精品解析：江苏省连云港市赣榆区海头高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期12月学业水平质量监测 高二数学试题 （共4页 满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（共8小题 满分40分） 1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线，，则和之间的距离为（    ） A. B. C. D. 4. 设等比数列的前n项的和为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ） A. 25 B. 24 C. 27 D. 26 二、多选题（共3小题 满分18分） 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的最大值为或 C. D. 当时， 10. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 11. 已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 14. 已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为___________；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为___________． 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列为等差数列. 16. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在第二象限，当在上时，与的横坐标和为. （1）求抛物线的方程； （2）过作斜率为的直线与轴交于点，与直线交于点（为坐标原点），求. 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月学业水平质量监测 高二数学试题 （共4页 满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（共8小题 满分40分） 1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在轴上计算即可. 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 2. 设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案. 【详解】是等比数列，. 由，得，即， 所以，所以，所以或， 所以的充要条件为或. 又，所以数列为递增数列的充要条件为， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“为递增数列的必要不充分条件”. 故选：B. 3. 已知直线，，则和之间的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线的距离公式可得. 【详解】将直线方程化为：， 由两条平行线间距离公式得． 故选：B． 4. 设等比数列的前n项的和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 5. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 7. 已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求得，，利用二倍角的余弦公式结合可求出的值，然后在中，利用余弦定理可得出、的等量关系，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】因为，所以， 即，且， 所以，解得， 所以在△中，由余弦定理可得， 即，即，解得. 故选：C. 8. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ） A. 25 B. 24 C. 27 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求得，进而求得及，最后对分奇偶数分类求和即可. 【详解】设的公比为，由， 得， 则，令，因此， 记， 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，因此的最小值为27. 故选：C 二、多选题（共3小题 满分18分） 9. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的最大值为或 C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及前n项和公式可得，对于A，由即可判断；对于B，当时，数列单调递减，又，可知在或时取得最大值，即可判断，对于C，由即可判断，对于D，由，可得． 【详解】根据题意可得， 即． 对于A， ； 对于B，， ，，等差数列单调递减， 当时，的最大值为或，故B正确； 对于C，，且公差不为0， ，故C不正确； 对于D，， ，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据递推式得，得数列单调递减，即且，判断A、B，根据得，从而得到、，进而有判断C，由并应用累加法求，即可判断D. 【详解】由，而，显然，则， 所以数列单调递减，即（时取等号），则，A对， 由，结合A分析，则（时取等号），B对， 由，则， 结合已知及A分析，有，故，由B知（当且仅当时右侧等号）， 而， 综上，则（当且仅当时右侧等号）， 所以，即（当且仅当时左侧等号成立），所以，C对， 由，则， 所以，则，D错. 故选：ABC 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差得，即. 故两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 14. 已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为2，则的值为___________；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据的面积的最大值可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由已知条件可得、， 设，因为点为椭圆上一点， 所以，，， 所以的面积，当且仅当时取等号， 所以当的坐标为或时的面积取最大值，最大值为， 由已知可得， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左､右焦点， 所以，所以 所以 故 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：；． 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列为等差数列. 【答案】（1） （2） 由（1）, 所以， 所以， 所以数列为公差为的等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，由此可得的通项公式； （2）利用等差数列的定义证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 依题意有， 解得， 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可； （2）设点，利用中点坐标公式建立点和点之间的关系式， 再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是2， 显然直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程是，即， 则圆心到直线的距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点， 由点是的中点得 所以①， 因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，， 化简得点的轨迹方程是. 17. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在第二象限，当在上时，与的横坐标和为. （1）求抛物线的方程； （2）过作斜率为的直线与轴交于点，与直线交于点（为坐标原点），求. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）设，根据列方程求解即可； （2）联立直线的方程和抛物线的方程消去，设直线的方程，联立求出点的坐标，利用韦达定理代入化简可得. 【小问1详解】 设，则， 由，则直线l斜率为， 又，则，从而有，所以， 从而抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意直线斜率存在，设， 由得， 则，解得或， 又点在第二象限，所以，，. 设，由题. 联立解得， 则， 将，代入上式得 ，即. 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列； （2）； （3） ， . 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3） 由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立,得, 所以,, 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值 【解析】 【分析】(1)由题可得，解方程即可求解. (2)求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3)设直线的方程为：,,联立,由韦达定理可得,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以，解得：, 则, 所以椭圆C的方程为:, 【小问2详解】 由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $