14.2 三角形全等的判定（第3课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.2 三角形全等的判定（第3课时） 边边边与已知三边作图 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 三根定长杆能确定形状吗 操作 取三根能组成三角形的定长杆，首尾相接固定。和只固定两根杆相比，第三根杆限制了两个活动端点之间的距离。 问题 三条边分别确定后，三角形还能改变形状吗？本课研究三边条件，并用它解释三角形的稳定性。 A B C D 新知讲授 让一条边首先重合 观察与思考 三角形ABC与DEF的三组边分别相等，先把AB与DE重合，让第三顶点取在这条边的同一侧。 理解与表达 第三顶点同时到两个端点有指定距离，它必须位于两个相应圆的交点处。两组圆完全相同，因此交点位置确定。 新知讲授 第三顶点由两个圆确定 观察与思考 固定AB以后，满足AC=b的点在以A为圆心、b为半径的圆上；满足BC=a的点在以B为圆心、a为半径的圆上。 理解与表达 同一侧的交点确定C。若取另一侧交点，得到的三角形与原三角形互为翻折，仍然全等。 新知讲授 边边边判定 基本事实 三边分别相等的两个三角形全等。 简称 可以简写成“边边边”或SSS。三组边的对应关系应来自同一组顶点对应，不能任意拼接。 例题讲解 示例 AB=DE、BC=EF、AC=DF，证明ABC与DEF全等。 答：由SSS全等。 AB、BC的公共顶点B对应DE、EF的公共顶点E。 其余顶点A对应D、C对应F，三组边一一对应。 两组边的公共端点有助于确定顶点对应。 例题讲解 示例 已知AB=AC、BD=CD，用SSS判定ABD与ACD全等，还需什么条件？ A B C D 答：。 两个三角形共用AD，公共边等于自身。 公共边经常是SSS的第三组条件。 新知讲授 稳定性为什么成立 观察与思考 三条木条长度固定，构成的任意两个三角形具有三边分别相等的条件。根据SSS，它们全等。 理解与表达 因此三角形的形状、大小不能任意改变。这把前面实验观察到的稳定性，用全等判定作了说明。 新知讲授 尺规作图的基本工具 观察与思考 直尺用来作过两点的直线或射线；圆规用来复制线段长度，或寻找与已知点距离固定的点。 理解与表达 作图应留下关键圆弧与交点，说明新得到的长度来自哪个半径。测量近似长度并不能代替尺规作法。 例题讲解 示例 已知线段a、b、c，其中任意两条之和大于第三条。求作ABC，使BC=a、AC=b、AB=c。 答：先作AB=c，再以A、B为圆心，分别以b、a为半径作弧交于C，连接AC、BC。 取一条边AB作为底边。 两弧交点同时满足到A和到B的距离要求。 画以A为圆心的弧时半径应为AC=b，不能把a、b放反。 例题讲解 示例 按三边作图步骤得到ABC，为什么AB=c、AC=b、BC=a？ 答：三个条件均由作图直接保证。 AB按长度c作出；C在以A为圆心、b为半径的弧上，所以AC=b。 C也在以B为圆心、a为半径的弧上，所以BC=a。 证明作图正确要逐条核对题目要求的长度。 例题讲解 示例 已知长度2、3、6，能否按三边作图得到三角形？ 答：不能。 ，不满足三角形两边之和大于第三边。 若底边长6，两圆半径2、3之和小于圆心距，无法相交。 作图存在的前提是三角形三边关系成立。 例题讲解 示例 三边作图的两圆在AB两侧分别交于C、D，ABC与ABD是否全等？ 答：全等。 AC=AD是同圆半径，BC=BD是另一圆半径，AB公共。 由SSS，ABC与ABD全等。 两个位置不同的交点，对应同样形状、大小的三角形。 例题讲解 例3 在图示三角形钢架中，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。求证。 答：。 D为BC中点，BD=CD；再结合AB=AC、AD=AD，SSS得ABD与ACD全等。 对应角；两角又互补，所以各为90度。 因此AD垂直BC。 先用全等得到邻补角相等，再推出各为90度。 例题讲解 示例 在图示三角形钢架中，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。求证。证明AD还平分角BAC。 A B C D 答：AD平分角BAC。 由SSS得到ABD与ACD全等。 对应角，故平分。 同一次全等判定可以同时得到垂直与角平分两种结论。 例题讲解 示例 要证明AD垂直BC，D在BC上。若能证明，还需要什么？ A B C D 答：利用两角互为邻补角。 。 两角相等，所以每个都是90度。 等角本身不一定是直角，还要结合它们组成平角。 新知讲授 三角分别相等为何不够 观察与思考 取两个边长不同的等边三角形，它们三个角都为60度，却因边长不同而不能完全重合。 理解与表达 所以AAA不是三角形全等的判定方法。研究判定时，只有证明足够，或给出反例说明不够，才算完成判断。 新知巩固 辨析 将条件与判定方法对应。 （1） 两边和它们的夹角分别相等。 （2） 两角和夹边分别相等。 （3） 两角和一组等角对边分别相等。 （4） 三边分别相等。 （1） 答：SAS。 必须是夹角。 （2） 答：ASA。 边位于两角之间。 （3） 答：AAS。 边不是这两个角的夹边。 （4） 答：SSS。 三组边按顶点顺序对应。 条件的位置决定使用的判定方法。 新知巩固 辨析 判断下列条件是否足够。 （1） 三条对应边分别相等。 足够。 SSS。 （2） 三个对应角分别相等。 不够。 大小可能不同。 （3） 两边及其中一边对角分别相等。 一般不够。 SSA存在反例。 不能只数条件为三个，还要识别是哪一种组合。 课堂练习 练习 如图，AC=BD，BC=AD。求证。 答：两角相等。 AB=BA为公共边，加上AC=BD、BC=AD。 由SSS得ABC与BAD全等。 对应角。 公共边端点反向对应，应写ABC对应BAD。 课堂练习 练习 工人用角尺平分任意角：在角AOB两边上取OM=ON，移动角尺，使两边相同刻度分别与M、N重合，C为角尺顶点。为什么射线OC是角AOB的平分线？ 答：由SSS得OMC与ONC全等，故。 OM=ON由取点保证；CM=CN由相同刻度保证；OC公共。 三边分别相等，所以两个三角形全等，对应角相等。 这里相同刻度给CM=CN，角尺的直角不是SSS所必需的条件。 课堂练习 练习 如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE。求证。 答：两角相等。 三组对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE。 由SSS得ABC与ADE全等，故。 三角形可能错位，先按边找出A、B、C与A、D、E的对应。 课堂练习 练习 平分角仪器中AB=AD、BC=DC。把A放在角的顶点，AB、AD沿角两边放下，沿AC画射线AE，为什么AE是角的平分线？ 答：因为。 AB=AD、BC=DC、AC公共。 由SSS得ABC与ADC全等，故A处两个角相等。 共享的AC提供第三组相等边。 课堂练习 练习 如图，B、E、C、F共线，AB=DE、AC=DF、BE=CF。求证。 答：两角相等。 BC=BE+EC，EF=EC+CF，故BC=EF。 三组边AB=DE、AC=DF、BC=EF，由SSS得ABC与DEF全等。 对应角。 已知短线段相等，先加上公共部分得到整条对应边相等。 例题讲解 示例 、、，、，求。 答：65度。 SSS得ABC与DEF全等，C对应F。 ，故。 三边判定不直接使用角度，但判定后可以计算对应角。 例题讲解 示例 AB=DE、BC=EF、AC=DF，A角为，D角为65度。求x。 答：。 SSS得全等，。 ，解得20。 先证明全等，再把对应角相等写成方程。 方法归纳 SSS证明的典型入口 凑齐三条边 ① 公共边直接写自身相等。 ② 中点、同圆半径、线段加减可补出缺少的边。 从全等到目标 ① 证明角平分线，用对应角相等。 ② 证明垂直，用相等的邻补角各为90度。 例题讲解 示例 已知两个三角形周长相等，且AB=DE、AC=DF。能否判定全等？ 答：能。 周长相等，分别减去两组相等边，得到BC=EF。 三组对应边相等，由SSS全等。 周长相等单独不够，配合两组对应边可推出第三组边。 例题讲解 示例 四边形ABCD中AB=AD、BC=DC。连接哪条对角线，能立即用SSS比较两侧三角形？ A B C D 答：连接AC。 AC为公共边，另两组边已知相等。 ABC与ADC具备SSS条件。 辅助线应与已知等边一起组成三组对应边。 新知讲授 尺规作图后的检验 观察与思考 三边作图完成后，检查每个端点是否由相应圆弧确定，三边是否分别对应a、b、c，图中是否保留关键作图痕迹。 理解与表达 作图所得的两个位置可能互为翻折，并不意味着产生两个不同大小的答案。题目若限定一侧，应选择指定侧的交点。 课堂总结 边边边判定与作图 SSS 三边分别相等，则全等。 找第三边 公共边、中点、同圆半径、和差。 作图 先定底边，再用两弧确定第三点。 应用 稳定性、角平分、垂直。 排除 AAA与一般SSA不能判全等。 针对训练 训练 AB=DE、BC=EF，用SSS还需要什么？ 答：AC=DF。 三组对应边应完整匹配。 找出每个三角形未使用的那条边。 针对训练 训练 作ABC使AB=c、AC=b、BC=a，以A为圆心的弧半径应为______，以B为圆心的弧半径应为______。 答：b；a。 第三点C到A的距离是b，到B的距离是a。 半径的名称由圆心与第三点连接的边决定。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 三边分别相等的两个三角形全等。 正确 SSS。 （2） 三个角分别相等就能全等。 错误 边长可能成比例而大小不同。 （3） 三根长度为2、3、5的杆能组成三角形。 错误 最短两边和等于第三边。 先确认三角形存在，再谈全等判定。 针对训练 训练 ABC三边AB=4、BC=5、AC=6；DEF三边DE=6、EF=4、DF=5。写出对应全等式。 答：。 AB对应EF，BC对应FD，AC对应ED。 相等边的公共端点锁定对应顶点。 针对训练 训练 、、，，求。 答：58度。 SSS全等后，B与E对应。 相等边先用于判定，角度再由性质读取。 针对训练 训练 AB=AC，D为BC中点，证明。 A B C D 答：两角相等。 AB=AC、BD=CD、AD公共。 SSS得ABD与ACD全等，对应角相等。 D为中点先转化为BD=CD。 针对训练 训练 ，，、、共线。求。 A B C D 答：90度。 SSS得ABD与ACD全等，所以。 两角互补，故各90度。 必须同时用相等和互补两个关系。 针对训练 训练 两三角形周长同为20，AB=DE=6、AC=DF=7。求BC、EF并判定全等。 答：BC=EF=7，两三角形SSS全等。 第三边均为20-6-7=7。 三组边分别相等。 周长减去已知两边，得到第三组对应边。 针对训练 训练 钢架由长3米、4米、5米的杆各一根围成。另一组同样长度的杆能否围成形状、大小完全相同的钢架？ 答：能。 3+4>5，能围成三角形。 两钢架三边分别相等，由SSS全等。 先检查能围成，再使用三边判定。 针对训练 训练 装置O、M、C、N满足OM=ON=5厘米、CM=CN=4厘米，连接OC。证明OC平分角MON。 O M N C 答：OC平分角MON。 OM=ON、CM=CN、OC公共，SSS得OMC与ONC全等。 所以。 三个长度条件分别对应两个三角形的三条边。 方法归纳 本课解题方法 三边判定的路线 ① 先确定顶点对应，再检查三组对应边。 ② 有公共边时优先考虑SSS，缺少边可从中点或和差补出。 作图与证明相互验证 ① 两圆弧把距离条件转成第三顶点位置。 ② 全等后用对应角证明角平分；相等邻补角证明垂直。 $