14.2 三角形全等的判定（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.2 三角形全等的判定（第1课时） 边角边与证明入门 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 六个条件都需要检查吗 回顾 两个全等三角形有三组对应边相等、三组对应角相等。反过来，要判断两个三角形全等，是否必须逐一核对六组条件？ 研究 从一个条件、两个条件开始尝试，再研究三个条件的组合。反例可以说明条件不够，严密推理可以确认有效判定。 新知讲授 只给一条边不够 观察与思考 固定AB长4，第三个顶点C仍可取许多不同位置，产生形状或大小不同的三角形。 理解与表达 一条边相等不能保证另外两边和三个角相等，因此不能判定全等。举一个不全等的例子，就能说明“一定全等”不成立。 新知讲授 只给一个角不够 观察与思考 两个三角形都可以含60度角，但一个边长较短，另一个整体放大。对应角相等而大小不同。 理解与表达 角度只限制开口方向，不能确定两条射线上取点的距离，所以一个角相等不足以确定三角形。 新知讲授 两边分别相等仍可变化 观察与思考 把两根长度固定的杆连接在一起，在连接点改变它们的夹角，两个远端之间的距离随之变化。 理解与表达 两边的长度固定后，若夹角没有确定，三角形仍有变化空间。因此还需要研究角的位置和大小。 新知讲授 一边一角也不够 观察与思考 固定AB的长度和A处角的大小，C仍可沿角的另一条射线移动。AC变化，三角形随之改变。 理解与表达 这说明一边与一角分别相等时，不一定全等。要找到足够条件，还需限制第三个顶点的位置。 新知讲授 两个角也不够 观察与思考 形状相同但大小不同的两个三角形，可以具有相等的两个角。第三角也相等，却仍不能完全重合。 理解与表达 比较放大前后的图形可以得到反例。角度信息可以限制形状，但还需要长度信息确定大小。 新知讲授 两边之间的角是哪一个 观察与思考 AB与AC在A处相交，它们的夹角是角BAC；AB与BC的夹角是角ABC。 理解与表达 夹角由指定的两条边共同组成。边角边中的角不能换成这两条边中一条的对角。 新知讲授 让一个顶点和两条射线重合 观察与思考 当A角与另一三角形对应角相等时，可以让两个角的顶点重合，并让两边所在射线分别重合。 理解与表达 再利用两条对应边的长度相等，两个射线上的端点也分别重合，三个顶点的位置便全部确定。 新知讲授 边角边判定 基本事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 简称 可简写为“边角边”或SAS。两组边相等必须配上它们之间的那组夹角相等，条件的位置与数目都要正确。 A B C D 例题讲解 示例 已知，说明。 答：由SAS全等。 AB、AC的夹角是BAC；DE、DF的夹角是EDF。 两边及其夹角分别相等，满足SAS。 列条件时写成边—夹角—边，方便核对夹角位置。 例题讲解 示例 已知，要用SAS证明，应补什么角相等？ 答：。 两条已知边在B处相交；对应两边在E处相交。 夹角顶点是两条已知边的公共端点。 例题讲解 示例 已知，若用SAS证明，还需补什么？ 答：。 A角由AB、AC组成，D角由DE、DF组成。 已有AB=DE，需要另一邻边AC=DF。 等角固定后，要补的是与该角相邻的另一条边。 新知讲授 公共边也是已知条件 观察与思考 两个三角形共用一条线段时，这条边与自身相等。例如AB同时是ABC和ABD的一条边，可以写AB=AB。 理解与表达 公共边需要在证明条件中明确列出。图上没有另外写数值，也不影响它作为一组对应边相等的依据。 A B C D 例题讲解 例1 如图，，AB平分，求证。 答：。 平分，得。 由，得（SAS）。 全等三角形对应角相等。 目标角属于两个三角形；补出公共边AB和角平分条件。 例题讲解 变式 如图，，AB平分，求证。还可得到哪一组非公共边相等？ A B C D 答：。 同样由SAS得到ABC与ABD全等。 B对应B、C对应D，因此BC对应BD。 判定完成后，性质可以给出其他对应边角关系。 新知讲授 为什么SSA不能当作判定 观察与思考 两边和其中一边的对角分别相等，不能保证全等。同一射线可能与以另一顶点为圆心的圆相交于两个不同点。 理解与表达 这样得到的两个三角形满足两边和非夹角分别相等，却不能完全重合。SAS中的夹角限制不能删去。 例题讲解 示例 已知，小明用SAS判定全等。这一步正确吗？ 答：不正确。 已知两边AB、AC的夹角是A，不是B。 给出的角位于一边的对面，条件为SSA，不能一般地判定全等。 字母顺序写SAS不代表实际条件就是SAS，必须检查几何位置。 课堂练习 练习 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取点C，从C不经过池塘可以直接到达A和B。连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB。连接DE，量出DE的长就是A、B的距离。为什么？ 答：因为，所以AB=DE。 AC=DC，BC=EC，且ACB与DCE是相等的对顶角。 由SAS全等，得到对应边AB=DE。 测量把不可直接到达的AB转移为可测的对应边DE。 课堂练习 练习 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，。求证。 答：两角相等。 BF=BE+EF，CE=CF+EF，由BE=CF得BF=CE。 由AB=DC、、BF=CE，得（SAS）。 所以。 E、F按B—E—F—C排列，先把短线段等量变成整段等量。 课堂练习 练习 如图，M是AB的中点，，MC=MD。求证AC=BD。 答：AC=BD。 M为中点，得AM=BM。 AM=BM、、MC=MD，故（SAS）。 对应边AC=BD。 中点条件先转成一组线段相等。 课堂练习 练习 如图，AB=AC，AD=AE，求证。 答：两角相等。 D在AB上、E在AC上，是公共顶角。 由AB=AC、顶角相等、AE=AD，得（SAS）。 故。 先选三角形ABE与ACD，公共顶角给出夹角相等。 课堂练习 练习 把两根钢条的中点连在一起可以做成测量内槽宽的卡钳。图中要测量内槽宽AB，只需要测量哪些量？为什么？ 答：只需测量。 O是两钢条中点，故OA=OA′、OB=OB′。 对顶角，由SAS得两三角形全等。 对应边AB=A′B′。 机械结构中的中点和对顶角共同保证测量可转移。 例题讲解 示例 AC与BD相交于O，OA=OC，OB=OD。证明。 答：。 对顶角，配合两组边得（SAS）。 对应角，内错角相等，因此AB平行CD。 证明平行可先通过全等获得一组内错角相等。 例题讲解 示例 AB=AC，D、E分别在AB、AC上。若已知AD=AE，证明BE=CD。 答：BE=CD。 公共顶角。 AB=AC、AE=AD及夹角相等，SAS得。 对应边BE=CD。 与上一题使用同一对全等三角形，目标改为对应边。 方法归纳 SAS证明的书写 三组条件 ① 先说明角平分、中点等条件带来的等量。 ② 按边、夹角、边列出三组关系，公共边也要写。 完整推理 ① 全等式中的顶点顺序要对应。 ② 证明全等以后，再由对应边或对应角得到目标。 例题讲解 示例 两直角三角形的两条直角边分别相等，它们一定全等吗？ 答：一定全等，可用SAS。 两条直角边之间的夹角都为90度。 两边与夹角分别相等，满足SAS。 这里用的是两条直角边；若给斜边与直角边，不能照此使用SAS。 例题讲解 示例 要证明BC=BD，某同学先写BC=BD，再判定ABC与ABD全等。问题在哪里？ 答：把待证结论当作条件，属于循环论证。 全等条件必须来自已知或已经证明的结果。 应使用AC=AD、AB公共及A处夹角相等来判定。 检查每个条件的来源，待证结论只能出现在证明最后。 新知讲授 辅助线怎样选择 观察与思考 证明两条线段相等时，先观察它们能否成为两个三角形的对应边；若缺少一边，可以考虑连接公共顶点。 理解与表达 所添线段应帮助产生公共边或明确夹角。先写出需要的SAS三组条件，再检查哪些已知、哪些可以推出。 新知讲授 从测量任务看数学模型 观察与思考 池塘测距和卡钳测宽都把难测的线段，转化为容易测量的全等三角形对应边。 理解与表达 作延长线、取等长线段、保持中点等操作不是装饰，它们分别提供全等判定所需要的条件。缺少其中一个，测量结论可能不成立。 课堂总结 边角边判定 基本事实 两边和夹角分别相等则全等。 关键位置 所给角必须位于两条已知边之间。 隐含条件 公共边、公共角、对顶角、中点。 推理链 条件→SAS全等→对应边角相等。 反例提醒 两边及一边对角相等一般不够。 针对训练 训练 已知AB=DE、AC=DF，用SAS还需：A.；B.；C.；D.周长相等。 答：B。 AB、AC的夹角为A，对应夹角为D。 寻找两条边的公共端点。 针对训练 训练 比较和时，公共边条件写作______。 答：。 同一线段长度等于自身。 公共边是一组可用的对应边条件。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 有两边分别相等，两三角形一定全等。 错误 夹角仍可改变。 （2） 两边和它们的夹角分别相等可判全等。 正确 满足SAS。 （3） SAS条件中的角可换成任意角。 错误 非夹角可能形成SSA反例。 SAS既要求三个条件，也要求它们处在正确位置。 针对训练 训练 已知、、，且，求。 答：。 先由SAS判定ABC与DEF全等。 再由对应边相等得EF=BC。 不要省去全等判定这一中间依据。 针对训练 训练 AC、BD交于O，OA=OC，OB=OD，AB=7。求CD。 答：。 对顶角；两边夹角相等，SAS全等。 对应边CD=AB=7。 交叉图常用对顶角作为夹角条件。 针对训练 训练 ，平分，，，求。 A B C D 答：。 SAS得ABC与ABD全等，所以BC=BD。 ，得5。 先由几何关系得到方程。 针对训练 训练 B、E、F、C依次共线，BE=CF=2，BC=10。求BF和CE。 答：BF=CE=8。 BF=BC-CF=8，CE=BC-BE=8。 相同整段减去相等部分，也能得到SAS需要的对应边。 针对训练 训练 ，为公共边，。证明。 答：两角相等。 AB=AD，夹角，AC=AC，故ABC与ADC全等（SAS）。 对应角。 全等式顺序应为ABC对应ADC。 针对训练 训练 测量员构造A、C、D共线且CA=CD，B、C、E共线且CB=CE，A与D、B与E分别在C两侧。测得DE=24米，求AB。 A B C D E 答：24米。 两组等边和C处对顶角满足SAS。 AB是DE的对应边，故AB=24米。 两对点分居C的两侧，确保夹角为对顶角。 针对训练 训练 两根钢条在共同中点O处铰接，一侧测量端为A、B，另一侧为D、E，A、O、D与B、O、E分别共线。若DE=6.8厘米，求AB。 A B O D E 答：6.8厘米。 OA=OD、OB=OE，对顶角。 SAS判定全等，AB=DE。 铰接点必须是两根钢条各自的中点。 方法归纳 本课解题方法 寻找SAS条件 ① 先从已知相等边定位夹角。 ② 公共边、对顶角、中点及线段和差可补足条件。 把全等用于证明 ① 三组条件齐全后按对应顺序写全等式。 ② 再引用对应边角相等得到长度、角度或平行结论。 $