专题08 随机事件的概率（3大考点）（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦概率三大核心考点，汇编湖南多地期中真题，情境融合劳动教育（炒菜菜品数据）、传统文化（二十四节气）、科技前沿（人工智能）等现实主题，强化数据分析与概率应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4题|中位数、众数、样本概念|结合体育锻炼调查考统计基础| |填空题|4题|概率计算、频率估计概率|以布丰投针实验考频率稳定值| |解答题|7题|列举法求概率、统计图表分析|湘超联赛调查综合考列表法求概率|

专题08 随机事件的概率（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 考点01 概率 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是（     ） A. 3，4 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（     ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 4．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是(　　) A. 12岁 B. 13岁 C. 14岁 D. 15岁 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）从2，0，2，5，中随机地选一个数，则选到奇数的概率是　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）王老师随机抽取了我校九年级部分学生，针对他们晚上在家学习时间的情况进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图和扇形统计图； （2）所抽取的九年级学生晚上学习时间的众数是　　小时，中位数是　　小时． （3）若我校共有1200名九年级学生，则晚上学习时间超过1.5小时的约有多少名学生？ 7．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 （1）填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； （2）校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） （3）校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 考点02 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是　　　　　　． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）湖南湘超（湖南省足球联赛）于2025年9月7日在长沙贺龙体育场开幕，共有14支队伍参赛．足球赛期间，某媒体对球迷进行了调查，结果分为四个类别：A．现场观赛，B．电视转播，C．网络直播，D．不观看． 根据调查数据，绘制了如下统计表： 类别 人数 A 20 B 70 C 90 D a （1）调查的总人数为            ，D类对应的圆心角度数是                  ； （2）若该市共有球迷15000人，估计选择电视转播和网络直播的球迷总人数； （3）已知甲、乙、丙、丁四人是选择现场观赛的球迷，现从四人中随机选取2人接受采访，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （4）在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： （1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值； （2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； （3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 考点03 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有　　　　　　． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据： 投掷次数 100 500 1000 5000 10000 相交次数 28 138 273 1354 2698 相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为　　　　　．（精确到0.01） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 随机事件的概率（3大考点） 考点01 概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 考点01 概率 1．D 2．C 3．D 4．C 5．【答案】 【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率，奇数与偶数的认识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 从数字2，0，2，5，中随机选一个数，总共有5个数，其中奇数为5和，共2个，因此选到奇数的概率为奇数个数与总个数的比值． 【详解】 解：数字2，0，2，5，中，2和0是偶数，5和是奇数，故奇数有2个．总数字个数为5，所以概率为． 故答案为． 6．【答案】（1）补全条形统计图和扇形统计图如下： （2）2，2；（3）900人 【分析】 （1）先由1小时的人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以2.5小时对应百分比求得其人数，用2小时人数除以总人数可得其百分比； （2）直接利用众数以及中位数的定义得出答案； （3）总人数乘以样本中2小时和2.5小时人数所占百分比之和可得． 【详解】 解：（1）被调查的学生总人数为2÷5%=40人， ∴2.5小时的人数为40×30%=12人，2小时人数所占百分比为×100%=45%， （2）数据2小时出现了18次，出现次数最多，所以众数是2小时； 这组数据总数为40，所以中位数是第20、21位数的平均数，即（2+2）÷2=2小时； 故答案为：2，2； （3）1200×（45%+30%）=900（名）， 即晚上学习时间超过1.5小时的约有900名学生． 【点睛】 本题考查了众数、中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 7．【答案】（1），，， 补充完整的频数分布直方图如图，      （2）需要安排个补测的考室；     （3）全校获得二等奖的学生人数为人．      【分析】 本题主要考查了频数分布表以及利用样本估计总体，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量、频数、频率之间的关系． （）根据频数、频率、样本容量之间的关系，求出样本容量，进而求出的值；根据各组的频数进行计算然后补全即可； （）先求出全校位于分数段的同学人数，进一步即可求出答案； （）求出样本中“二等奖”的人数，再乘以其所占百分比求解即可． (1) 小问详解： 解：；，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：全校位于分数段的同学有：（个）， ∴校团委需安排补考的考室为：（个）， 答：需要安排个补测的考室； (3) 小问详解： 解：（人）， 答：全校获得二等奖的学生人数为人． 考点02 用列举法求概率 1．【答案】 【分析】 本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】 解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 2．【答案】（1）50名， 补充条形统计图如图所示．      （2）144°     （3）      【分析】 本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点． （1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出数据； （2）利用占比即可求出部分圆心角度数； （3）画出树状图，利用树状图求解即可． (1) 小问详解： 解：（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） (2) 小问详解： 解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是144°． (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 3．【答案】（1）200，144     （2） 补全条形图如图：      （3）      【分析】 本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（人）； ； 故答案为：200，144； (2) 小问详解： 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 (3) 小问详解： 由题意，列表如下： 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 4．【答案】（1）200，     （2）人     （3）      【分析】 本题考查了统计表，扇形统计图，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，求出D类的人数所占百分比乘以即可得解； （2）用乘以选择电视转播和网络直播的球迷的总人数所占的比例即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：调查的总人数为（人）， D类对应的圆心角度数是； (2) 小问详解： 解：（人）， 故估计选择电视转播和网络直播的球迷总人数为人； (3) 小问详解： 解：列表可得： 共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙的情况有种， 故恰好选中甲和乙的概率为． 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 5．【答案】（1）50     （2） 补全条形统计图如图      （3）     （4）      【分析】 本题考查条形图与扇形统计图，圆心角，画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）用A的人数除以A的百分比，即可解答； （2）求出C的人数，即可补全条形图； （3）求出C所占总数的百分比，再乘以即可； （4）画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中一男一女的情况有8种，即可解答． (1) 小问详解： 解：（人）． 故答案为：50． (2) 小问详解： （人）， ∴等级C有8人； (3) 小问详解： ． 答：扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角为． (4) 小问详解： 画树状图，如图 共有12种等可能结果，其中一男一女的情况有8种， ∴所选2名学生恰好是1男1女的概率为． 6．【答案】（1）200人，，     （2）720人     （3）不公平， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平．      【分析】 本题考查了统计中的百分比应用，用样本估计总体及概率的计算与游戏公平性判断． （1）先根据A等级的人数和百分比求出总人数，再利用总人数分别计算C等级的人数m和D等级的百分比n的值； （2）先确定“良好及以上”在样本中的比例，再用全校总人数乘以该比例得到估计人数； （3）通过画树状图法分析两人摸球的所有可能结果，计算数字和为奇数的概率和数字和为偶数的概率，若两概率相等则公平，否则不公平． (1) 小问详解： 解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，． (2) 小问详解： 解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人． (3) 小问详解： 略 考点03 用频率估计概率 1．【答案】 【分析】 利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可． 【详解】 解：设袋子中白球有个， 根据题意，得： ， 解得：， 则， 即布袋中白球可能有个， 故答案为． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．【答案】0.27 【分析】 本题考查了由频率估计概率，根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由实验数据可知，随着投掷次数的增加，小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近， 因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27， 故答案为：0.27． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 随机事件的概率（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 考点01 概率 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是（     ） A. 3，4 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 【答案】D 【分析】 本题主要考查众数、中位数的概念，中位数：先将一列数排序，取中间的数．若这列数的个数是偶数，则取中间两个数和的一半，若这列数的个数是奇数，则中间的数就是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．根据众数、中位数的概念解答即可． 【详解】 解：这7个数据中出现次数最多的数据是5， 这组数据的众数是5． 数据排序为：3，3，4，5， 5，5， 6， ∴这组数据位于中间的数据为5， 这组数据的中位数为5． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】 解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ， 故选：C 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）中学生培养“强健的体魄、良好的运动习惯和坚韧的意志品质”，才能为学习和生活打下坚实基础．某校为了解初三年级700名学生的每周体育锻炼情况，随机抽取了100名学生的每周体育锻炼时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（     ） A. 700名学生是总体 B. 样本容量是700 C. 此调查为全面调查 D. 100名学生的每周体育锻炼时间是样本 【答案】D 【分析】 本题考查统计学中的基本概念，包括总体、样本、样本容量和调查方式．正确理解总体、样本、样本容量和调查方式的定义是解题关键．注意总体和样本的研究对象是数据（如锻炼时间），而不是个体本身．根据题干描述判断各选项的正误． 【详解】 解：∵ 总体是所研究的全体对象，这里研究的是700名学生的每周体育锻炼时间，因此总体是700名学生的每周体育锻炼时间，而不是700名学生本身，故A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，本题中样本是100名学生的每周体育锻炼时间，因此样本容量是100，故B错误； ∵ 全面调查是对总体中每一个个体都进行调查，本题只抽取了100名学生，因此是抽样调查，不是全面调查，故C错误； ∵ 样本是从总体中抽取的一部分个体，本题中抽取了100名学生的每周体育锻炼时间，因此这些时间数据是样本，故D正确． 故选：D． 4．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是(　　) A. 12岁 B. 13岁 C. 14岁 D. 15岁 【答案】C 【详解】解：40个数据最中间的两个数为第20个数和第21个数，而第20个数和第21个数都是14（岁），所以这40名学生年龄的中位数是14岁．故选C． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）从2，0，2，5，中随机地选一个数，则选到奇数的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率，奇数与偶数的认识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 从数字2，0，2，5，中随机选一个数，总共有5个数，其中奇数为5和，共2个，因此选到奇数的概率为奇数个数与总个数的比值． 【详解】 解：数字2，0，2，5，中，2和0是偶数，5和是奇数，故奇数有2个．总数字个数为5，所以概率为． 故答案为． 6．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）王老师随机抽取了我校九年级部分学生，针对他们晚上在家学习时间的情况进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图和扇形统计图； （2）所抽取的九年级学生晚上学习时间的众数是　　小时，中位数是　　小时． （3）若我校共有1200名九年级学生，则晚上学习时间超过1.5小时的约有多少名学生？ 【答案】（1）补全条形统计图和扇形统计图如下： （2）2，2；（3）900人 【分析】 （1）先由1小时的人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以2.5小时对应百分比求得其人数，用2小时人数除以总人数可得其百分比； （2）直接利用众数以及中位数的定义得出答案； （3）总人数乘以样本中2小时和2.5小时人数所占百分比之和可得． 【详解】 解：（1）被调查的学生总人数为2÷5%=40人， ∴2.5小时的人数为40×30%=12人，2小时人数所占百分比为×100%=45%， （2）数据2小时出现了18次，出现次数最多，所以众数是2小时； 这组数据总数为40，所以中位数是第20、21位数的平均数，即（2+2）÷2=2小时； 故答案为：2，2； （3）1200×（45%+30%）=900（名）， 即晚上学习时间超过1.5小时的约有900名学生． 【点睛】 本题考查了众数、中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 7．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 （1）填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； （2）校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） （3）校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 【答案】（1），，， 补充完整的频数分布直方图如图，      （2）需要安排个补测的考室；     （3）全校获得二等奖的学生人数为人．      【分析】 本题主要考查了频数分布表以及利用样本估计总体，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量、频数、频率之间的关系． （）根据频数、频率、样本容量之间的关系，求出样本容量，进而求出的值；根据各组的频数进行计算然后补全即可； （）先求出全校位于分数段的同学人数，进一步即可求出答案； （）求出样本中“二等奖”的人数，再乘以其所占百分比求解即可． (1) 小问详解： 解：；，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：全校位于分数段的同学有：（个）， ∴校团委需安排补考的考室为：（个）， 答：需要安排个补测的考室； (3) 小问详解： 解：（人）， 答：全校获得二等奖的学生人数为人． 考点02 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】 解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题． （1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？ （3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50名， 补充条形统计图如图所示．      （2）144°     （3）      【分析】 本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点． （1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出数据； （2）利用占比即可求出部分圆心角度数； （3）画出树状图，利用树状图求解即可． (1) 小问详解： 解：（名） 答：此次调查一共抽取了50名学生． （名） (2) 小问详解： 解： 答：扇形统计图中部分的圆心角是144°． (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是． 3．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【答案】（1）200，144     （2） 补全条形图如图：      （3）      【分析】 本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（人）； ； 故答案为：200，144； (2) 小问详解： 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 (3) 小问详解： 由题意，列表如下： 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 4．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）湖南湘超（湖南省足球联赛）于2025年9月7日在长沙贺龙体育场开幕，共有14支队伍参赛．足球赛期间，某媒体对球迷进行了调查，结果分为四个类别：A．现场观赛，B．电视转播，C．网络直播，D．不观看． 根据调查数据，绘制了如下统计表： 类别 人数 A 20 B 70 C 90 D a （1）调查的总人数为            ，D类对应的圆心角度数是                  ； （2）若该市共有球迷15000人，估计选择电视转播和网络直播的球迷总人数； （3）已知甲、乙、丙、丁四人是选择现场观赛的球迷，现从四人中随机选取2人接受采访，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）200，     （2）人     （3）      【分析】 本题考查了统计表，扇形统计图，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，求出D类的人数所占百分比乘以即可得解； （2）用乘以选择电视转播和网络直播的球迷的总人数所占的比例即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：调查的总人数为（人）， D类对应的圆心角度数是； (2) 小问详解： 解：（人）， 故估计选择电视转播和网络直播的球迷总人数为人； (3) 小问详解： 解：列表可得： 共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙的情况有种， 故恰好选中甲和乙的概率为． 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （4）在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）50     （2） 补全条形统计图如图      （3）     （4）      【分析】 本题考查条形图与扇形统计图，圆心角，画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）用A的人数除以A的百分比，即可解答； （2）求出C的人数，即可补全条形图； （3）求出C所占总数的百分比，再乘以即可； （4）画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中一男一女的情况有8种，即可解答． (1) 小问详解： 解：（人）． 故答案为：50． (2) 小问详解： （人）， ∴等级C有8人； (3) 小问详解： ． 答：扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角为． (4) 小问详解： 画树状图，如图 共有12种等可能结果，其中一男一女的情况有8种， ∴所选2名学生恰好是1男1女的概率为． 6．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： （1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值； （2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； （3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）200人，，     （2）720人     （3）不公平， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平．      【分析】 本题考查了统计中的百分比应用，用样本估计总体及概率的计算与游戏公平性判断． （1）先根据A等级的人数和百分比求出总人数，再利用总人数分别计算C等级的人数m和D等级的百分比n的值； （2）先确定“良好及以上”在样本中的比例，再用全校总人数乘以该比例得到估计人数； （3）通过画树状图法分析两人摸球的所有可能结果，计算数字和为奇数的概率和数字和为偶数的概率，若两概率相等则公平，否则不公平． (1) 小问详解： 解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，． (2) 小问详解： 解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人． (3) 小问详解： 略 考点03 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可． 【详解】 解：设袋子中白球有个， 根据题意，得： ， 解得：， 则， 即布袋中白球可能有个， 故答案为． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据： 投掷次数 100 500 1000 5000 10000 相交次数 28 138 273 1354 2698 相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698 据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为　　　　　．（精确到0.01） 【答案】0.27 【分析】 本题考查了由频率估计概率，根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由实验数据可知，随着投掷次数的增加，小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近， 因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27， 故答案为：0.27． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $