精品解析：辽宁省丹东市第五中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026（上）九年级教学质量监测（一） 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为（ ） A. 20支 B. 12支 C. 10支 D. 8支 7. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 8. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C，D分别落在，位置上，与的交点为M．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，若，则______． 12. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为_____． 13. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大为原来的4倍，得到，若点的坐标为，则点的坐标是______． 15. 在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 三、解答题（共9小题） 16. 解方程： （1） （2） 17. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 19. 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当 时，求的长． 20. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元．设该商品的销售单价为（元），日销售量为（）． ①写出与的关系式为___________． ②若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？ 21. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 22. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 23. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）九年级教学质量监测（一） 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程方程的定义即可解答． 【详解】解：A、，不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意． B、，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意． C、，该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意． D、，该方程符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程． 2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 3. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据正方形，矩形，菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该选项正确，不符合题意； B、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，故该选项正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解． 根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：． 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 一只不透明的盒子中装有12支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为（ ） A. 20支 B. 12支 C. 10支 D. 8支 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设盒子中蓝笔有x支，根据题意可知从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设盒子中蓝笔有x支， ∵通过多次重复试验发现摸出黑笔的频率稳定在， ∴从盒子中随机摸出一支黑笔的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴盒子中蓝笔有支． 故选：D 7. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．利用中心投影，过点作于点交于点，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点交于点， 根据题意得：， ， ，，． ，，， ， ，即， 解得：． 故选：C． 8. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 9. 如图，将一张长方形纸条沿折叠，点C，D分别落在，位置上，与的交点为M．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据长方形的性质得到，，根据平行线的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而可求出结论． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将一张长方形纸条沿EF折叠，点C，D分别落在，位置上， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，则，然后把代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故答案为：． 13. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳这五项分别记为、、、、，树状图如下： 共有种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有种， 某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大为原来的4倍，得到，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：将的面积扩大为原来的4倍，得到， ∴与关于原点的位似比为2， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 15. 在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、勾股定理，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到、，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可得，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ，， 又， ， ， ∴ ， ， ， 在中，． 故答案为： ． 三、解答题（共9小题） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 17. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】（1）①50，②28.8， ③补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论，②利用圆心角的意义解答即可；③根据条形统计图的特点，解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，得（人）， 故答案为：50． D类所占圆心角为：， 故答案为：28.8． ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致概率为 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 19. 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当 时，求的长． 【答案】（1） 证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 20. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元．设该商品的销售单价为（元），日销售量为（）． ①写出与的关系式为___________． ②若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①；②16元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，根据2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩建立方程求解即可； （2）①先求出降低的费用，再根据单价每降低1元，每天可多售出列式求解即可；②根据总利润等于每千克的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：①由题意得，； ②由题意得，， 整理得， 解得或， ∵使消费者尽可能获得实惠， ∴， 答：销售单价应定为16元． 21. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 22. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键．根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． ． ∴围墙的高度为． 23. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小是不发生变化，； 理由：作于点M，作于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ③ （2）； 理由：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， 由旋转知：， ∴， 作交AB于点E，交于点G，如图 则四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明，即可得出结论；②作于点M，作于点N， 推出，进而求证，得出，即可得出结论；③作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，通过证明，四边形是矩形，得出，，再根据，得出，最后根据，即可得出． （2）先证明，作交AB于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，，推出是等边三角形，同理与都是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①略 ②略 ③； 作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形是性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $