精品解析：辽宁阜新市实验中学2026-2027学年九年级上学期限时作业数学试卷

2026-2027九年级数学学科限时作业 一．选择题（共10小题，每题3分．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义逐一判断各选项． 【详解】解： A：方程含有分母，不是整式方程，故不符合． B：方程含有两个未知数和，故不符合． C：方程只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，故符合． D：方程含有两个未知数和，故不符合． 故选：C． 2. 已知，那么的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． 由已知比例 ，可设参数表示和，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 设 ，（）， 则， ∴ ， 故选：A． 3. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm2． A. 6 B. 8 C. 16 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题解析：阴影部分的面积=S△ADC=S正方形ABCD=×42=8（cm2）． 故选B． 4. 下列各组图形不一定相似的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个含有内角的等腰三角形 C. 两个含有内角的等腰三角形 D. 两个含有内角的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据对应角相等判断各组图形是否一定相似． 【详解】解：A、等腰直角三角形角均为、、，对应角相等，一定相似； B、含有内角的等腰三角形中，必为顶角，底角均为，对应角相等，一定相似； C、含有内角的等腰三角形中，可能为顶角或底角，导致角组合可能不同（如、、或、、），对应角不一定相等，不一定相似； D、含有内角的直角三角形，角均为、、，对应角相等，一定相似， 故选：C． 5. 一元二次方程x2+4x-1＝0经过配方后可变形为（ ） A. (x-2)2＝3 B. (x-2)2＝5 C. (x+2)2＝3 D. (x+2)2＝5 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【详解】解：∵x2+4x﹣1＝0， ∴x2+4x＝1， 则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【详解】解：∵点A，B对应的刻度分别为2，8， ， 在中，，点D为边的中点， ∴． 7. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增大，该事件的频率逐渐稳定在附近． ∴估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，则与的相似比是（ ） A. 2:1 B. 3:1 C. 4:1 D. 9:1 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴. 9. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题．根据金色纸边的宽度为，则挂图的，宽就为，根据题目条件列出方程整理即可． 【详解】解：根据金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为， 由题意得：， 整理得出：． 故选：A． 10. 如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（ ） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 【答案】C 【解析】 【分析】由甲作图可得，，证明四边形是平行四边形，根据，证明四边形是菱形，可判断甲的正误；由乙作图可得，，，在的垂直平分线上，，则，四边形为菱形，进而可判断乙的正误． 【详解】解：由甲作图可得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，甲正确，故符合要求； 由乙作图可得，，，在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，乙正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了作垂线，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每题3分．） 11. 若是方程的根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后通过代数变形求解的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 13. 在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 【答案】42 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ 四边形与四边形的周长比为， 设四边形的周长为， 则， 解得 ． 则四边形的周长为． 14. 如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 【答案】2 【解析】 【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解. 【详解】设运动x秒后．由题意得： AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm， S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24， 即：×（8−x）×（6−x）＝×24， x2−14x＋24＝0， （x−2）（x−12）＝0， x1＝12，x2＝2； ∵x＜6，∴x1＝12舍去， 所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 故填：2. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 15. 如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）先计算，再利用公式法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 17. 如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】证明：， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，．进而得出，再根据相似三角形的判定方法即可得出． 【详解】略 18. 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】（1） 证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 19. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3） 首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【小问1详解】 解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 非物质文化遗产手工艺品是中华民族智慧与文明的结晶，承载着岁月的记忆与民族的灵魂．以下是四幅手工艺品的图片（不透明）：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．这四幅图片除正面内容不同外，其余完全相同，将它们背面朝上，洗匀后放在桌面． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_________； （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，不放回，将剩下的图片洗匀后，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【小问1详解】 解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种． 根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． ∴两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：；； 例题2：；． 同样我们也可以化简； 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：________，________； （2）计算：； （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则，计算； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据计算即可； （3）根据和配方法得到方程的解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， 解得． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：月销售利润不能达到40000元， 理由：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到40000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到40000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：略 23. 【方法回顾】 （1）如图1，正方形中，点E是边上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出________； （2）【类比探究】如图4，点E是菱形的边上一点（不与点B，C重合），，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； （3）【拓展应用】如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点（且都不与平行四边形的顶点重合），，，． ①线段的长为； ②在①的结论下，线段的长． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）方法一：由“”可证，可得，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；方法二：由“”可得，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）①如图，在上取点K，使，易得，即可得出； ②延长交延长线于点Q，由，易证，进而利用特殊角求出和，再利用相似求出，最后在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：方法一：如图，过点作边延长线的垂线，垂足为点， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：如图，在边上截取，使得，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在边上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，在上取点K，使， ∵，在平行四边形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得（负值舍去）， ∴； ②如图，延长交延长线于点Q， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027九年级数学学科限时作业 一．选择题（共10小题，每题3分．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 3. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm2． A. 6 B. 8 C. 16 D. 不能确定 4. 下列各组图形不一定相似的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个含有内角的等腰三角形 C. 两个含有内角的等腰三角形 D. 两个含有内角的直角三角形 5. 一元二次方程x2+4x-1＝0经过配方后可变形为（ ） A. (x-2)2＝3 B. (x-2)2＝5 C. (x+2)2＝3 D. (x+2)2＝5 6. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 有2个人同月过生日的次数 79 229 385 781 1251 1562 有2个人同月过生日的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，则与的相似比是（ ） A. 2:1 B. 3:1 C. 4:1 D. 9:1 9. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（ ） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 二．填空题（共5小题，每题3分．） 11. 若是方程的根，则__________． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 13. 在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 14. 如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 15. 如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为___________． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 18. 已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 19. 请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： （1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： （2）补全材料中的证明过程； （3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 20. 非物质文化遗产手工艺品是中华民族智慧与文明的结晶，承载着岁月的记忆与民族的灵魂．以下是四幅手工艺品的图片（不透明）：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．这四幅图片除正面内容不同外，其余完全相同，将它们背面朝上，洗匀后放在桌面． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_________； （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，不放回，将剩下的图片洗匀后，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：；； 例题2：；． 同样我们也可以化简； 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：________，________； （2）计算：； （3）在复数范围内解方程：． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 23. 【方法回顾】 （1）如图1，正方形中，点E是边上一点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 方法1：如图2，过点作边延长线的垂线，垂足为点；方法2：如图3，在边上截取，使得，连接；以上两种方法都是构造全等三角形来解决问题，都可以得出________； （2）【类比探究】如图4，点E是菱形的边上一点（不与点B，C重合），，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数； （3）【拓展应用】如图5，在平行四边形中，，，且，点E，F，G分别为边，，上的点（且都不与平行四边形的顶点重合），，，． ①线段的长为； ②在①的结论下，线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $