精品解析：辽宁丹东市第六中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度（上）九年级10月单元练习 数学试卷 （本试卷共23题 满分120分 作答时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于菱形的说法正确的是（    ） A. 菱形的四个内角一定相等 B. 菱形的对角线一定相等 C. 菱形的四条边都相等 D. 菱形的周长和面积一定相等 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的面积为16，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 9. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，若，且，则______． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______________． 13. 如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 14. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为______． 15. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，，连接，交于点F，则的值为______________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算下列各题： （1）化简： （2）解方程： 17. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， （2）若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧画出放大后的； （3）如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点的坐标． 20. 如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若平分，，求的长． 21. 综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，过点作轴交直线于点． （1）求证：平分； （2）点在轴上，且点在点的上方，点在轴上，，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 23. 已知，连接，，． （1）如图①，将沿折叠，点A的对应点落在点M处，交于点P． ①求证：； ②求的面积； （2）若点E在边上，如图②，作交于点F，将沿折叠，使点A的对应点N落在边上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）九年级10月单元练习 数学试卷 （本试卷共23题 满分120分 作答时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个要求：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程． 【详解】解：选项A，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，满足全部条件，一定是一元二次方程，符合题意； 选项C，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将待求分式变形为含的形式，代入已知比例值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 3. 下列关于菱形的说法正确的是（    ） A. 菱形的四个内角一定相等 B. 菱形的对角线一定相等 C. 菱形的四条边都相等 D. 菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选B． 5. 如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，可判定，故A选项正确，不符合题意； B．由可判定，故B选项正确，不符合题意； C．由可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意； D． 由可得且，可判定，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，菱形的面积为16，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理推导出四边形的边长与菱形对角线的关系，判定四边形为矩形，根据菱形面积推出对角线乘积的值，代入矩形面积的代数式中计算． 【详解】解：连接菱形的对角线和，设它们的交点为M， 在中，因为E，F分别是，的中点， ∴，且（三角形中位线定理）． 同理，在中，H，G分别是，的中点， ∴，， ∴，． 在中，E，H分别是，的中点， ∴，， 在中，F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴（菱形对角线互相垂直）， 又∵，， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 7. 已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，     ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______________． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的根的定义，将代入方程得到 ，然后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， ∴， ∴． 故答案为：2027． 13. 如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式求出点和点B的坐标，再设点P的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得得到答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵点P在线段上（不与点A、B重合） ∴可设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， 解得或，均符合题意， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键． 15. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，，连接，交于点F，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点K，证明，得到，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交的延长线于点K， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算下列各题： （1）化简： （2）解方程： 【答案】（1） . （2） ，. 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得 ，． 17. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， （2）若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1） 对于一元二次方程， ， 无论为何值，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式，通过配方判断恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根， 根据根与系数关系得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， 又，， ， 解得或， ，是三角形的边长， ，， ，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 即当时，是以为斜边的直角三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧画出放大后的； （3）如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点的坐标． 【答案】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如果点在线段上，经过（2）的变化后D的对应点的坐标：． 20. 如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若平分，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先结合矩形的性质以及点是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，再由菱形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴, ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得四边形是菱形； ∴． 21. 综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 【答案】锦江亭的高度为 【解析】 【分析】由可得，从而证得，，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，得到，即可用含的式子表示的长，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 锦江亭的高度为． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，过点作轴交直线于点． （1）求证：平分； （2）点在轴上，且点在点的上方，点在轴上，，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】（1） 平分 （2）点 的坐标为 或 【解析】 【分析】（1）先由坐标算得 ，在 中用“等边对等角”得 ；再由 及平行线内错角相等得 ，从而 ，即 平分 ． （2）先求出 的面积，设 （）、，用 把 用 表示，再由面积等于 一半列方程求解；注意 既可在的左侧，也可在的右侧，会得到两个 的坐标． 【小问1详解】 解：对于直线 ，令 得 ，令 得 ． 把 代入 得 ，所以 ． 由 、 得 ；由 、 得 ，所以 ． 在 中，因为 ，由“等边对等角”得 ． 因为 在 轴上， 轴，所以 ． 由平行线性质，直线 截平行线 、 所得内错角相等，即 ． 因此 ，即 平分 ． 【小问2详解】 解：由 、、 得 ，点 到直线 的水平距离为 ， 所以 ． 设 （），，则 ，． 由 得 ，所以 或 ． 因为 ，所以 ． 当 时，，即 ，解得 （负值舍去）． 当 时： 若 ，则 ，方程 即 ，无实数解； 若 ，则 ，方程 即 ，解得 ，取 （另一根小于 ，舍去）． 综上，点 的坐标为 或 ． 【点睛】第（1）问抓住 这一隐含条件，先用等腰三角形“等边对等角”得 ，再利用 推出内错角 ，从而两角相等证得角平分线；第（2）问用坐标设元，把 与面积条件统一为关于 的方程，关键是按 在 轴正、负半轴分类讨论，避免漏解． 23. 已知，连接，，． （1）如图①，将沿折叠，点A的对应点落在点M处，交于点P． ①求证：； ②求的面积； （2）若点E在边上，如图②，作交于点F，将沿折叠，使点A的对应点N落在边上，求的长． 【答案】（1）①证明：由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①证明即可； ②过点作于点，过点作于点，证明求解，再由勾股定理求解，即可求解面积； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点,先由勾股定理求解，然后由面积法求解，即可通过勾股定理求解，然后证明，，再由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，则， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，连接交于点，过点作于点， 由翻折的性质得， ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $