14.2 三角形全等的判定（第5课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.2 三角形全等的判定（第5课时） 斜边、直角边判定 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 直角三角形已有一个特殊条件 回顾 比较两个直角三角形时，两个直角本身已经相等。一般三角形的SAS、ASA、AAS、SSS仍然适用。 新问题 若只知道斜边和一条直角边分别相等，没有给出另一锐角或另一条边，能否判定这两个直角三角形全等？ A B C 新知讲授 先认清斜边与直角边 观察与思考 直角所对的边叫斜边，组成直角的两条边叫直角边。在直角位于C的三角形ABC中，AB是斜边。 理解与表达 辨认斜边看的是角与边的对应位置，不是图上画得倾斜的那一条线。图形旋转后，斜边的身份不变。 A B C 例题讲解 示例 两个直角三角形的两条直角边分别相等，可以用哪种方法判全等？ 答：SAS。 两条直角边之间的夹角都是90度。 两边和夹角分别相等。 直角是两条直角边的夹角。 例题讲解 示例 两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，能否判全等？ 答：能，用AAS。 两个直角相等，再加一组锐角相等。 斜边是两个直角的对边，满足AAS。 直角可作为不需要额外给出的那组等角。 例题讲解 示例 两个直角三角形中，一锐角及其相邻直角边分别相等，能否判全等？ 答：能，用ASA。 一组锐角相等，一组直角相等。 所给直角边是这两个角的夹边。 先确认该直角边与给出的锐角相邻。 例题讲解 示例 两个直角三角形中，一锐角及其对边分别相等，能否判全等？ 答：能，用AAS。 两直角相等，题给锐角相等。 所给边为已知锐角的对边，满足AAS。 相邻或相对只影响ASA/AAS选择，都能判定。 新知讲授 斜边与直角边的新组合 观察与思考 两个直角三角形的一条直角边重合后，直角保证另一条直角边落在同一垂直射线上。 理解与表达 斜边长度固定，又限制了第三顶点到另一端点的距离。在这条射线上满足距离条件的点只能有一个，两个第三顶点重合。 新知讲授 为什么第三个点不会有两个 观察与思考 若沿垂直射线从顶点C向外移动，点到固定点B的连线长度随位置改变。教材用垂线段最短和三角形外角性质说明远近关系。 理解与表达 因此在同一射线上，斜边的指定长度只对应一个第三顶点。配合已重合的直角边，三角形能够完全重合。 新知讲授 斜边、直角边判定 结论 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简称 可以简写成“斜边、直角边”或HL。必须先确认两个三角形都是直角三角形，再对应斜边和直角边。 新知讲授 HL不能用于一般三角形 观察与思考 HL包含“两直角三角形”这个前提。一般三角形只有两边及一边的对角分别相等，属于SSA，不能保证全等。 理解与表达 不能只看到两条边分别相等，就写HL；也不能把一组斜边与另一组直角边对应。直角位置决定斜边位置。 例题讲解 示例 在与中，，、。证明两三角形全等。 答：由HL全等。 AB、DE分别为两直角三角形的斜边。 AC、DF为对应直角边，满足HL。 全等式的第三个位置都应是直角顶点。 例题讲解 示例 若两个直角三角形ABC与BAD共用AB，直角分别位于C、D，则它们的公共斜边条件怎样写？ 答：。 C、D的对边都是线段AB。 按对应顶点顺序写为AB=BA。 公共线段的几何身份是斜边，必须由两个直角位置确定。 例题讲解 例6 如图，，垂足分别为C、D，AC=BD。求证BC=AD。 答：BC=AD。 垂直给出，AB=BA为公共斜边。 AC=BD是一组直角边，由HL得。 对应直角边BC=AD。 C对应D，A对应B，因此顺序ABC对应BAD。 例题讲解 示例 如图，，垂足分别为C、D，AC=BD。求证BC=AD。写出一组对应锐角相等的结论。 答：。 由例题条件HL判定ABC与BAD全等。 A对应B，对应锐角BAC与ABD相等。 先固定对应映射，再读出角的关系。 课堂练习 练习 如图，C是路段AB中点，两人从C同时出发，以相同速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E，且。D、E到AB的距离相等吗？为什么？ 答：相等，即DA=EB。 同速、同时间得到CD=CE；中点得到CA=CB。 两直角三角形CAD、CBE斜边及一直角边分别相等，由HL全等。 对应直角边DA=EB。 距离是垂线段DA、EB，同行路程CD、CE是斜边。 课堂练习 练习 如图，AB=CD，，垂足分别为E、F，CE=BF。求证AE=DF。 答：AE=DF。 图中C、F、E、B共线，CE=CF+FE，BF=BE+EF，故CF=BE。 ABE与DCF都为直角三角形，斜边AB=DC、直角边BE=CF。 HL全等，故AE=DF。 先由CE=BF减去公共FE，得到真正用于HL的直角边。 课堂练习 练习 从地看、两地的视角是锐角，。到的距离与到的距离相等吗？为什么？ 答：相等。 在直角三角形和中，，为公共锐角。 由AAS全等，得AD=BE。 并非每道直角题都必须用HL；这题用公共锐角和斜边更直接。 课堂练习 练习 如图，在ABC中AB=AC，AD是高。求证BD=CD，角。 答：两项结论都成立。 ABD、ACD为直角三角形，斜边AB=AC，AD公共。 由HL全等，得BD=CD及。 给高用HL；给中点且两腰相等时则可以用SSS。 课堂练习 练习 如图，，垂足分别为C、B，AB=DC。求证角。 答：两角相等。 直角三角形ACB与DBC共用BC，斜边AB=DC，由HL全等。 所以。 ，，因此相等。 目标角是两个已知直角中剩余的部分。 例题讲解 示例 在与中，，。再补或，哪一个可判全等？ 答：两个条件任选一个都可以。 前者给一组直角边AC=DF，后者给另一组直角边BC=EF。 均与斜边相等组成HL。 HL只需要一组对应直角边，但必须对应。 例题讲解 示例 两个直角三角形的斜边都长5，能保证全等吗？ 答：不能。 直角与斜边长度固定时，锐角仍可不同。 还需要一组对应直角边或一组对应锐角等条件。 HL中的直角边条件不能省略。 例题讲解 示例 两个直角三角形都有一直角边长3，能保证全等吗？ 答：不能。 另一条直角边可取不同长度，形状和斜边长度都可改变。 一条直角边加一个直角属于两个条件，仍不足够。 已知是直角三角形也不能忽略必要的长度条件。 例题讲解 示例 两直角三角形由HL全等，剩余一组直角边分别为2x+3与13，求x。 答：。 对应直角边相等，。 解得。 求方程前应说明两边为什么对应相等。 例题讲解 示例 在与中，，、，。求。 答：53度。 由HL得，所以。 与互余，故。 E对应B，而不是A；先确认角的对应。 方法归纳 直角三角形判定选择 先识别给定元素 ① 两直角边用SAS，斜边和一直角边用HL。 ② 一边和一锐角可结合直角用ASA或AAS。 再处理隐含关系 ① 垂直推出直角，中点或和差推出直角边相等。 ② 全等之后才读取题目所需的对应边角。 例题讲解 示例 在和中，，公共，。应选HL还是AAS？ 答：选AAS更直接。 已知直角、锐角、斜边，满足AAS。 没有给出一组直角边相等，因此不能直接用HL。 判定名称要跟随现有条件，不要只因图中有直角就写HL。 例题讲解 示例 证明中写“AB=DE，AC=DF，所以ABC与DEF全等（HL）”，还应补充什么？ 答：先说明，即两三角形为直角三角形。 HL的前提是两直角三角形。 同时确认AB、DE为斜边，AC、DF为对应直角边。 两组边相等脱离直角前提，就不再是HL。 例题讲解 示例 点P到直线l的距离为线段PA的长，已知A在l上。还应具备什么关系？ 答：。 点到直线的距离是垂线段的长度。 任意斜线段不能直接作为距离。 应用题中的“到路段的距离”要落实到垂足与垂线段。 新知讲授 本课证明不提前使用勾股定理 观察与思考 HL可以直接作为本课所学的直角三角形全等判定。遇到斜边和一直角边相等，不需要先算出第三边再证明。 理解与表达 写证明时先列两个直角，再列斜边和直角边相等。现有条件已经足够，避免引入尚未学习或题目未要求的计算。 课堂总结 直角三角形的全等 HL 斜边和一直角边分别相等。 前提 先确认两个直角。 对应 直角顶点对应，斜边对应斜边。 其他判定 SAS、ASA、AAS、SSS同样适用。 应用 距离相等、等腰高线、对应锐角。 针对训练 训练 两个直角三角形斜边相等，还需什么可用HL？ 答：一组对应直角边相等。 HL为斜边与一直角边。 给对应锐角也能判全等，但那使用AAS。 针对训练 训练 直角在B的三角形ABC，斜边是______。 答：AC。 斜边与直角相对。 不要固定把AB当作斜边。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 任意两个三角形两边分别相等可用HL。 错误 必须先是直角三角形。 （2） 两直角边分别相等的直角三角形全等。 正确 SAS即可。 （3） 斜边和一直角边分别相等的直角三角形全等。 正确 HL。 先核对前提，再核对边的类型。 针对训练 训练 在与中，，。证明。 答：BC=DC。 公共AC为斜边，AB=AD为对应直角边。 HL得ABC与ADC全等，BC=DC。 公共线段AC位于两个直角的对面。 针对训练 训练 AB中点为M，AD、BE均垂直AB，MD=ME。证明AD=BE。 A M B D E 答：AD=BE。 AM=BM，MD=ME为斜边。 两直角三角形MAD、MBE由HL全等。 中点给直角边相等，等长斜线给斜边相等。 针对训练 训练 两直角三角形按HL全等，对应直角边为3x-1与2x+6。求x及边长。 答：x=7，边长20。 得。 代入。 求出未知数后继续求题目要求的长度。 针对训练 训练 在与中，，、，。求。 答：26度。 HL全等，。 。 直角三角形中两个锐角互余。 针对训练 训练 在中，，于，，。求及。 答：BC=10，角BAC=56度。 HL得ABD与ACD全等，所以CD=BD=5、。 分别相加求整边与整角。 一组全等同时给出边平分与角平分。 针对训练 训练 两根斜撑分别从同一地面点O连接到两根竖直立柱的顶点A、B，两柱底C、D与O的距离相等，OA=OB。证明两柱高相等。 O C D A B 答：AC=BD。 OCA、ODB为直角三角形，斜边OA=OB，直角边OC=OD。 HL全等，对应柱高相等。 把竖直条件转成直角，把柱高看作剩余对应直角边。 针对训练 训练 路段AB长10米，M是中点。D、E分别在过A、B的垂线上，MD=ME=13米。已测DA=12米，求EB。 答：12米。 MA=MB=5，两个三角形为直角三角形，MD=ME。 HL全等得DA=EB，因此EB=12米。 无需计算平方或开方，直接通过全等转移距离。 方法归纳 本课解题方法 直角图形优先核对边的身份 ① 直角对面是斜边，组成直角的是直角边。 ② 斜边加一直角边用HL；其他条件选择合适的一般判定。 把应用语言转成数学条件 ① 垂直对应直角，中点对应等长，等速等时对应路程相等。 ② 判定全等后读出真正表示距离的对应垂线段。 $