15.3 等腰三角形（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.3 等腰三角形（第1课时） 等腰三角形的性质 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 从一般三角形到特殊三角形 回顾 三角形的内角和、外角性质与边长限制适用于所有三角形。增加“两边相等”这个条件后，图形还会具有新的性质。 研究路线 通过折叠找到相互重合的线段和角，再用全等三角形证明。这样可以区分实验中看到的现象和对所有等腰三角形成立的结论。 A B C D 新知讲授 等腰三角形 教材定义 有两边相等的三角形是等腰三角形。 理解要点 相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边；两腰夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。使用性质前先识别各部分。 新知讲授 折叠探究 操作 剪下一个等腰三角形，把两腰叠合后再展开。折痕经过顶点和底边的中点；两侧对应的边、角在折叠中重合。 记录 观察两个底角、顶角被分成的两个角、底边被分成的两段以及折痕与底边所成的角。把现象整理成可证明的猜想。 新知讲授 性质一：等边对等角 教材定义 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 理解要点 由两腰相等得到它们所对的两个角相等。对边必须配准，例如两腰为 、 时，相等的是角 与角 。 新知讲授 性质二：三线合一 教材定义 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）。 理解要点 底边上的中线、高及顶角平分线是同一条线段。它的所在直线是等腰三角形的一条对称轴。 探究 证明 在中，，取中点。证明。 A B C D 答：。 。 由得，所以对应底角相等。 探究 证明 在中，，是中点。说明还具有哪些性质。 A B C D 答：平分顶角，且。 由两三角形全等得，。 后一对角互补且相等，所以均为。 例题讲解 示例 等腰三角形顶角为，求两个底角。 答：均为。 两底角相等，和为。 每个底角为。 例题讲解 示例 等腰三角形一个底角为，求顶角。 答：。 另一底角也为。 顶角为。 例题讲解 示例 等腰三角形一个角为，其余两角可能是多少？ 答：，或。 若已知角是顶角，两个底角各为 。 若是底角，另一底角 ，顶角 。 例题讲解 示例 等腰三角形一个角为，其余两角是多少？ 答：均为。 钝角不能作底角，否则两个底角和超过 。 每个底角为。 例题讲解 示例 ，，。求。 答：。 等腰三角形底边上的高也是中线。 两段均为的一半。 例题讲解 示例 ，为中点，。求及。 答：。 底边中线同时平分顶角并垂直底边。 分别使用角平分线与高的性质。 例题讲解 例1 在中，，点在上，。求各角的度数。 答：；。 由 、 分别找到两组底角。 由 找到第三组底角。 例题讲解 例1 在中，，点在上，。求各角的度数。 答：设，则。 ，由外角性质。 结合等腰关系，另两个大三角形内角都为 。 例题讲解 例1 在中，，点在上，。求各角的度数。 答：，。 ，解得。 将代回，两个底角都为。 例题讲解 示例 当图中多条线段相等而角度都未知时，为什么设一个角为 往往有效？ 答：等边对等角使若干角可以用同一个未知量表示。 先列等角关系，再利用外角把相邻三角形联系起来。 最后回到一个三角形，使用内角和形成方程。 方法归纳 等边关系转化为等角关系 寻找等腰三角形 ① 把每一组相等线段放到同一个三角形中，确定相应底角。 ② 多个等腰三角形共用角时，用一个未知角表示其他角。 使用三线合一 ① 必须先确认两腰相等，且辅助线对应底边或顶角。 ② 中线、高、顶角平分线知道一种，可得到另两种性质。 课堂练习 练习 在中，，。求和的度数。 答：。 ，故。 两角均为。 课堂练习 练习 在中，，。求和的度数。 答：。 。 ，故。 课堂练习 练习 是等腰直角三角形（），是底边上的高。标出的度数，并写出图中所有相等的线段。 A B C D 答：四个角均为。 等腰直角三角形两个底角相等且和为 。 底边上的高平分顶角，顶角 被分成两个 。 课堂练习 练习 是等腰直角三角形（），是底边上的高。标出的度数，并写出图中所有相等的线段。 A B C D 答：，。 由三线合一得；又。 以为夹边，由得，故。 课堂练习 练习 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 A B C D 答：该边所对的角为，所以三角形为直角三角形。 设为中线且，则，得到、。 于是，结合内角和，得。 课堂练习 练习 等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 答：，或。 若 为底边，两腰各为 ()/。 若 为腰，另一腰为 ，底边为 ；两种均满足三角形不等式。 课堂练习 练习 在中，在上，。求证。 答：。 作底边 的中线 ，则 且 ⊥。 在等腰三角形 中， 也是底边 的高与中线，故 ；相减得 。 例题讲解 示例 在等腰三角形 中 ，连顶点 到腰 中点 ， 必定垂直 吗？ 答：不一定。 三线合一针对的是底边上的中线、高及顶角平分线。 腰上的中线并不自动具有这些性质。 例题讲解 示例 在四边形中，只有，能否立即写出？ 答：不能。 等边对等角要求两条相等边处于同一个三角形内。 先识别两边所在的三角形，再找它们所对的角。 新知讲授 分类讨论要保留有效答案 分清角色 “一个角”“一条边”没有说明是顶角或底角、腰或底边，应分别讨论。每类答案都要回到原条件检查。 筛选条件 角度必须为正，内角和为 ；边长必须为正，且满足三角形两边之和大于第三边。不可只列方程而不检查几何可行性。 例题讲解 示例 等腰三角形一边长，周长。另一边可能为吗？ 答：不可能。 若两腰都是 ，第三边为 ，但 <。 只有底边为 、两腰各 的情形成立。 课堂总结 等腰三角形的性质 定义 两条边相等，明确腰与底边。 等角 两腰相等→两个底角相等。 三线合一 底边中线、高、顶角平分线重合。 求解 找等角→用内角和或外角关系。 注意 角色不明要分类，结果须检验。 针对训练 训练 在中，，哪两个角相等？ 答：。 的对角是 ， 的对角是 。 先找边的对角，再写等角。 针对训练 训练 等腰三角形顶角为，底角多少度？ 答：。 。 两个底角平均分剩余角度。 针对训练 训练 等腰三角形底角为，顶角多少度？ 答：。 。 底角出现两次。 针对训练 训练 等腰三角形一个角为，另外两角可能是多少？ 答：或。 分别把 视为顶角和底角。 未说明角的角色时先分类。 针对训练 训练 ，平分顶角，，求与。 答：，。 顶角平分线也是底边的中线与高。 应用前确认 AD 对应顶角。 针对训练 训练 等腰三角形中，任意一边的高都平分该边，这句话对吗？ 答：不对。 只有底边上的高必定平分底边。 不要漏掉“底边”条件。 针对训练 训练 等腰三角形底边长，周长，求腰长。 答：。 两腰之和为，每腰为。 明确哪个数是底边。 针对训练 训练 为边中线，且。求。 答：。 为中点，所以 ；由本课证明得到直角。 使用已经证明的结论并写出适用条件。 针对训练 训练 对称屋架外轮廓是等腰三角形，顶角。两根斜梁与水平底梁所成锐角各是多少？ 答：。 两个底角相等，每个为。 把斜梁与底梁夹角对应到底角。 针对训练 训练 一个等腰三角形花坛两腰各，底边长。从顶点到底边中点铺小径，它把底边分成几米，并与底边成多大角？ 答：分成，夹角。 底边中线同时是高。 实际小径对应三线合一中的中线。 方法归纳 等边关系转化为等角关系 寻找等腰三角形 ① 把每一组相等线段放到同一个三角形中，确定相应底角。 ② 多个等腰三角形共用角时，用一个未知角表示其他角。 使用三线合一 ① 必须先确认两腰相等，且辅助线对应底边或顶角。 ② 中线、高、顶角平分线知道一种，可得到另两种性质。 $