14.3 角的平分线（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.3 角的平分线（第1课时） 尺规作角平分线及其性质 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 角平分线上的点有什么特征 回顾 角平分线将一个角分为两个相等的角。取它上面的点P，再把P与角两边上的点连接，会得到怎样的线段关系？ 研究 先观察两边上等距于顶点的点，再研究垂足对应的特殊情形。全等三角形将帮助我们说明这些等量关系。 例题讲解 示例 OC平分角AOB，P在OC上，M、N分别在OA、OB上，且OM=ON。证明PM=PN。 答：PM=PN。 OP公共，由角平分线得到，OM=ON。 SAS得OPM与OPN全等，所以PM=PN。 要保证PM=PN，不能省略OM=ON这个取点条件。 例题讲解 示例 M、N分别在角AOB两边上，OM=ON，P在角内部，PM=PN。证明OP平分角AOB。 答：OP平分角AOB。 OM=ON、PM=PN、OP公共，SSS得OPM与OPN全等。 对应角，因此OP平分角AOB。 本题先证明三边全等，再得到顶角相等。 新知讲授 把等长条件转成圆弧 观察与思考 以O为圆心画弧，与角两边交于M、N，保证OM=ON。再以M、N为圆心、相同长度为半径作弧。 理解与表达 两弧在角内部的交点C满足CM=CN。连接O、C就获得上一题的三边全等结构，因而得到角平分线。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作它的角平分线。 答：以O为圆心、适当长为半径作弧，交OA于M、交OB于N。 同一圆弧保证OM=ON。 两个交点分别取在角的两边上。 第一次圆规半径可任取适当长度。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作它的角平分线。 答：分别以M、N为圆心，以大于MN一半的相同长度为半径作弧，两弧在角内部相交于C。 两个半径相同，保证CM=CN。 选角内部的适当交点C，再作射线OC。 两次半径相同，且都大于MN的一半。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作它的角平分线。第二次作弧的半径为什么要大于MN的一半？ 答：为使两圆弧相交于两个不同点，能选取合适的内部交点。 两圆心距离为MN，若两半径之和小于MN，两圆无交点。 若半径恰为MN一半，只能相切，作图不能按预定方式取得两个交点。 半径大于一半是圆弧相交的要求，不是随意的操作建议。 例题讲解 示例 已知角AOB，用直尺和圆规作它的角平分线。 答：由SSS得OMC与ONC全等，OC即所求。 OM=ON来自第一条弧，CM=CN来自第二组弧，OC公共。 对应角，所以平分。 作图所用的每一组等长关系都能在全等条件中找到位置。 新知讲授 距离应当量哪条线段 观察与思考 点到直线的距离是垂线段的长度。从角平分线上的点P，分别向角两边作垂线，垂足记为D、E。 理解与表达 PD、PE才表示P到两边的距离；P与两边上任意点的连线一般不相等，也不能直接叫距离。 O A B P D E 新知讲授 从多个点观察共同现象 观察与思考 在角平分线上取不同的点，分别作向两边的垂线。每一个点各有两段距离，可以比较同一点对应的两个长度。 理解与表达 观察发现同一点的两段距离相等；沿角平分线换点以后，距离的数值可以改变，但成对相等的关系保持。 新知讲授 角平分线的性质 性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等。 数学表达 若OP平分角AOB，且PD垂直OA、PE垂直OB，则PD=PE。应用前先确认垂足，不能把任意斜线段代入这个结论。 O A B P D E 例题讲解 示例 OC平分角AOB，P在OC上，，垂足为D、E。求证PD=PE。 O A B P D E 答：比较直角三角形OPD与OPE。 已知包含平分角和两条垂直关系。 待证两线段正是这两个三角形的对应边。 证明前先把文字中的“距离”落实为PD、PE。 例题讲解 示例 OC平分角AOB，P在OC上，PD垂直OA、PE垂直OB，证明PD=PE。 O A B P D E C 答：由AAS全等得到PD=PE。 由平分线给出，。 OP=OP公共，故OPD与OPE全等（AAS）。 对应边PD=PE。 OP是两直角的对边，用AAS更直接。 新知讲授 证明几何命题的一般过程 观察与思考 首先明确已知和求证，把题目文字转成图形与数学符号；随后从目标反向寻找可以使用的性质或判定。 理解与表达 写证明时按正向逻辑排列：已知推出中间关系，中间关系支持全等，全等性质给出目标。每一个等量应说明来源。 例题讲解 示例 P在角AOB的平分线上，PD垂直OA、PE垂直OB，PD=3.5厘米，求PE。 O A B P D E 答：3.5厘米。 P在角平分线上，且PD、PE都为垂线段。 由性质PD=PE。 完整核对平分线、垂直、同一点三个条件。 例题讲解 示例 P在角平分线上，到两边的距离分别为2x+1和11，求x。 答：。 两段距离相等，所以。 解得。 题目必须给出两项确为到角边的距离，才能直接令它们相等。 例题讲解 示例 P在角平分线上，M、N分别为角两边任意两点。一定有PM=PN吗？ 答：不一定。 角平分线性质保证到两边的垂直距离相等。 若M、N不是垂足，也没有OM=ON等补充条件，不能保证PM=PN。 区分“到边的距离”与“到边上某个点的距离”。 课堂练习 练习 如图，在直线MN上求作一点P，使P在角AOB内部，且P到射线OA和OB的距离相等。 答：作角AOB的平分线，与MN交于P。 按尺规步骤作角平分线。 其内部交点P到两边距离相等，符合题意。 先作能保证等距的角平分线，再与指定直线求交。 课堂练习 练习 如图，OC平分角AOB，P在OC上，PD垂直OA、PE垂直OB，垂足D、E。F、G分别在OA、OB上，DF=EG，连接PF、PG。求证PF=PG。 答：PF=PG。 角平分线性质给出PD=PE，且。 DF=EG，所以PDF与PEG由SAS全等。 对应边PF=PG。 先由角平分线得到一组直角边，再用题给等长完成SAS。 课堂练习 练习 如图，在ABC中AD是角平分线，BD=CD，DE垂直AB、DF垂直AC，垂足E、F。求证EB=FC。 答：EB=FC。 AD为角平分线，得DE=DF。 BDE、CDF是直角三角形，斜边BD=CD，直角边DE=DF。 由HL全等，得EB=FC。 距离性质提供HL所需的对应直角边。 课堂练习 练习 在ABC中AD是角平分线，P在AD上，PE平行AB交BC于E，PF平行AC交BC于F。求证D到PE和PF的距离相等。 答：两段距离相等。 由平行线，角，角。 平分，所以平分。 D在该角平分线上，到PE、PF距离相等。 先把原角的平分关系通过平行线转移到P点。 课堂练习 练习 OC平分角AOB，P在OC上，PD垂直OA、PE垂直OB，F是OC上另一点。连接DF、EF，求证DF=EF。 答：DF=EF。 由OPD与OPE全等，得OD=OE。 ，OF公共，因此ODF与OEF由SAS全等。 对应边DF=EF。 需要OD=OE，可从性质证明中使用的两个直角三角形全等取得。 例题讲解 示例 P在角AOB的平分线上，M、N分别在OA、OB上，OM=ON。比较三角形OPM与OPN的面积。 答：面积相等。 两底OM、ON相等，P到它们所在直线的高相等。 由三角形面积公式，两三角形面积相等。 角平分线性质给等高，题设给等底。 例题讲解 示例 P在角AOB的平分线上，OM=6、ON=4，M、N分别在两边上，比较三角形OPM与OPN的面积之比。 答：。 P到两边的距离相等，即两个三角形的高相等。 面积比等于底边比6:4=3:2。 等高三角形面积之比等于对应底边之比。 例题讲解 示例 P在角平分线上，到两边的距离和为14厘米，求每一段距离。 答：各7厘米。 两段距离相等，设为x，则2x=14。 性质将“两个未知距离”化成同一个未知量。 方法归纳 角平分线性质的使用 识别距离 ① 必须是从同一点向两边作的垂线段。 ② 先标出垂足，再写两段距离相等。 后续证明 ① 等距离可补充SAS或HL所需的边。 ② 与等底结合可求面积，和差条件可列方程。 例题讲解 示例 作一个角的平分线时，需要先用量角器知道原角多少度吗？ 答：不需要。 两组同半径圆弧提供三组相等边。 SSS直接保证角被平分，与原角的具体度数无关。 尺规作图通过等长关系保证等角。 例题讲解 示例 若P就是角顶点O，它到角两边的距离各是多少？ 答：均为0。 顶点位于角的两边上，到各边所在直线距离为0。 通常作两条非零垂线讨论性质时，取角平分线上除顶点外的点。 边界情形可以解释，证明图中通常选内部非顶点。 新知讲授 本课结论的方向 观察与思考 已知点在角平分线上，可以推出两段垂直距离相等。本课多数题按这个方向使用性质。 理解与表达 作指定直线上的等距点时，先主动构造角平分线，再用性质验证交点符合要求。验证不需要把性质反过来使用。 课堂总结 角平分线的作图与性质 构造 先取OM=ON，再取CM=CN。 依据 公共OC，SSS保证角平分。 性质 平分线上的点到两边距离相等。 证明 两直角、一锐角、公共斜边，AAS。 应用 补等边、求距离、面积与测量。 针对训练 训练 P在角平分线上，PD垂直OA、PE垂直OB。一定相等的是哪两条线段？ 答：PD与PE。 它们是P到两边的垂线段。 不选择任意斜线段。 针对训练 训练 P在角平分线上，到一边的距离为4.8厘米，则到另一边距离为______。 答：4.8厘米。 角平分线上的点到两边距离相等。 结论比较的是同一个点对应的两个距离。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 角平分线上一点到两边任意两点距离都相等。 错误 只保证到两边的垂直距离相等。 （2） 作角平分线可用三边全等说明。 正确 圆弧保证两组边等长，再加上公共边。 （3） 角平分线上不同点到一边的距离都相等。 错误 性质比较的是同一点到两边的距离。 既要同一点，又要垂直距离。 针对训练 训练 P在角平分线上，到两边距离分别为3x-2、x+6，求两段距离。 答：各10。 得x=4。 代入得到10。 求出x之后代回距离表达式。 针对训练 训练 P在角平分线上，到两边的距离和为9米，求每个距离。 答：4.5米。 两段相等，9÷2=4.5。 用性质把总和均分。 针对训练 训练 平分，、分别在、上，。证明。 O A B P M N 答：PM=PN。 在和中，，，。 由SAS判定两三角形全等，对应边。 任意连线相等需要额外OM=ON条件。 针对训练 训练 在的平分线上，、分别在、上，。到两边的距离均为，求和的面积。 O A B P D E M N 答：均为6。 分别以、为底，底边长均为6，对应的高均为2。 由三角形面积公式，每个面积为。 底边取OM或ON，高是P到该角边的距离。 针对训练 训练 在的平分线上，、，垂足为、。、分别在、上，，。求。 O A B P D E F G 答：7。 PD=PE，两夹角均为90度，DF=EG。 SAS得PDF与PEG全等，PG=PF=7。 角平分线提供一边，题给等长提供另一边。 针对训练 训练 两面直墙在O处相交，计划在室内放一盏灯，使灯到两墙的垂直距离相等。灯还必须位于给定直线MN上。怎样确定灯位？ 答：取两墙夹角的内部角平分线与MN的交点。 先作夹角的角平分线。 交点在角内部时，到两墙距离相等。 先检查交点确实在所要求的室内区域。 针对训练 训练 两条直边形成夹角，点P位于角平分线上。P到一边的垂直距离为1.2米，以P为中心设置半径1米的圆形标记，是否会碰到这两条直边？ 答：不会，各有0.2米间隔。 P到两边距离都为1.2米。 半径1米小于两个垂直距离，差为0.2米。 圆是否碰线由圆心到直线的垂直距离与半径比较。 方法归纳 本课解题方法 先把角平分转成等量 ① 作图用两组等长与公共边，SSS证明两角相等。 ② 性质用角平分、两垂直和公共斜边，AAS证明等距离。 再连接题目的目标 ① 确认所比较的距离是垂线段。 ② 等距离继续配合边长、直角、面积公式或方程完成题目。 $