精品解析：河南南阳市十九中教育集团2026-2027学年上学期九年级数学10月素质作业

2026秋九年级数学10月素质作业 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：，被开方数是分数，不满足最简二次根式的被开方数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； B项：被开方数6是整数，且6不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，所以是最简二次根式，符合题意； C项：，被开方数32含有能开得尽方的因数16，不满足最简二次根式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； D项：被开方数是分数，不满足最简二次根式被开方数的因数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式的乘除运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，选项计算错误． 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x＞0且x≠2 D. x≥0且x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件，列出不等式组即可求出答案． 【详解】由题可知x满足： ， ∴ 且， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式和分式的定义，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件，注意：二次根式有意义的条件是，；分式有意义的条件是，． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 6. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） A. 两边同时除以得 B. 整理得，∵，，，，∴ C. 整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D. 移项并分解因式得，∴或，∴， 【答案】D 【解析】 【分析】移项提取公因式求解，避免直接除以含未知数的式子丢根． 【详解】解：A、未考虑的情况，故计算错误； B、不是，故计算错误； C、配方时，等式两边应该加，故计算错误； D、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴，，该解法与选项D完全一致，故计算正确． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得设他至少走x米，则较长线段长为， 则， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得，即， ∴或， ∴，． 12. 已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 【答案】 【解析】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方程． 【详解】解：设该一元二次方程为，方程的两个根为，， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴因此方程为． 13. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 14. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，则平行于墙的一边的长为_______m时，所围矩形猪舍的面积为 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用．设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为，则平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为，另外一边宽为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，． 答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． 故答案为：12． 15. “五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，取中点连接，利用直角三角形斜边中线定理及等腰三角形性质证得为“黄金三角形”；根据“黄金三角形”定义分点与重合、两种情况，结合等腰三角形判定与性质、相似三角形性质列方程求解． 【详解】解：在中，，， ， 取的中点，连接， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， 若是“黄金三角形”，分两种情况讨论： ①当点与点重合时，即为，符合题意， ； ②当为顶角时，即， ， ，， ，， ， 设，则， ，， ， ，即， 整理得，解得（负值舍去）， ； 综上所述，的长为或． 三、解答题（共9小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解:       【小问2详解】         17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，，， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得，． 18. 已知方程的一个根为2，求另一个根及的值． 【答案】方程的另一个根是，的值是或 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式，确定的取值范围，再根据方程的一个根为2，求出的值，代入的值，即可求解． 【详解】解：方程，则，，， ∵方程有两个根， ∴， ∴， ∴， ∵方程的一个根为2， ∴，则，， 当时，方程得，， ∴，； 当时，方程得，， ∴，， ∴的一个根为2，求另一个根是，的值是或． 故答案为：方程的另一个根是，的值是或． 【点睛】本题主要考查根的判别式，根据一个根求另有一个根，及参数的值，掌握本的判别式，解一元二次方程的方法，分类讨论的方法是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程恒有实数根； （2）若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 【答案】（1） 证明：根据题意可得： ， ∴无论m取何值，方程总有实数根． （2）三角形的周长为9 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）利用判别式求解即可； （2）把代入原方程求出m的值，进而解方程求出方程的两个角，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入，得， 解得 ∴原方程为， 解得， ∴此三角形的三边为：①4，4，1，此时三角形的周长为； ②1，1，4，此时三边不符合三角形三边关系，舍去． 综上所述，此三角形的周长为9． 20. 根据题目条件，解答下列各题 （1）法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么________，________． （2）已知方程的两根分别是，，那么________，________； （3）已知方程的两根分别是，，且，求的值； （4）已知、是方程的两个根，则________． 【答案】（1）， （2）6；0 （3） （4）2 【解析】 【分析】（1）根据求根公式表示出一元二次方程的两个实根，即可解答； （2）先把原方程化为一般式，再仿照题意求解即可； （3）先仿照题意得到，再根据求出的值即可得到答案； （4）先根据题意和一元二次方程解的定义得到，再根据所求可以变形为进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于有两个实根的一元二次方程， 由求根公式得， 那么，．​ 【小问2详解】 解：∵方程，即的两根分别是， ． 【小问3详解】 解：∵方程的两根分别是，， ， ， ， ． 【小问4详解】 解：∵、是方程的两个根， ， ， ． 21. 请阅读以下材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）如图，在中，，，，平分，则的周长是________． 【答案】（1）∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）过点作，交的延长线于点，得，，，进而得到，即得，再等量代换即可求证； （）利用勾股定理得，利用（）的结论得，进而可得，，再利用勾股定理得到，最后根据三角形的周长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 22. 规定：任意给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的，那么矩形A叫做“三倍矩形”（完成下列空格）． （1）已知矩形A的边长分别是11和1时，小宛同学是这样研究的：设矩形B的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得； ∵，________，________；所以满足要求的B存在，A是三倍矩形； （2）如果矩形A的边长分别是6和1，请你仿照小宛方法研究判断A是不是三倍矩形； （3）如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，A是三倍矩形？ （4）如果矩形A的边长分别是和，请你直接判断A是不是三倍矩形，________． 【答案】（1）； （2）A不是三倍矩形 （3）当时，A是三倍矩形 （4）A是三倍矩形 【解析】 【分析】（1）用一元二次方程求根公式求解方程即可； （2）先算出矩形A周长、面积，得到矩形B的周长、面积，列出方程组，转化为一元二次方程，用判别式判断即可； （3）设矩形 A 边长m，n，按定义列出方程组，转化一元二次方程，利用判别式得到m，n满足的条件； （4）代入（3）所得结论判断不等式是否成立即可判断A是不是三倍矩形． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：矩形A的边长分别是6和1， 设矩形B的两边分别是x，y， 由题意得方程组， 消去y化简得， ∴， ∴方程无实数根，不存在矩形B， ∴A不是三倍矩形． 【小问3详解】 解：矩形A的边长为m，n， 设矩形B的两边分别是x，y， 由题意得方程组， 消去y化简得， ∴， ∴， ∴当时，A是三倍矩形． 【小问4详解】 解：将和代入， ∴， 即，不等式成立， ∴A是三倍矩形． 23. “南阳是一个值得三顾的城市”，南阳武侯祠中存有岳飞手书的诸葛亮出师表石刻，武侯祠制作的文创产品“岳飞手书出师表”深受游客喜爱，某商店销售这种文创产品，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该产品销售量的月平均增长率； （2）若此产品的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该产品的售价应定为多少元/个？ （3）直接写出当售价为________元时，商店取得最大利润，最大利润是________元． 【答案】（1）该产品的月平均增长率为 （2）售价应定为元/个 （3）50；4000 【解析】 【分析】（1）列一元二次方程求解即可； （2）根据总利润单件利润销售量，设涨价金额为，列方程求解即可； （3）构建二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得， ， ， （舍），， 答：该产品的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价上涨元，则售价元，单件利润 元，销量个， 由题意得 解得，， 要尽可能给顾客实惠，涨价取小值 售价：（元） 答：售价应定为元/个． 【小问3详解】 解：设上涨元，利润为 当时， ，售价元， 答案：售价为50元，最大利润4000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋九年级数学10月素质作业 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x＞0且x≠2 D. x≥0且x≠2 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 6. 如图，，若，则的长度是（ ） A. 6 B. C. D. 7. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） A. 两边同时除以得 B. 整理得，∵，，，，∴ C. 整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D. 移项并分解因式得，∴或，∴， 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根为______． 12. 已知一个关于x的一元二次方程的两个根分别是和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：__________（写方程的一般形式）． 13. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 14. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，则平行于墙的一边的长为_______m时，所围矩形猪舍的面积为 15. “五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 三、解答题（共9小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 18. 已知方程的一个根为2，求另一个根及的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程恒有实数根； （2）若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长． 20. 根据题目条件，解答下列各题 （1）法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么________，________． （2）已知方程的两根分别是，，那么________，________； （3）已知方程的两根分别是，，且，求的值； （4）已知、是方程的两个根，则________． 21. 请阅读以下材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （2）如图，在中，，，，平分，则的周长是________． 22. 规定：任意给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的，那么矩形A叫做“三倍矩形”（完成下列空格）． （1）已知矩形A的边长分别是11和1时，小宛同学是这样研究的：设矩形B的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得； ∵，________，________；所以满足要求的B存在，A是三倍矩形； （2）如果矩形A的边长分别是6和1，请你仿照小宛方法研究判断A是不是三倍矩形； （3）如果矩形A的边长为m，n，请你研究满足什么条件时，A是三倍矩形？ （4）如果矩形A的边长分别是和，请你直接判断A是不是三倍矩形，________． 23. “南阳是一个值得三顾的城市”，南阳武侯祠中存有岳飞手书的诸葛亮出师表石刻，武侯祠制作的文创产品“岳飞手书出师表”深受游客喜爱，某商店销售这种文创产品，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该产品销售量的月平均增长率； （2）若此产品的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该产品的售价应定为多少元/个？ （3）直接写出当售价为________元时，商店取得最大利润，最大利润是________元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $