15.3 等腰三角形（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.3 等腰三角形（第2课时） 等腰三角形的判定与作图 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 把等腰性质反过来问 已有结论 两边相等能够推出它们所对的角相等。若只知道一个三角形有两个角相等，能否反过来推出两边相等？ 研究方法 先写出原命题的逆命题，再证明。我们不能仅凭反过来“似乎合理”就使用它，而要借助已经学过的三角形全等判定。 例题讲解 示例 在中，。若要证明两边相等，应证明哪两条边？ 答：。 角 的对边是 ，角 的对边是 。 先确定对边，再选择证明所需的辅助线。 探究 证明 在中，，作角平分线。证明。 A B C D 答：。 。 由得，故。 新知讲授 等腰三角形的判定 教材定义 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 理解要点 条件是两个内角相等，结论是它们所对的两条边相等。判定和性质方向相反，使用时要根据题目已知选择方向。 新知讲授 性质与判定互相配合 性质方向 已经知道两腰相等，可以得到两个底角相等，并使用三线合一。此时结论中应出现新的角度或辅助线性质。 判定方向 已知两角相等时，可把等角转化成等边，再获得新的等腰三角形。不能把需要证明的两边相等提前作为已知。 例题讲解 示例 中，。判断其是否等腰。 答：是，。 。 角 与角 相等，故其对边 与 相等。 例题讲解 示例 中，且。求三角并说明两条相等边。 答：；。 设角 ，内角和为 。 角 =角 ，由等角对等边得 。 例题讲解 示例 已知 平分角 ，点 在 上。仅此条件能否断定三角形 等腰？ 答：不能。 角平分线给出的是角 =角 ，分别在不同的小三角形中。 还需将这两个角联系到同一个三角形的两个内角。 例题讲解 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知平分的外角，，求证。 答：先证明。 等角对等边能直接推出 。 平行线能把底角转移到点 附近，与外角平分线建立联系。 例题讲解 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知平分的外角，，求证。 答：，所以。 由 ∥，把角 、角 分别对应到外角的两个部分。 由 平分外角知两部分相等，于是两个底角相等，得 。 例题讲解 变式 如图，，平分。证明。 A B C D 答：。 由平行线得。 由角平分线得，故，得。 新知讲授 判定等腰后继续使用性质 常见链条 平行或角平分线先产生角相等，再由等角对等边得到等腰三角形。此后才可以使用三线合一处理高、中线或角平分线。 书写顺序 每一步写清依据，避免在判定之前就使用等腰特有性质。证明中若出现“所以它是等腰三角形”，应同时指出哪两边相等。 例题讲解 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为，底边上高的长为，求作这个等腰三角形。 答：先作底边 ，再作 的垂直平分线 。 等腰三角形底边上的高同时是中线。 顶点应在底边垂直平分线上。 例题讲解 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为，底边上高的长为，求作这个等腰三角形。 答：设 与 交于 ，在 上取 ，使 ，连接 、。 在 的垂直平分线上，所以 。 ⊥ 且 ，底边长 ，满足全部条件。 例题讲解 示例 给定底边和正的高，底边垂直平分线上一般可以选出几个满足条件的顶点？ 答：两个，分别在底边两侧。 沿垂直平分线从中点向两侧各截取长度 。 两个三角形关于底边对称，形状大小相同。 例题讲解 示例 只作底边 ，再任取一个点 ，使 到 的距离为 ，是否一定得到等腰三角形？ 答：不一定。 高度相同只确定点在与 平行的某条直线上。 还必须使顶点位于 的垂直平分线上，保证两腰相等。 例题讲解 示例 “等腰三角形两底角相等”与“两个角相等的三角形是等腰三角形”是否为互逆定理？ 答：是。 两者的条件与结论相互交换。 两个命题都已证明为真，所以互为逆定理。 方法归纳 从角相等推到边相等 制造等角条件 ① 从平行线、角平分线、折叠或对顶角中寻找角相等。 ② 确认两个角属于同一个三角形，写出它们的对边。 与等腰性质往返 ① 先用等角对等边判定等腰，再用等边对等角或三线合一。 ② 作图中可用垂直平分线上的等距性质保证两腰相等。 课堂练习 练习 如图，，，。分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。 答：，。 ，故。 在中，。 课堂练习 练习 如图，，，。分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。 答：都是等腰三角形。 大三角形中角 =角 ；小三角形 中角 =角 。 三角形 中角 =角 ，因此相应对边分别相等。 课堂练习 练习 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？图中 、 为对角线端点， 为折后边与原上边交点。 A B C D B' E 答：是，。 折叠得角 =角 ；长方形对边平行得角 =角 。 重合三角形 中两个角相等，故 。 课堂练习 练习 和相交于，且。求证。 答：。 ，所以三角形 两底角相等。 平行线把这两个底角对应到三角形 的两个底角，得角 =角 ，所以 。 课堂练习 练习 ，平分。求证。 答：。 。 在三角形 中，等角对等边即得结论。 课堂练习 练习 上午时船从海岛以的速度向正北航行，时到海岛。测得，求到灯塔的距离。 答：。 ，故。 所以。 例题讲解 示例 中，求周长。 答：。 两个底角相等，所以 。 周长为。 例题讲解 示例 两个不同三角形中各有一个角为 ，能否由此说其中某一个是等腰三角形？ 答：不能。 判定要求同一个三角形内有两个相等的角。 跨图形的一对等角不能直接提供某个三角形的两条等边。 例题讲解 示例 已知，有人写，错误在哪？ 答：正确应为。 角 的对边是 ，角 的对边是 。 是这两个角的公共邻边，不是相应对边。 新知讲授 证明的目标和已知分开 已知清单 先记录平行、角平分线、等边、对顶角等已知关系。每种关系可以推出不同的等角，选用能连接到目标三角形的关系。 目标清单 目标是边相等时，寻找对应角相等；目标是某线段为高或中线时，可先判定等腰，再使用三线合一，形成完整推理链。 例题讲解 示例 且，证明。 答：。 两个直角三角形有相等的锐角和公共边 ，可用 判定全等。 由对应边相等得到 ；这也说明已知两线合一可以形成等腰条件。 课堂总结 等腰三角形的判定 判定 两个角相等→对边相等。 等角来源 平行、角平分线、折叠、内角和。 证明顺序 找等角→定等腰→用性质。 尺规作图 作底边中垂线，再用高定位顶点。 注意 同一三角形内配对，不能循环论证。 针对训练 训练 中，相等的边是哪两条？ 答：。 分别找出角 、角 的对边。 等角所对边才能对应相等。 针对训练 训练 三角形两个角为，它是等腰三角形吗？ 答：是。 第三角为 ，有两个相等的角。 先用内角和补角再判定。 针对训练 训练 一个直角三角形有一锐角为，两直角边有何关系？ 答：两直角边相等。 另一锐角也为 ，由等角对等边得到。 两相等锐角对应两条直角边。 针对训练 训练 ，，求。 答：。 ，所以。 先写出正确的等边关系。 针对训练 训练 ，为中点，求。 答：。 先得 ，再由三线合一得 ⊥。 不能跳过等腰判定的依据。 针对训练 训练 折叠使一个三角形的两个内角分别与同一个角相等，可得什么边的关系？ 答：这两个内角所对的边相等。 先利用相等关系传递得到同一三角形内的等角。 明确两角所在三角形。 针对训练 训练 要作底边为、底边高为的等腰三角形，顶点应如何确定？ 答：先作底边的垂直平分线，再从中点沿该线截取 。 垂直平分线保证两腰相等，截取长度保证高为 。 两个条件共同限定顶点。 针对训练 训练 ，交于，若，证明。 答：。 三角形 底角相等；利用平行线转移到三角形 。 把上一道结构中的推理方向反过来。 针对训练 训练 三角支架两个底角经设计均为。两根斜杆是否等长？若一根为，另一根多长？ 答：等长，另一根为。 同一三角形内两个底角相等，对应两斜边相等。 用角度条件确定长度关系。 针对训练 训练 观测点相距，目标为，测得。求。 答：。 角 =角 ，故 。 先求缺失角，再用等角对等边。 方法归纳 从角相等推到边相等 制造等角条件 ① 从平行线、角平分线、折叠或对顶角中寻找角相等。 ② 确认两个角属于同一个三角形，写出它们的对边。 与等腰性质往返 ① 先用等角对等边判定等腰，再用等边对等角或三线合一。 ② 作图中可用垂直平分线上的等距性质保证两腰相等。 $