC，得到O′C′=OC。 两个大弧的半径必须相同。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作角A′O′B′，使它等于角AOB。 答：以C′为圆心、CD为半径作弧，与上一弧交于D′，作射线O′D′，即为O′B′。 C′D′=CD由最后的弧保证。 同时O′D′=OD，由两条大弧半径相等保证。 最后一弧的圆心是C′，不是O′。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作角A′O′B′，使它等于角AOB。 答：由SSS判定COD与C′O′D′全等，对应角相等。 OC=O′C′、OD=O′D′、CD=C′D′。 三边分别相等，因此角。 作图说明每条边来自哪个半径，证明说明三边为何足够。 例题讲解 示例 复制角时已经作出O′C′=OC、O′D′=OD，却随意取D′而不控制C′D′。能保证角相等吗？ 答：不能。 两条半径只保证两边相等，夹角仍可改变。 还必须复制CD，利用SSS固定角的大小。 忽略弦长等于忽略决定两射线夹角的第三条边。 新知讲授 作平行线可以转化为什么 观察与思考 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行。复制一个角，就能构造平行线判定所需要的等角。 理解与表达 先选一条截线，让它经过指定点并与已知直线相交，再在新顶点复制相应的同位角或内错角。 例题讲解 例4 如图，已知直线AB及直线AB外一点C。利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD。 答：过C作截线CE交AB于E，再在C处作同位角，反向延长CD。 先作一条经过C且与AB相交的直线，F在EC的延长线上。 用复制角的方法作。 同位角相等，故CD平行AB。 复制角时选择正确一侧，使所作两角确实为同位角。 例题讲解 示例 如图，已知直线AB及直线AB外一点C。利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD。为什么所得直线CD与AB平行？ 答：因为同位角与相等。 ECF是一条截线，角的两组边分别在AB、CD及截线上。 作图保证同位角相等，应用平行线判定。 角相等还须说明它们是同位角或内错角。 例题讲解 示例 如图，已知直线AB及直线AB外一点C。利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD。能否利用内错角相等的方法作图？ 答：能，在处作的内错角，所得直线同样平行。 以为一边，在直线上点的另一侧复制。 内错角相等，两直线平行。 同位角与内错角两种作法都必须核对射线方向。 新知讲授 已知两边和夹角怎样作图 观察与思考 先复制夹角，确定两条射线的方向；再沿两条射线分别截取已知边长；连接两个截点。 理解与表达 这个顺序与SAS判定相对应。若先把两条边随意放置再连起来，夹角就无法得到保证。 例题讲解 例5 如图，已知线段a、b和角α，求作三角形ABC，使AB=a、AC=b、角A=角α。 答：先作角DAE=角α，在AD上截AB=a，在AE上截AC=b，连接BC。 复制角α，得到两条射线AD、AE。 用圆规在两射线上截取指定的长度。 连接BC，三角形ABC即为所求。 角α必须夹在边a与b之间。 例题讲解 示例 如图，已知线段a、b和角α，求作三角形ABC，使AB=a、AC=b、角A=角α。说明所作图形为何满足要求。 答：AB=a、AC=b由截长保证，角BAC=α由复制角保证。 、分别在、上，故与是同一个角。 这三项正是题目指定的两边和夹角。 证明的是三个作图要求，不能只写“看图可知”。 例题讲解 示例 在例5作图中，把a、b分别放到另一条射线上，所得三角形与原三角形是否全等？ 答：全等。 两条边长仍为a、b，夹角仍为α。 由SAS判定全等，位置可能互为翻折。 边的摆放次序可以改变位置，不改变形状和大小。 新知讲授 已知两角和夹边的作图 观察与思考 先作已知夹边AB=a，再在AB同一侧的A、B两端分别作角α、β，两射线交于C。 理解与表达 两角之和必须小于180度，交点才构成三角形。作图完成后，AB是两个已知角的夹边，对应ASA。 课堂练习 练习 如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过三角形ABC的顶点A，并且与边BC平行。 答：以AB为截线，在A处作角ABC的内错角，延长所得射线为直线。 用复制角方法在处作与相等的内错角。 内错角相等，所以所作直线平行BC。 AB已经是一条可用的截线，不必另外作一条。 课堂练习 练习 如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于角α、角β，这两角的夹边等于线段a。 答：作AB=a，在AB同侧作角CAB=α、角CBA=β，两射线交于C。 先复制长度a得到AB。 分别以A、B为顶点复制两个已知角，使射线向同侧相交。 两个给定角之和应小于180度，且分别在底边的两个端点。 例题讲解 示例 按上一题作出ABC，说明为什么它满足“角A=α、角B=β、AB=a”。 答：三个条件分别由两次复制角和一次复制线段保证。 C位于A处所作射线上，所以角CAB=α。 C也位于B处所作射线上，所以角CBA=β；AB按长度a作出。 交点必须同时位于两条射线上，才能同时满足两个角度条件。 课堂练习 练习 如图，点C在角AOB的边OB上，利用直尺和圆规过C作射线OA的平行线CD。 答：以OB为截线，在C处复制角AOB的同位角，得到射线CD。 延长线段，使处有与同向的射线。 复制相应同位角，由同位角相等得CD平行OA。 使用OB的延长方向时，要确认与原角的一边同向。 课堂练习 练习 如图，已知三角形ABC，利用直尺和圆规作三角形ABD，使角，AD=AC，且D与C在AB的不同侧。 A B C D 答：在AB另一侧复制角BAC，再在所得射线上截AD=AC，连接BD。 以A为顶点、AB为一边，在指定侧复制角。 用圆规截取AC长度得到D，再连接BD。 “不同侧”是位置条件，复制角时就要选对一侧。 例题讲解 示例 按上一题作出ABD，证明ABC与ABD全等。 A B C D 答：由SAS全等。 AB公共、AC=AD、。 两边和夹角分别相等，所以ABC与ABD全等。 作图给出的条件可直接作为全等证明中的已知。 例题讲解 示例 想作三角形，两个角分别为100度和90度，是否能完成？为什么？ 答：不能。 两角之和190度已经超过三角形内角和180度。 不存在满足要求的第三个正角。 作图之前先检查给定角度是否满足存在条件。 例题讲解 示例 复制一个已知角时，第一次作弧可以取不同的适当半径吗？ 答：可以，但同一次复制中两处使用的半径必须一致。 半径改变会改变辅助三角形的大小，但原角大小不变。 复制该辅助三角形的三边，仍得到相等的对应角。 “任意适当长”不表示前后两次可随意改成不同半径。 方法归纳 尺规作图的基本步骤 先分析再动手 ① 把目标转成可复制的线段和角。 ② 由已知条件选择SSS、SAS或ASA对应的构造。 每一步有依据 ① 圆弧保证等距离，射线交点保证同时满足角条件。 ② 最后用全等或平行线判定说明图形正确。 例题讲解 示例 复制角完成后，为什么要作射线O′D′，而不只画线段O′D′？ 答：因为一个角的两边是射线。 D′只是确定新射线方向的点。 继续延长并用射线表示，才完整描述所求角。 三角形的边是线段，角的边是射线，表达对象不同。 例题讲解 示例 一个复制角的作图只留下两个角，没有保留C、D、C′、D′或圆弧，能否从图中核对每一步？ 答：难以核对，应保留关键交点和作图圆弧。 交点显示半径和弦长如何复制。 作图痕迹与文字步骤共同支持正确性说明。 保留关键圆弧，不等于保留无关的杂线。 新知讲授 从全等判定反推作图顺序 观察与思考 SSS先作一条边，再用两弧找第三点；SAS先作夹角，再截两边；ASA先作夹边，再作两端角。 理解与表达 这三种顺序都把第三个顶点逐步固定。选对顺序，可以减少试画，也能直接写出作图正确性的理由。 课堂总结 尺规作图 复制角 等半径加等弦，用SSS保证等角。 作平行线 复制同位角或内错角。 SAS作图 作夹角→截两边→连接。 ASA作图 作夹边→作两角→取交点。 检验 核对位置、长度、角度和存在条件。 针对训练 训练 复制角时复制了辅助三角形的三条边，证明角相等的判定依据是什么？ 答：SSS。 三边分别相等，三角形全等，对应角相等。 圆规记录的是长度，不是直接记录度数。 针对训练 训练 已知两边和夹角作三角形，先作______，再截取______。 答：夹角；两条已知边。 角确定射线方向，边长确定端点位置。 SAS中的角是两条边的公共顶点处的角。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 复制角可以只复制两条半径，不复制弦长。 错误 夹角尚未确定。 （2） 过点作平行线可利用同位角相等。 正确 这是平行线判定。 （3） 两角和夹边作图，两角之和必须小于180度。 正确 第三个内角必须大于0度。 作图正确性和图形存在性都要检查。 针对训练 训练 作AB=5、AC=4、BC=3，固定AB后，以A、B为圆心的两弧半径分别取多少？ 答：4和3。 到A的距离是AC，到B的距离是BC。 圆心与待定点连接的边决定半径。 针对训练 训练 已知两角为48度和67度，用夹边作三角形后，第三角为多少？ 答：65度。 度。 数值检查可辅助发现角被作成补角的错误。 针对训练 训练 复制角α时不慎在另一侧作出其补角180度减α，两个辅助三角形还能按原对应关系全等吗？ 答：一般不能。 所得到的夹角改变，第三条弦长通常也改变。 应核对新交点所在侧及射线方向。 若α=90度会形成特殊例外，不能据此认为任意角都正确。 针对训练 训练 直线EF截AB、CD，作得一对同位角都为58度。证明AB平行CD。 答：AB平行CD。 同位角相等，两直线平行。 作图后的证明只需引用正确的平行线判定。 针对训练 训练 作ABC与ABD，使AB公共、AC=AD、。若BC=7厘米，求BD。 A B C D 答：7厘米。 SAS得ABC与ABD全等。 对应边BC=BD。 构造给出全等条件，性质给出未直接复制的第三边。 针对训练 训练 木工需要复制一块三角形板的顶角，不使用量角器。请说明用直尺和圆规完成的方法与依据。 答：在角两边作等半径交点，复制半径和两交点间的弦，连接新顶点与新交点。 三条辅助边被完整复制。 SSS保证辅助三角形全等，所以对应顶角相等。 实际复制的是辅助三角形的长度信息。 针对训练 训练 一条直线表示现有车道边线，给定线外点。用直尺和圆规画出过且与现有边线平行的新边线，并说明依据。 A B P E F D 答：过P作截线与原线相交，复制一对同位角，延长所得射线为新边线。 同位角由复制角保证相等。 同位角相等，两边线平行。 先让截线经过指定点，再在该点复制角。 方法归纳 本课解题方法 以判定指导作图 ① SSS复制三边，SAS复制夹角与两边，ASA复制夹边与两角。 ② 先确定能够唯一固定第三顶点的条件顺序。 作图后说明理由 ① 每条圆弧或射线都对应一个条件。 ② 用全等性质或平行线判定验证目标，并检查所在侧。 $