14.2 三角形全等的判定（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.2 三角形全等的判定（第2课时） 角边角与角角边 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 由一条边和两个角确定三角形 任务 先画一条固定长度的线段，在它的两个端点分别画已知角，使两条射线在同一侧相交。第三个顶点的位置还能变化吗？ 观察 底边固定后，两个底角分别确定两条射线的方向；两条射线的交点随之确定。这启发我们研究两角一边的判定。 新知讲授 两角的夹边 观察与思考 在三角形ABC中，角A和角B的夹边是AB，因为这条边连接两个角的顶点。 理解与表达 角A与角C的夹边是AC，角B与角C的夹边是BC。判断ASA前，先把已知两角的顶点连接起来。 新知讲授 重合推理的第一步 观察与思考 已知AB与另一三角形的对应边相等，移动后让两个端点分别重合，这条边也随之重合。 理解与表达 再比较边两端的角。对应角相等，且第三顶点取在同一侧时，两条对应射线分别重合。 新知讲授 重合推理的第二步 观察与思考 两条射线的交点确定第三个顶点。当两组对应射线分别重合时，它们的交点也重合。 理解与表达 这样三个顶点都分别重合，两个三角形能够完全重合。这个推理说明两角和夹边可以确定三角形。 新知讲授 角边角判定 基本事实 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简称 可简写成“角边角”或ASA。角A、角B及边AB，与角D、角E及边DE一一对应时，可判定ABC与DEF全等。 例题讲解 示例 已知，用ASA判定ABC与DEF全等，还需什么条件？ 答：。 两角A、B的夹边为AB；两角D、E的夹边为DE。 夹边连接已知两角的顶点。 例题讲解 示例 已知AB=DE、，要用ASA证明全等，还需哪组角相等？ 答：。 AB两端的角是A与B；DE两端是D与E。 已知边必须位于所用两个角之间。 新知讲授 公共角如何使用 观察与思考 D在AB上、E在AC上时，三角形ACD与ABE具有同一个A处顶角。这个公共角是一组对应角相等。 理解与表达 角的名字不同也可能表示同一对射线构成的角。写出公共角后，仍需一组对应边和另一组对应角。 例题讲解 例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，。求证AD=AE。 答：AD=AE。 公共角，且AC=AB、。 故（ASA）。 对应边AD=AE。 这里B、C分别指ABE、ACD内的角。 例题讲解 示例 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，。求证AD=AE。还能证明CD与BE相等吗？ 答：能，CD=BE。 由公共角、AC=AB、，仍得ACD与ABE全等。 C对应B、D对应E，所以CD对应BE。 明确对应次序以后，可以读取所有对应边角结论。 新知讲授 两角相等，第三角也相等 观察与思考 两三角形中已有两组对应角相等，把它们分别从180度中减去，得到第三组对应角也相等。 理解与表达 因此两角与一边的条件中，给出的边即使不是这两角的夹边，也可以补出第三组等角，再转成ASA。 例题讲解 示例 已知、、BC=EF，证明ABC与DEF全等。 答：两三角形全等。 由内角和，。 现有、BC=EF、，按ASA全等。 补出的第三角使已知边成为两组等角的夹边。 新知讲授 角角边判定 结论 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 简称 可简写成“角角边”或AAS。与ASA相比，已知边相对于所给的两角位置不同，但都能有效判定全等。 例题讲解 示例 已知、、AC=DF，应使用ASA还是AAS？ 答：直接使用AAS。 AC不是A、B两角的夹边，而是B角的对边。 对应的DF是E角的对边，两组等角和一组对边相等。 判定名称取决于所列条件的位置，而不是书写顺序。 例题讲解 示例 已知、，若再给AB=EF，能据此直接用ASA或AAS吗？ 答：不能。 A、B对应D、E，所以AB应对应DE。 AB=EF不是这组角对应关系下的对应边相等。 两角对应确定以后，所配的边也必须按顶点对应。 新知讲授 直角可作为一组等角 观察与思考 两三角形若都含直角，就已经有一组角相等。再找到一组对应锐角和一组对应边，可考虑ASA或AAS。 理解与表达 判定时先写垂直推出90度，再决定给定的边是夹边还是等角的对边。不要略过直角条件的来源。 课堂练习 练习 如图，，垂足分别为B、D，且。求证AB=AD。 答：AB=AD。 垂直得，A处两角相等。 AC是公共边，故（AAS）。 对应边AB=AD。 公共AC是两直角的对边，故使用AAS。 课堂练习 练习 如图，要测池塘两岸相对两点A、B的距离，在池塘外取AB的垂线BF上的C、D，使BC=CD，再画BF的垂线DE，使E、A、C在同一直线上。这时测得DE的长就是AB的长。为什么？ 答：因为，所以AB=DE。 B、D两角均为90度，ACB与ECD为对顶角。 夹边BC=DC，由ASA全等。 对应边AB=ED。 等距点C是关键；两组角来自垂直和对顶角。 课堂练习 练习 如图，，求证AC=AD。 答：AC=AD。 一侧的与互补，与互补，所以。 A处角1=角2，AB公共，由ASA得ABD与ABC全等。 对应边AD=AC。 B处给定的是外部角，先转成两个三角形的内角。 课堂练习 练习 如图，，求证AB=CD。 答：AB=CD。 角1为BAC，角2为DCA，且。 AC=CA公共，由AAS得。 对应边AB=CD。 AC是B角、D角的对边，按AAS判定。 课堂练习 练习 如图，B、F、C、E共线，FB=CE，。求证AB=DE、AC=DF。 答：两组线段分别相等。 BC=BF+FC，EF=EC+CF，所以BC=EF。 平行线给出、。 由ASA得ABC与DEF全等，从而两组对应边相等。 先把短线段相等转成两个三角形的对应底边相等。 例题讲解 示例 已知ABC与DEF全等，AM、DN分别平分对应的A、D角，M在BC上，N在EF上。证明AM=DN。 答：AM=DN。 全等给出AB=DE、、，因此。 由ASA得ABM与DEN全等。 对应边AM=DN。 先用大三角形的全等提供小三角形判定所需条件。 例题讲解 示例 两个三角形三个角都分别为30度、60度、90度，能保证全等吗？ 答：不能。 把其中一个整体放大，角度不变但边长增大。 没有一组对应边长相等，无法固定大小。 ASA和AAS都至少含一组对应边条件。 例题讲解 示例 、、BC=EF，AB=3x-1，DE=14。求x。 答：。 由AAS全等，AB=DE。 ，得。 非夹边条件同样能给出其他对应边相等。 例题讲解 示例 ，，，且。对应射线方向相同，应怎样证明两三角形全等？ 答：证明、，再由ASA判定。 分别指出平行线所产生的两组对应内角。 用夹边AB=DE完成ASA。 平行关系要结合实际射线方向判断等角或补角。 方法归纳 ASA与AAS的区别 看边的位置 ① 边连接两已知角的顶点，是ASA。 ② 边在其中一个已知角对面，是AAS。 找条件来源 ① 公共角、对顶角、平行线都可产生等角。 ② 中点和线段加减可产生对应边相等。 例题讲解 示例 要证明两条线段相等，候选三角形已知一组边相等和一组角相等。现在可以立即用ASA吗？ 答：不能，还缺另一组对应角相等。 ASA要求两角和夹边；AAS也要求两角和对应边。 需进一步寻找公共角、对顶角或平行关系。 两组信息不足以判定一般三角形全等。 例题讲解 示例 AC平分角BAD，CA也平分角BCD，证明AB=AD。 A C B D 答：AB=AD。 ，，AC公共。 由ASA得ABC与ADC全等，故AB=AD。 同一公共边两端的角分别相等，适合ASA。 新知讲授 证明的最后一步 观察与思考 证明两三角形全等，只是通往题目结论的中间步骤。若目标是线段相等，最后必须点明它们为对应边。 理解与表达 若目标是角相等或平行，应先写对应角相等，再结合平行线判定。每一步的结论要服务于最终目标。 课堂总结 角边角与角角边 ASA 两角及其夹边分别相等。 AAS 两角及一组等角对边分别相等。 关联 补出第三组等角，AAS可转为ASA。 角来源 公共角、对顶角、直角、平行线。 对应 边角必须按同一顶点映射匹配。 针对训练 训练 、，用ASA还需哪组边相等？ 答：AC=DF。 A、C的夹边为AC；D、F的夹边为DF。 连接两组角顶点得到夹边。 针对训练 训练 、、BC=EF，直接判定ABC与DEF全等用______。 答：AAS。 BC是A角的对边，EF是D角的对边。 所用边不是A、B两角的夹边。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 两个角分别相等的三角形全等。 错误 大小仍可能不同。 （2） 两角及其夹边分别相等可判全等。 正确 ASA。 （3） 两角分别相等，任意两条边相等就必全等。 错误 所给边必须是对应边。 对应位置和条件数目同样重要。 针对训练 训练 、，求、。 答：均为75度。 度。 第三角相等是AAS转化为ASA的基础。 针对训练 训练 ABC与ADC共用AC，，。能否判全等？ 答：能，用AAS。 两个直角相等，A处角相等，公共AC是直角的对边。 先认清AC是斜边，不是给定两个角的夹边。 针对训练 训练 、、AB=DE，AC=2x+3、DF=15，求x。 答：。 ASA全等给出AC=DF。 ，得6。 先用夹边条件判全等，再对目标边列方程。 针对训练 训练 AB平行DE，A、C、E共线，B、C、D共线，BC=CD。证明AB=DE。 A B C D E 答：AB=DE。 为对顶角；为内错角。 夹边BC=DC，由ASA得ABC与EDC全等。 先写两个三角形的对应顺序ABC与EDC。 针对训练 训练 ABC与DEF全等，对应角平分线AM、DN中，AM=4x-2、DN=10。求x。 答：。 由对应角平分线构成的小三角形ASA全等，AM=DN。 ，得3。 不能只凭名称写相等，要能说明小三角形全等的依据。 针对训练 训练 A、C、E共线，B、C、D共线，AB、DE都垂直BD，BC=CD，测得DE=18米，求AB。 A B C D E 答：18米。 B、D为直角，C处为对顶角，BC=CD。 ASA全等得到AB=DE=18米。 等长的BC、CD必须位于两个已知角之间。 针对训练 训练 两块三角形支撑片各有一条长8厘米的底边，底边两端角分别为50度和65度。它们能否完全重合？说明理由。 答：能。 两组底角分别相等，两角夹边都为8厘米。 由ASA，两三角形全等。 底边两端的角就是夹边两端的已知角。 方法归纳 本课解题方法 优先从两组角入手 ① 有公共角、对顶角或平行线时先写等角。 ② 确定已知边是夹边还是等角对边，选择ASA或AAS。 保持对应并完成结论 ① 顶点映射固定后，边角条件必须一致。 ② 全等后明确使用哪组对应边角，写到题目要求为止。 $