河南周口市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试卷（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在三棱柱中，D是的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．若空间的单位基底满足，则（ ） A． B． C． D． 5．在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A． B． C． D． 7．已知的顶点为，，，则垂心的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A．所有直线都可以用方程表示 B．过点，的直线的两点式方程为 C．所有过点的直线都可以用方程表示 D．在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 10．已知空间向量，，满足，，，则（ ） A． B． C． D．的最小值为 11．如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A．平面平面 B．不存在点，，使得 C．点的运动轨迹长度为1 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线过定点，则点的坐标为__________． 13．一条光线从点射出，经平面反射后到达点被吸收，则该光线从点到点走过的路程为__________． 14．在四棱台中，平面，四边形为正方形，，为棱的中点，点在侧面内．若，则面积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 16．（15分） 在正方体中，，为的中点，为的中点．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）请直接写出点，，，的坐标； （2）若，分别为，上的点，且，，三点共线，求点，的坐标； （3）设，若，，，四点共面，求的值． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． （1）证明:． （2）证明：平面． 18．（17分） 如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． （1）若平面平面，证明：． （2）已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 定义：在四面体中，若过顶点的直线与棱，，所成的角均相等，则称为顶点处的等角轴．已知在四面体中，底面，，，顶点，，，处的等角轴交于一点，过点作，，，，，，垂足分别为，，，，，，如图所示． （1）求的长． （2）求点到平面的距离． （3）试问在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 高二数学试卷（一）参考答案 1．B 直线l的斜率． 2．B 所求距离． 3．D 如图，连接AD，则． 4．D ． 5．A 根据题意可得当时，不符合题意，所以，则，，．因为，所以，解得． 6．C 过点B作，垂足为H（图略）。因为平面α，所以，又，所以BH⊥平面ACD，故AB在平面ACD内的投影向量为 7．B 因为直线AB的斜率为，所以边AB上的高所在直线的方程为，即．因为直线AC的斜率为，所以边AC上的高所在直线的方程为，即．由解得故垂心的坐标为． 8．D 根据题意可得直线与的图象有两个交点。作出的图象，如图所示。由得，由，解得，此时．因为，所以当直线经过点时，斜率为．故由图可得k的取值范围是． 9．AB 所有直线都可以用方程表示，A正确。 过点，的直线的两点式方程为，B正确． 直线经过点，但不可以用方程表示，C错误． 在两坐标轴上的截距均为0的直线不能用方程表示，D错误。 10．BCD 根据题意可得，所以，即，解得。因为，所以，A错误。，B正确。，C正确。，当且仅当时，等号成立，D正确。 11．ACD 因为为直径，所以。因为半圆面平面，半圆面平面，，平面，所以半圆面。又半圆面，所以。因为，所以平面。又平面，所以平面平面，A正确． 取CD的中点P，连接OP，MO，取半圆弧的中点K，连接OK．2个K以O为坐标原点，OP，OF，OK所在直线分别为x，y，z轴建M立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．设，则．设则，所以．由，得．由，得，所以，所以，解得，B错误。 由，得，所以因为， 所以令，，则所以，，所以．又，所以点H的运动轨迹长度为2，C正确。 连接HO，则，当时，取得最小值，最小值为，D正确。 12． 由，得，所以解得即． 13．2 点关于平面Oyz对称的点为，则所求路程为． 14． 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设，，则．因为，所以，由，，得，所以，，当时，等号成立，取得最小值。因为平面，所以，则面积的最小值为． 15．解：（1）因为， 所以直线AB的方程为， 即． （2）若A，B，C三点共线，则点C在直线AB上， 所以点C的坐标满足方程，则． （3）线段AB的中点为． 若，则，则， 所以AB边上的中线所在直线的方程为， 即． 【注】第（2）问还可以这样解答： 若A，B，C三点共线，则， 所以， 解得． 16．解：（1）由题意可得，，，． （2）设，，其中，。 因为，，三点共线，所以存在，使得， 即， 所以解得 所以，． （3）因为，，，四点共面，所以存在，，使得， 即， 所以解得 故． 17．证明：（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，且与不在同一条直线上，则． （2）由（1）可得，，则，． 设平面的法向量为，则令，则． 因为，所以，故平面． 18．（1）证明：过点作，垂足为。 因为，，所以，． 因为平面平面，平面平面，，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，， 所以，． 因为，所以，即． （2）解：（ⅰ）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图2所示的空间直角坐标系． 过点作，垂足为．根据题意可得，则，，，，，所以，． 设异面直线DC与HM所成的角为， 则， 所以， 则，即异面直线DC与HM所成角的正切值为． （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面HCD的法向量为， 则令，则． 设与平面所成的角为， 则． 故与平面所成角的正弦值为． 19．解：（1）因为底面，底面，底面， 所以，，则． 由题意得在，上投影向量的模相等，即可设，则，， 同理可得，， 所以，解得，即． （2）取的中点，连接．以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示．由题意得，，，，，，，．设，，则． 由，得， 解得，所以 则，，，。 由，得， 解得，所以，． 设平面的法向量为，则 令，则． 连接．因为，所以点到平面的距离为． （3）假设在线段上存在符合题意的点。 设，，则． 设平面的法向量为，则 令，则． 设平面与平面的夹角为， 则， 即，解得或（舍去）， 所以在BC上存在符合题意的点K，且． 学科网（北京）股份有限公司 $