14.3 角的平分线（第1课时）（教学课件）2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 (第1课时) 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 复习引入 2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 . 线段PC的长 P l A B C D 3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 . A A P P l1 l2 l1 l2 图1 图2 图1 复习引入 解：当OM=ON时，PM=PN.理由如下： ∵OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠POM=∠PON. 在△OPM和△OPN中， ∴ △OPM≌△OPN(SAS). ∴ PM=PN. 合作探究 探究1 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN? 解：点P在∠AOB的平分线上.理由如下： 连接OP. 在△OPM和△OPN中， ∴ △OPM≌△OPN(SAS). ∴ ∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上. 合作探究 探究1 反过来，如图，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN，则点P的位置有什么特点？ 合作探究 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗? 分析 根据上述结论： ①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. ②在角的内部作出与这两点距离相等的点. ③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. OM=ON PM=PN 作法 如图，已知∠AOB. (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 合作探究 为什么? 基本尺规作图 合作探究 作一个角的平分线 用角尺平分角 用角平分仪平分角 发现 P1D1=P1E1， P2D2=P2E2， P3D3=P3E3，… 猜想 角的平分线有以下性质: 合作探究 探究2 如图，OC是∠AOB 的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3 …...分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什 么发现? 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 合作探究 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 信息技术验证 已知 求证 合作探究 角的平分线上的点到角两边的距离相等. OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 角的平分线上的点 到角两边的距离 相等 PD=PE. 已知 求证 合作探究 OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. PD=PE. 分析 如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 已知 求证 合作探究 OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. PD=PE. 证明 ∵ OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△OPD和△OPE中， ∴△OPD≌△OPE(AAS). ∴PD=PE. 合作探究 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 归纳 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 合作探究 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角两边的距离相等. ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE. 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 知识要点 判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 典例分析 (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 典例分析 典例分析 例1 如图，在直线 MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等. 作法 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. (2)分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E. (3)作射线OE，交MN于点P，点P即为所求. 典例分析 例2 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG. 证明 ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°. 在△PDF和△PEG中， ∴ △PDF≌△PEG(SAS). ∴ PF=PG. 巩固练习 1.如图，OP是∠MON的平分线，已知PC⊥OM于点C，且PC=2，则点P到ON的距离是（     ） A.1 B.2 C.3 D.4 B 巩固练习 2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 C 巩固练习 3.如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点P(m-1，2n)则m与n的数量关系是 . m+2n=1 归纳总结 角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 的点到 的距离相等. 图示 依据 符号 语言 角的平分线上 角两边 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE. SSS 感受中考 1.(2025·内蒙古)如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（ ） A.100° B.80° C.50° D.40° D 感受中考 2.(2024•绵阳)如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 B 感受中考 3.(2023 ·河南)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法). (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE. 证明 ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠DAE, ∵AB=AD，AE=AE, ∴△BAE≌△DAE(SAS), ∴DE=BE. 感受中考 3.(2023 ·河南)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法). (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE. 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 $