四川省射洪中学校2027届高三上学期第一次模拟数学试题

高2024级高三上期第一学模拟试数学试题答案 一、单选题： 1．A；2．C；3．B；4．A；5．B；6．A；7．B；8．C 二、多选题： 9．ABD；10．BD；11．ABC 三、填空题： 12．160；13．8；14．， 四、解答题： 15．（1） …………………………………………………………………3分 因为，所以． 令，解得，所以在上的单调递减区间为．………6分 （2）因为，又，所以．…8分 若，则，与矛盾，所以，故．…10分 所以．……………………………13分 16．（1）定义域为，，令， 解得或，……………………………………………………………………………………………1分 ①当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增；…………………………………………………………3分 ②当时，则，在上单调递增；……………………………………………5分 ③当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增；……………………………………………………………7分 综上，当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在R上单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减．……………………8分 （2）由（1）知时，在和单调递增，在单调递减，所以为的极小值点，此时的极小值为，所以，解得；…………10分 时，在上单调递增，显然无极值点，不合题意；…………………………………………12分 时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意；……………………14分 综上，，即的取值范围是．…………………………………………………………………15分 17．（1）因为，所以．在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故．………………………………………………6分 （2）因为点是边的中点，由向量中线公式：，………………………………7分 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：，则，………………9分 故．所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则．………………………………10分 又， 则 ．……………………………………………………………13分 由，得，故， 所以，，故的长的取值范围为．…………………15分 18．（1）表示结束练习时投篮的总次数为4， 表明第4次投中且前3次中有2次投中，所以．……………5分 （2）①．…………………………………………6分 所以．………………………………8分 令，解得；令，解得；令，解得． 所以 所以，当或7时，最大．…………………………………………………………………11分 ②， 则，，…………………………………………………………………13分 设，，则 令，得；，得．所以在上递增，在上递减，………………………………………………………………………………………………………………15分 所以，的极大值点为．………………………………………………………………………………17分 19．（1）当时，，故，故，而， 故曲线在处的切线方程为，整理得．………………………………………………………………………………………3分 （2）略．…………………………………………………………………………………………………………8分 （3）方程解即为解，令， ①若，当时，，时，， 此时， 当时，，而，故， 当，，则，故在上单调递减， ，，故存在，使得 当时，即，当时，即， 故在上单调递增，在上单调递减，， 将代入消去得：， 令，得，，在单调递增， ，使得，在单调递减，在单调递增， 又时，，时，，且， ，即，此时，即 ∴ 时， 有两解；时，有一解； 时，无解……………………………………………………………………………12分 ②当时，因为当时，，故， 故仅在上讨论方程实数解， 注意到当时，，时，， ， 令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，， （i）当，即时，，故， 故在上单调递减，所以在上存在唯一零点；……………………………………13分 （ii）当，即时，存在，，使得， 当或时，，，故在，上单调递减， 当时，，，故在上单调递增， 因为，即，， 所以， 同理，令，， 则，故在上单调递增， 注意到，，所以，， 从而当时，有三解；当时，有一解………………17分 综上：当时，有三解；当时，有一解；当时，有两解；当时，有一解；当时，无解； 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高三上期第一次模拟 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设向量 ，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A． B． C． D． 5．甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球．先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球． 则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A． B． C．1 D．2 7．某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为．若有的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 5.024 6.635 7879 10.828 A．12人 B．18人 C．24人 D．30人 8．已知的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全得2分，选错得0分． 9．关于平面向量，，下列命题错误的有（ ） A．若，则存在，使得 B．若是等边三角形，则，的夹角为 C． D．若，则与的夹角是钝角 10．某果园收获苹果的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，且，．从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则 （ ） A． B． C． D． 11．已知，，，满足，则，，的大小关系可能是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，含项的系数是            ． 13．已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为            ． 14．已知函数，若，则的单增区间是            ；若有两个零点，则的取值范围是            ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知函数． （1）求在区间上的单调递减区间； （2）若，求的值． 16．（本题满分15分） 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17．（本题满分15分） 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18．（本题满分17分） 某同学进行连续投篮练习，累计投中3次后结束练习．设该同学每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．记结束练习时投篮的总次数为． （1）求； （2）已知，． ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点． 19．（本题满分17分） 设，，函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若方程有两个实数根，，且，证明：； （3）讨论方程解的个数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $