14.3.2 角平分线的判定课件2026-2027学年八年级数学上册人教版

第十四章全等三角形 14.3.2角平分线的判定 温故知新 性质定理：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 应用格式： ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 定理的作用： 证明线段相等. 角平分线的性质 新知引入 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么反过来，到角两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 你能写出已知和求证分别是什么吗？ 新知探究 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴∠DOP=∠EOP.即OP平分∠AOB ∴点P在∠AOB的平分线上. 已知：点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 角的平分线的判定: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB. 在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 新知归纳 例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证:(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；(2)△ABC的三条角平分线交于一点. 证明(1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM平分∠ABC，点P在BM上 ∴PD=PE. 同理可证PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M D E F 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 典例精析 1.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分∠BFE. 证明∵AB⊥CD，CE⊥AD ∴∠ABD=∠CED=90° 在△ABD和△CED中 ∴△ABD≌△CED(AAS) ∴DB=DE 又∵DB⊥FB，DE⊥FE ∴点D在∠BFE的平分线上， 即FD平分∠BFE. 新知应用 2.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P，求证: (1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. 证明：(1)过点P作PH⊥AD，PI⊥BC，PJ⊥AE，垂足分别为H，I，J. ∵BF平分∠CBD，PH⊥AD，PI⊥BC ∴PH=PI. 同理可证PI=PJ. ∴PH=PI=PJ. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. H I J (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. 新知应用 角的平分线 角的平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 图示 符号语言 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴OP平分∠AOB. 课堂总结 1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC ∴∠ODB＝∠OEC＝90° 在△BOD和△COE中 ∴△BOD≌△COE(AAS) ∴OD＝OE 又∵OD⊥AB，OE⊥AC ∴点O在∠BAC的平分线上 ∴∠1＝∠2 随堂练习 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在边AC上求作一点P，使点P到边BC和边AB的距离相等. 解：如图所示. 随堂练习 3.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等. 证：过点D分别作DM⊥PE，DN⊥PF，垂足分别为M，N. ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠1=∠2. 又PE∥AB，PF∥AC， ∴∠3=∠1，∠4=∠2. ∴∠3=∠4，即PD平分∠EPF 又∵DM⊥PE，DN⊥PF ∴DM=DN，即点D到PE和PF的距离相等. 随堂练习 4.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF=EF. 证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE，∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中 ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴∠1=∠2，OD=OE 在△DOF和△EOF中 ∴△DOF≌△EOF（SAS） ∴DF=EF 随堂练习 1 2 证明：过点E作EF⊥AD于点F ∵∠B=∠C=90° ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， 且EF⊥AD，DC⊥EC ∴EC=EF. ∵E是BC的中点 ∴EC=EB. ∴EF=EB 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上， 即AE平分∠DAB. 5.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：(1)AE平分∠DAB. (2)AD=AB+CD A B C E D ┌ ┌ F ┌ (2)：在Rt△AFE和Rt△ABE中 ∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL） ∴AF=AB 同理可证DC=DF ∵AD=AF+DF ∴AD=AB+CD 随堂练习 6.已知：BP，CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN． 证明：作PD⊥BC于点D， ∵BP平分∠MBC，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD 同理可得PN=PD ∴PM=PN 又∵PM⊥AB，PN⊥AC ∴点P在∠MAN的平分线上， 即AP平分∠MAN 随堂练习 ┌ D 7.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为4，5，6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO. 解：过点O作OH⊥AB，ON⊥BC，OM⊥AC，垂足分别为H，M，N. ∵OA,OB,OC为三条角平分线， ∴OH=OM=ON ∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO =⋅AB⋅OH ：⋅BC⋅ON ：⋅AC⋅OM =AB:BC:AC = 4:5:6 M N H ┐ ┐ ┐ 随堂练习 8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线. 证明：∵D是BC的中点 ∴BD＝CD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴DE＝DF 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的角平分线上， 即AD是△ABC的角平分线 随堂练习 $