29.1 圆的有关概念 同步训练（二） 半径相等与角度计算 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.1 圆的有关概念　同步训练（二） 主题：半径相等与角度计算　　（人教版数学九年级上册） 适用年级：九年级（上册）　　满分 100 分　　时间 60 分钟 命题人：______　审题人：______　使用日期：______ 班级：______　姓名：______　考号：______　得分：______ 注意事项 1．同圆或等圆中，半径都相等，由此可得以圆心为顶点的三角形往往是等腰三角形，常用其性质求角度。 2．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，只写最后答案不能得分。 3．求弦长时注意联系勾股定理，注意区分“半径相等”与“弦长相等”。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，OA、OB 是 的两条半径，则 一定是（　　） 图1 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 2. 如图，OA、OB 是 的半径，且 。则 的度数为（　　） 图2 A. B. C. D. 3. 如图，在 中，OA = OB = 5，。则弦 AB 的长为（　　） 图3 A. 5 B. C. 10 D. 无法确定 4. 如图， 与 是两个半径都为 3 cm 的等圆。根据等圆的定义可知，这两个圆（　　） 图4 A. 圆心相同 B. 半径相等 C. 位置相同 D. 弦长都相等 5. 如图，OA、OB、OC 都是 的半径，已知 ，。则 的度数为（　　） 图5 A. B. C. D. 6. 在 中，AB 是弦，且 AB = 8。设 的半径为 ，则 的取值范围是（　　） 图6 A. B. C. D. 7. 下列说法：①同圆中所有的半径都相等；②等圆的半径相等；③长度相等的两条弧一定是等弧；④直径是圆中最长的弦。其中正确的有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 如图，OA、OB 是 的半径，OA = OB，。则 的度数为（　　） 图7 A. B. C. D. 9. 在 中，OA、OB、OC 都是半径。则下列结论一定成立的是（　　） A. 、 都是等腰三角形 B. AB = BC C. D. 一定是等边三角形 10. 下列结论中，错误的个数是（　　）①弦是直径；②半圆是弧；③等圆是能够重合的两个圆；④长度相等的弧是等弧。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 如图（或文字）：OA = OB 是 的半径，若 ，则       。 12. 与 是等圆， 的半径为 4 cm，则 的半径为      cm。 13. 在 中，OA = OB = 5，且 ，则 是      三角形（填“等腰”“等边”或“直角”）。 14. 圆是中心对称图形，它绕圆心 O 旋转      角度后都能与自身重合（填“任意”或“180°”）。 三、解答题（本大题共4小题，共58分） 15.（12分）如图，OA、OB 是 的两条半径，且 。 图8 （1）说明 是等腰三角形； （2）求 与 的度数。 16.（14分）如图，在 中，OA = OB = 6，。 图9 （1）判断 的形状； （2）求弦 AB 的长（要求写出推理与计算过程）。 17.（16分）如图，OA、OB、OC、OD 都是 的半径，，，。 图10 （1）求 的度数； （2）连接 AD，说明 是等腰三角形，并求 的度数； （3）若把条件中的 由 改为 ，其余不变，求此时 与 的度数。 18.（16分）如图， 与 是两个半径都为 5 的等圆，在 中 ，在 中 。 图11 （1）判断 与 是否全等，并说明理由； （2）求 的度数； （3）若把 中的 改为 ，其余不变，求 的度数，并说明此时 还是等腰三角形吗。 参考答案与评分标准（卷二） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（3分）C　【考点】半径相等得到等腰三角形。 【思路】圆的所有半径都相等，由 OA = OB 直接判断三角形形状。 【步骤】因为 OA、OB 都是 的半径，所以 OA = OB，即 有两条边相等，故 是等腰三角形。注意仅当顶角为 时才是等边，题中没有该条件，所以不选 D。故选 C。 【易错点】看到圆心和点就误以为是等边或直角，忽略“等腰”的判定只需要两边相等。 【变式拓展】若再补充 ，则 是等边三角形。 2.（3分）B　【考点】等腰三角形两底角相等与三角形内角和。 【思路】OA = OB 得 等腰，底角 = (180° − 顶角) ÷ 2。 【步骤】由 OA = OB 知 是等腰三角形，。又 ，所以 。故选 B。 【易错点】错用 ，把顶角当成了底角。 【变式拓展】若 ，则底角为 。 3.（3分）A　【考点】有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 【思路】先由 OA = OB 判断等腰，再结合顶角 得到等边，从而三边相等。 【步骤】因为 OA = OB，所以 是等腰三角形；又 ，故 是等边三角形，于是 AB = OA = 5。故选 A。 【易错点】误用余弦定理或记错特殊角，得到 等错误结果。 【变式拓展】若 ，则 AB = 。 4.（3分）B　【考点】等圆的定义。 【思路】等圆的核心是“半径相等”，与圆心位置、弦长无关。 【步骤】半径相等的两个圆叫做等圆，因此 与 等圆意味着它们的半径相等（都为 3 cm）。圆心可以不同，位置也可以不同，弦长更由两个圆各自的情形决定。故选 B。 【易错点】把“等圆”理解成“圆心相同”或“位置相同”。 【变式拓展】若两圆半径不等，即使圆心相同（同心圆），它们也不是等圆。 5.（3分）A　【考点】以圆心为顶点的角相加求度数。 【思路】 可看作 与 的和（B 在 A、C 之间）。 【步骤】由图，。故选 A。 【易错点】把 当成两角之差 ，位置判断错误导致选 B。 【变式拓展】若增加 ，则 。 6.（3分）B　【考点】弦长与半径的关系（直径是最长的弦）。 【思路】弦长不超过直径，列不等式求 的范围。 【步骤】 的直径为 。因为弦 AB = 8 不超过直径，所以 ，解得 。故选 B。 【易错点】漏掉“弦长可以等于直径”而写成 。 【变式拓展】若还要求 AB 不是直径，则需 。 7.（3分）C　【考点】半径、等圆、等弧、直径的概念辨析。 【思路】逐条判断真假。 【步骤】①对：同圆中所有半径都等于同一个 。②对：等圆半径相等。③错：等弧要求在同圆或等圆中能互相重合，仅长度相等不一定。④对：直径是过圆心的最长弦。所以正确的有 3 个。故选 C。 【易错点】把③判为正确，误以为“弧长相等 = 弧相等”。 【变式拓展】把③改为“在同圆中，长度相等的两条弧是等弧”，则③也正确。 8.（3分）A　【考点】等腰三角形底角计算。 【思路】OA = OB 得等腰，底角 = (180° − 100°) ÷ 2。 【步骤】由 OA = OB， 是等腰三角形，。故选 A。 【易错点】把顶角 直接平分得 而误选 B。 【变式拓展】若 ，则底角为 。 9.（3分）A　【考点】半径相等推出多个等腰三角形。 【思路】相邻两条半径构成等腰三角形，但弦长与角度需额外条件。 【步骤】因为 OA = OB，所以 是等腰三角形；同理 OB = OC， 也是等腰三角形，故 A 一定成立。B 错：弦 AB、BC 的长度取决于各自的圆心角，未必相等。C 错：没有条件说明两角相等。D 错： 的形状无依据。故选 A。 【易错点】由 OA = OB = OC 就认为 AB = BC = AC，忽略圆心角不一定相等。 【变式拓展】若再给定 ，则 AB = BC，且都等于半径。 10.（3分）B　【考点】弦、半圆、等圆、等弧的概念辨析。 【思路】逐条找错误。 【步骤】①错：弦的两个端点都在圆上，但不一定过圆心，所以弦不一定是直径。②对：半圆是弧的一种。③对：等圆即能完全重合的两个圆。④错：等弧要求在同圆或等圆中能重合，仅长度相等不够。错误的有 ①、④ 共 2 个。故选 B。 【易错点】把①判为正确（与“直径是弦”混淆）；或忽略④中“同圆或等圆”的前提。 【变式拓展】把④改为“在同圆中，长度相等的两条弧是等弧”，则④也正确。 二、填空题（每小题3分，共12分） 11.（3分）55　【考点】等腰三角形底角计算。 【思路】由 OA = OB 得等腰，再求底角。 【步骤】OA = OB，故 等腰，。 【易错点】直接用 ，混淆顶角与底角。 【变式拓展】若 ，则底角为 。 12.（3分）4　【考点】等圆的半径相等。 【思路】等圆半径相等，直接等量代换。 【步骤】 与 等圆，半径相等，故 半径为 4 cm。 【易错点】误以为等圆要求圆心相同而填“不确定”。 【变式拓展】若把 半径改为 6 cm，则两圆不再是等圆。 13.（3分）等边　【考点】等边三角形的判定。 【思路】等腰三角形 + 顶角 ⇒ 等边。 【步骤】OA = OB 得 等腰，又 ，所以 是等边三角形。 【易错点】只写“等腰”漏掉“等边”这一更强结论。 【变式拓展】若 ，则 是等腰直角三角形。 14.（3分）任意　【考点】圆的旋转不变性。 【思路】圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合。 【步骤】圆上每一点到圆心距离都等于半径，旋转任意角度后各点仍在原圆周上，故圆与自身重合，填“任意”。 【易错点】填“180°”，把圆与一般中心对称图形（如平行四边形）的旋转角混淆。 【变式拓展】圆也有无数条对称轴（过圆心的每条直线都是对称轴）。 三、解答题（共58分） 15.（12分）【考点】半径相等⇒等腰、等腰三角形底角。 【思路】先证两边相等，再用内角和求底角。 【步骤】（1）因为 OA、OB 都是 的半径，所以 OA = OB，即 有两边相等，故 是等腰三角形。（4分） （2）由（1）知 。又 ，所以 ，。（8分） 【易错点】第（1）问不说明“半径相等”就直接下结论；第（2）问把 当底角平分。 【变式拓展】若 ，则 ，此时 为等边三角形。 16.（14分）【考点】等腰直角三角形判定、勾股定理求弦长。 【思路】先判断形状，再在直角 中用勾股定理求 AB。 【步骤】（1）因为 OA = OB，所以 是等腰三角形；又 ，故 是等腰直角三角形。（4分） （2）在直角 中，由勾股定理得 ，（4分）所以 。（4分）答：弦 AB 的长为 。 【易错点】忘记开平方或把 不化简；也有同学误用 。 【变式拓展】若 OA = OB = ，，则 。 17.（16分）【考点】多半径角度求和、半径相等⇒等腰、推广代入。 【思路】把大角拆成若干小角之和；利用 OA = OD 判断等腰。 【步骤】（1）。（4分） （2）因为 OA、OD 都是 的半径，所以 OA = OD，故 是等腰三角形。（3分）。（3分） （3）改动后 ，（3分）此时 仍为等腰（OA = OD），。（3分） 【易错点】第（1）问把角度相减而非相加；第（2）问忘记 OA = OD 来自“都是半径”。 【变式拓展】当 时，A、O、D 三点共线，AD 为直径。 18.（16分）【考点】等圆中三角形的全等（SAS）、等腰求角、推广。 【思路】利用“等圆半径相等 + 顶角相等”用 SAS 证全等；再求底角。 【步骤】（1）全等。（2分）理由： 与 等圆，半径都为 5，故 ，；（2分）又 ，所以 （SAS）。（2分） （2）由全等及 等腰（）知 。（4分） （3）改动后 ，则 。（3分）此时仍有 ，所以 还是等腰三角形。（3分） 【易错点】第（1）问只说“等圆所以全等”而不写 SAS 的三组条件；第（3）问误以为角度变了等腰就不成立。 【变式拓展】若两圆半径不同（如一个为 5、一个为 6），即使顶角相等，两三角形也不全等。 附录：双向细目表（教师用） 题号 题型 分值 考查知识点 认知要求 难度 预计时间 1—10 选择题 30 半径相等推出等腰三角形；等腰（含等边）三角形的判定与底角计算；等圆的定义；两半径夹角的度数求和；弦长与半径的关系；半径、直径、等弧的概念辨析 理解 易 7 / 中 2 / 难 1 15 分钟 11—14 填空题 12 半径相等与角度计算；等圆的半径；等边三角形的判定；圆的旋转不变性 理解 易 3 / 中 1 / 难 0 10 分钟 15—18 解答题 58 半径相等 ⇒ 等腰的证明与角度计算；勾股定理求弦长；多半径角度求和与推广代入；等圆中三角形的全等（ SAS ）与角度计算 掌握 · 运用 · 创造 易 1 / 中 2 / 难 1 25—30 分钟 难度预估：易约70%，中约20%，难约10%，全卷难度系数约 0.72。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $