专题06 相似（6大考点）（期中真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期

**基本信息** 专题06相似期中试题汇编，覆盖图形相似、平行线分线段成比例等6大考点，精选湖南多地期中真题，基础题与综合题结合，突出黄金分割、测量应用等实用情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|6大考点全覆盖|基础题考查比例线段、相似判定；结合黄金分割（如第7题）、文化素材（《周髀算经》测高）| |解答题|约15题|相似性质应用、动态几何|综合题涉及相似与四边形、函数结合（如动点问题），注重推理与实际应用|

专题06 相似（6大考点） 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（     ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 2．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）下列说法不一定正确的是                    （     ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 有一个角是的等腰三角形相似 C. 所有的正方形都相似 D. 所有的矩形都相似 3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）已知，那么的值是（       ） A.  B.  C. 1 D.  4．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 5．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（            ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 7．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（       ） A. －4 B. 9－ C. －3或9－ D. －4或12－ 9．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）漳浦一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，C为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（     ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 11．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4、2、1、3 B. 1、2、3、5 C. 3、4、5、6 D. 1、2、2、4 13．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如果，那么　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）在比例尺为的地图上，相距的A，B两地的实际距离是　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段　　　　　　　　　　 16．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知，则　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）若线段a，b，c，d成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是　　　　　cm． 18．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 　　　　　　 19．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如果，那么　　　　　． 20．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）若四条线段成比例，且，则线段d的长为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）已知，则 　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·湖南常德·期中）已知，的值为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·湖南常德·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为　　　　　　　　　　．（结果保留根号） 24．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）已知，则　　　　　　． 25．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）若，则　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）若，则　　　　　　． 27．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）若，则　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）已知，且，求的值． 29．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知： （1）求k的值； （2）则直线一定经过第_____． 30．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知，若，则　　　　　　 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线分别交直线a，b，c于点D，E，F，下列比例式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，，若，，，则的长度是（       ） A. 14 B. 6 C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，，，，，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，直线abc，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为(       ) A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 6．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，， ，，那么=　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，已知，直线与直线分别交，，于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，中，点D在线段上，连接，要使与相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）下列各组图形不一定相似的是（       ） A. 两个等腰直角三角形 B. 有一个角是的两个等腰三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 有一个角是的两个直角三角形 5．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）在中，D、E分别在的边、上，不能判定的是（　     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（       ） A. cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）下列语句叙述正确的是（       ） A. 有一个角是的等腰三角形都相似 B. 有一个角是的直角三角形都相似 C. 有一个角是的锐角三角形都相似 D. 有一个角是的钝角三角形都相似 10．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（     ） A.  B.  C.  D. ． 11．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，点E在边上，与交于点O，，则与的面积之比为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点，在反比例函数的图象上，则的面积等于（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 13．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，在▱ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（       ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 36 15．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，在中， ， ，则的长为（            ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 16．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，D、E分别在的边上，要使，不能添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点，作直线分别交，于点D，E，连接．若，，则下列结论错误的是（          ） A. 的周长是8 B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，点A在线段上，在的同侧作和，，连接与分别相交于点F，G，与相交于点H，连接．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（       ） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①④⑤ D. ①③④ 19．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（     ）； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 20．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交AC于点，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图所示，小明在地面上放置一个平面镜C，选择合适的位置，刚好在平面镜C中看到旗杆的顶部D，此时小明与平面镜C的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离AB为1.6m，已知，B、C、E在一条直线上，试求旗杆DE的高度．（平面镜的大小忽略不计） 23．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 24．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，，，则　　　　　． 26．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，中，是斜边上的高，． （1）求证； （2）求的长． 27．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，相交于点O，已知，，求证：． 28．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为　　　　　　　　米． 29．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，． （1）证明：； （2）求的长． 30．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在中，E、F分别是边上的动点，且． （1）求证：； （2）当，若，请求出． 31．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 32．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，点E是正方形的边上中点，连接，过点D作，则的值为　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，在中，，，点P从点B开始沿边向点A以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点C以每秒的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过　　　　　秒钟与相似？ 34．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，在中，，分别是，上一点，且．若，，，求的长． 35．（25-26学年九上·湖南常德·期中）（多选）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 36．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，FD的长是　　　　　　． 38．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 39．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    （1）若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； （2）在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ （3）当x为何值时，的面积为平方单位？ 40．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：， （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 41．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章“天时类”中，收录了四个有关测量降水量的例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中的“峻积验雪”，就是根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在中，，，，，，过点作交的延长线于点，过点作交于点，那么　　　　　． 42．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．       （1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点，求的长； （3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 43．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）（多选）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG. (1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°. (2)证明：△AFC∽△AGD； (3)若＝，请求出的值. 44．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，四边形是正方形，连接，点E是上一点，连接交于点F，连接，过点D作于点G，连接． （1）若，则的值为　　　　　　； （2）若，则的值为　　　　　　． 45．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，其中，，绕着点A逆时针旋转得到，连接，，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，，，与相交于点F，点D在线段上运动，若，，求的值； 【拓展深究】 （3）如图3，四边形为正方形，连接，，点E是上一点，连接，点B绕E点顺时针旋转得到点F，连接，，取的中点G，连接，在上取点H，使，过点H作交于点I，试求线段与的位置关系与数量关系． 46．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图1，在中，，，点D、E分别是边、的中点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为，、所在直线相交所成的锐角为． （1）问题发现：当时，_________；_________． （2）拓展探究：试判断当时，和的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在旋转过程中，当时，直接写出此时的面积． 47．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）综合与探究 如图，在中，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结，，两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为． （1）求的长； （2）当的面积为时，求此时的值； （3）当是等腰三角形时，请求出的值． 48．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在矩形中，为中点，连接交于点F，连，下列结论：    ①；②；③；④．其中正确的是（填写序号）　　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，矩形中，E、F分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为G，交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． 50．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 51．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 52．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：； ②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 53．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： （1）【问题背景】如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则______； （2）【特例探究】如图，连接，当点恰好落在上时，求证：； （3）【深入探究】如图，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请求出与之间的数量关系式； （4）【拓展探究】如图，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请求出的长． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，△∽△，若，，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 5．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过　　　　　　　　　　秒后，与相似． 6．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，，已知． （1）若，求的长； （2）若，求． 7．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，，，点B是线段上的一点，且．    （1）证明：； （2）若，，．求线段的长． 8．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，若，且，，．则　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 10．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当　　　　　　　　　秒时，与相似． 11．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用秒表示时间． （1）当　　　　　　　　　　时，的面积是； （2）当　　　　　　　　　　时，以、、为顶点的三角形与相似． 12．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示：   ，   ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 13．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； （3）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 14．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： ①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”． 如图，与互为“旋转位似图形” ②若，，，则的度数为________； ③若，，，则的长度为________； （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为　　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸） 4．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． （1）以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； （2）若，求的度数． 6．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为　　　　　米． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）小明的身高为1.7米，某一时刻小明的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为7米，则这棵树的高为　　　米． 8．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 10．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，正方形的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接且满足，线段的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C. 或 D.  2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点的对应点分别是点），且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 5．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限作一个与位似，相似比为； （2）在（1）的条件下，在内有一点，则内与点对应的点的坐标为__________． 6．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； （2）求的面积． 8．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到，在网格中画出（、、分别是A，B，C的对应点）； （2）以O为位似中心，将放大2倍，得到，在网格中画出（，，分别是A，B，C的对应点）． 10．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，． （1）画出关于轴对称的； （2）在网格内画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为，并写出的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似（6大考点） 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（     ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【分析】 本题考查成比例线段，根据四条线段成比例的性质，可得比例式，代入已知数据求解即可． 【详解】 解：∵ a、b、c、d 成比例， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）下列说法不一定正确的是                    （     ） A. 所有的等边三角形都相似 B. 有一个角是的等腰三角形相似 C. 所有的正方形都相似 D. 所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】 本题考查的是相似形的识别，把形状相同的图形叫做相似图形．根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【详解】 解：A、所有的等边三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； B、有一个角是的等腰三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； C、所有的正方形，形状相同，符合相似性的定义，故正确； D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误． 故选D． 3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）已知，那么的值是（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质．根据已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求表达式直接计算，即可作答． 【详解】 ∵ ， ∴设， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】 解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 5．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等求出的度数，四边形的内角和等于计算即可． 【详解】 解：如图所示，两个四边形相似， ， 四边形的内角和等于， ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 【答案】B 【详解】 A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误； B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确； C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误； D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误． 故选：B． 7．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的．根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度进而求出结论． 【详解】 解：由于P为线段的黄金分割点，且， 则， ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（       ） A. －4 B. 9－ C. －3或9－ D. －4或12－ 【答案】D 【分析】 根据黄金分段的定义可知，叫做黄金数，当时，；当时，即，进行计算即可得． 【详解】 解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8， 当时， ， ； 当时，， 即， ， 综上，AC的长为或， 故选D． 【点睛】 本题考查了黄金分割，解题的关键是要不重不漏，分情况讨论AC和BC之间的长度关系． 9．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）漳浦一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，C为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割的概念以及近似数，熟记黄金分割的比值是解题的关键．根据黄金分割的概念得到，代入数值进行计算即可． 【详解】 解：∵C为舞台的一个黄金分割点，且，， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（     ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段、、、满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 分别计算各选项的比值即可判断． 【详解】 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 11．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】 解：如图： ∵点是的黄金分割点， ， ∵点是的黄金分割点， ， ， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为， 故选：B． 12．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 4、2、1、3 B. 1、2、3、5 C. 3、4、5、6 D. 1、2、2、4 【答案】D 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】A. 2×1≠3×4，故本选项错误； B. 1×5≠2×3，故本选项错误； C. 4×5≠3×6，故本选项错误； D. 2×2=1×4，故本选项正确. 故答案选：D. 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是熟练的掌握判断四条线段成比例线段的方法. 13．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如果，那么　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）在比例尺为的地图上，相距的A，B两地的实际距离是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例尺，解题的关键是掌握比例尺的定义． 根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，列方程求解实际距离，注意单位换算． 【详解】 解：设A、B两地的实际距离为， 由比例尺公式，得： 解得： 换算单位： ， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查成比例线段，如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：． 16．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知，则　　　　　　　． 【答案】.4 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）若线段a，b，c，d成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是　　　　　cm． 【答案】6 【分析】 利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值． 【详解】 解：∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即1：2＝3：d， ∴d＝6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解答此题的关键． 18．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 　　　　　　 【答案】27cm2 【分析】 根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】 解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则 设DF＝xcm，得到：， 解得：x＝4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2． 【点睛】 本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 19．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如果，那么　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质．通过代数变换，将已知等式化为关于的等式，然后求解． 【详解】 解：， 可变形为： 移项，得： 即． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）若四条线段成比例，且，则线段d的长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例线段的定义，列出比例方程，再进行求解，即可作答． 【详解】 解：∵四条线段成比例，且， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：6． 21．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）已知，则 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了比例的性质，利用已知设，则，进而代入化简即可． 【详解】 解：， 设，则， 则． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·湖南常德·期中）已知，的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】 解：由可设， ∴； 故答案为． 23．（25-26学年九上·湖南常德·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为　　　　　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据已知比例设参数，代入所求表达式计算． 【详解】 解：由，设，， 则 故答案为 ． 25．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）若，则　　　　　　　　　　． 【答案】.2 【分析】 本题考查了比例的性质．由比例关系设，（），代入分式化简即可． 【详解】 解：由于， 所以，设，， 则， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 28．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）已知，且，求的值． 【答案】2 【分析】 本题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出、、的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【详解】 解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ． 29．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知： （1）求k的值； （2）则直线一定经过第_____． 【答案】（1） 或      （2）一，四象限      【分析】 考查等比性质、一次函数图象性质．关键是分和求k，易错点是漏情况；再根据k的取值分析一次函数象限． （1）当，由等比性质得；当，得，故或． （2）当，直线过一、三、四象限；当，直线过一、二、四象限．综上，一定过第一、四象限． (1) 小问详解： 分两种情况讨论： 情况一： 由等比性质，． 情况二： 则，代入得． 综上，k的值为2或． (2) 小问详解： 当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、三、四象限． 当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、二、四象限． 综上，直线一定经过第一、四象限． 故答案为：一、四象限． 30．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知，若，则　　　　　　 【答案】20 【分析】 根据已知等式可得，再根据即可得． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】 ， ， ，， ， 解得． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线分别交直线a，b，c于点D，E，F，下列比例式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由平行线判断成比例的线段．根据由平行线判断成比例的线段进行解答即可． 【详解】 解：∵直线， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 3．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，，若，，，则的长度是（       ） A. 14 B. 6 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出，进而求出． 【详解】 解：∵， ， ，，， ， 解得：， ， 故选：A． 4．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，，，，，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，直线abc，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为(       ) A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】 因为，根据平行线分线段成比例可知，，故可得DE与EF的比值，且DE+EF=DF=9，即可求出EF的长度． 【详解】 解：∵，根据平行线分线段成比例可知， ，设DE=4t，EF=5t， 又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1， ∴EF=5t=5， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，解题的关键在于写出各线段的比例关系式，当题目中出现三条（或三条以上）的平行线，且求线段长度或比例时，常用平行线获得比例线段． 6．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④=−1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 证明△AHG≌△AHB（ASA），得出AF是线段BG的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质和正方形的性质即可得出② 正确；设OA=OB=OC=a，由菱形和正方形的性质得出OA=OB，证出∠OAE=∠OBG，由ASA证明△OAE≌△OBG，可得出① 正确；求出OG=OE=a-b，由平行线分线段成比例定理可得出④ 正确；证明△EAB≌△GBC（ASA），得出BE=CG，可得出③ 正确；证明△FAB≌△PBC（ASA），得出BF=CP，则三角形的面积公式，可得出⑤ 错误；即可得出结论． 【详解】 解：∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠GAH=∠BAH， ∵BH⊥AF， ∴∠AHG=∠AHB=90°， 在△AHG和△AHB中， ， ∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH=BH， ∴AF是线段BG的垂直平分线， ∴EG=EB，FG=FB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAF=∠CAF=×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°， ∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°， ∴∠BEF=∠BFE， ∴EB=FB， ∴EG=EB=FB=FG， ∴四边形BEGF是菱形；② 正确； 设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b， ∵四边形BEGF是菱形， ∴GF∥OB， ∴∠CGF=∠COB=90°， ∴∠GFC=∠GCF=45°， ∴CG=GF=b，∠CGF=90°， ∴CF=GF=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°， ∵BH⊥AF， ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH， ∴∠OAE=∠OBG， 在△OAE和△OBG中， ， ∴△OAE≌△OBG（ASA），① 正确； ∴OG=OE=a-b， ∴△GOE是等腰直角三角形， ∴GE=OG， ∴b=（a-b）， 整理得a=b， ∴AC=2a=（2+）b，AG=AC-CG=（1+）b， ∵四边形ABCD是正方形， ∴PC∥AB， ∴=1+， ∵△OAE≌△OBG， ∴AE=BG， ∴=1+， ∴=-1，④ 正确； ∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°， ∴∠EAB=∠GBC， 在△EAB和△GBC中， ， ∴△EAB≌△GBC（ASA）， ∴BE=CG，③ 正确； 在△FAB和△PBC中， ， ∴△FAB≌△PBC（ASA）， ∴BF=CP， ∴，⑤ 错误； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 【详解】 解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 9．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．据此列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】 解：∵，，，， ∴，即， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，， ，，那么=　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得到，进而可求解． 【详解】 解：∵ ∴， ∵BC=9， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键． 11．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】 解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得， ∵AD=10， ∴OD=10-OA， 代入可得， 解得OA=4，经检验，符合题意； 故答案为4． 【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本定理是解题关键． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，已知，直线与直线分别交，，于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先求出，再根据平行线分线段成比例定理可得，代入计算即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·湖南邵阳第六中学·期中）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长； 【详解】∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵AB＝9，AC＝6，AD＝3， ∴AE=2， 即EC=AC-AE=6-2=4； 故选C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 2．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，中，点D在线段上，连接，要使与相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据相似三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】 解：添加，结合条件∠A=∠A，不能证明两个三角形相似，故A符合题意； 添加，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故B不符合题意； 添加，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故C不符合题意； 添加，即，，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 4．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）下列各组图形不一定相似的是（       ） A. 两个等腰直角三角形 B. 有一个角是的两个等腰三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 有一个角是的两个直角三角形 【答案】C 【分析】 本题考查的是相似图形．根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【详解】 A、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确； B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确； C、各有一个角是的两个等腰三角形，一个三角形的角可能是底角，另一个三角形的角可能是顶角，所以对应角不一定相等，不一定相似，故错误； D、各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确． 故选C 【点睛】 本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，直角三角形的性质对解题也很关键． 5．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）在中，D、E分别在的边、上，不能判定的是（　     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．① 两角分别相等的两个三角形相似；② 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③ 三边成比例的两个三角形相似． 画出图形，逐一判断即可． 【详解】 解：如图， A．，但不一定等于，无法判定； B．，，可以判定； C．，，可以判定； D．，则，再由，可以判定； 故选：A． 6．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故① 符合题意； 当添加可判定，故② 符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③ 符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④ 不符合题意； 故选C． 7．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键． ① 由等腰直角和等腰直角三边比，根据相似三角形的判定2证明；② 通过等积式倒推可知，证明即可；③ 根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：，是等腰直角三角形，， ，， ． ∵， ∴， ∴， 所以① 正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ， ∴， 所以② 正确； 设与相交于， 则． ∵， ∴， ∴． 是等腰直角三角形， ， ， ∴正确的有① ② ③ ， 故选：D． 8．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（       ） A. cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【答案】A 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用．证明，则，设正方形零件的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设正方形零件的边长为x，则， ∴， 解得：， 即这个正方形零件的边长为． 故选：A． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）下列语句叙述正确的是（       ） A. 有一个角是的等腰三角形都相似 B. 有一个角是的直角三角形都相似 C. 有一个角是的锐角三角形都相似 D. 有一个角是的钝角三角形都相似 【答案】B 【分析】 根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明． 本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用． 【详解】 A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 10．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（     ） A.  B.  C.  D. ． 【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 有两个对应角相等的两个三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】 解：由题意得：， A． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． B． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． C． ，有两个对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． D． ，有两个对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 11．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，点E在边上，与交于点O，，则与的面积之比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由，可得出，再利用相似三角形的性质即可得出与的面积之比． 【详解】 解：∵在中， ∴，， ∴， ∴相似比为， ∵，即， ∴， ∴，即与的面积之比为， 故选：B． 12．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点，在反比例函数的图象上，则的面积等于（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E，则，得出，设，，根据反比例函数的解析式表示出，，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E， 则， ∴ ∴ ∴， ∵是的中线， ∴， 设，， ∴C的横坐标为，B的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 13．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D． 14．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，在▱ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（       ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】D 【分析】 由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AEF∽△CBF，又由点E是AD中点，△AEF的面积为9，即可求得△BCF的面积． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEF∽△CBF， ∵AEAD， ∴， ∴， ∵△AEF的面积为9， ∴S△BCF＝36． 故选：D． 【点睛】 此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 15．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，在中， ， ，则的长为（            ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 首先证明四边形是平行四边形，得，再由，得，代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 16．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，D、E分别在的边上，要使，不能添加的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：“① 有两个对应角相等的两个三角形相似；② 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③ 三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】 解：由题意得：， A、∵，∴，∴，不能判定，该选项符合题意； B、，能判定，该选项不符合题意； C、，能判定，该选项不符合题意； D、，能判定，该选项不符合题意． 故选：A． 17．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点，作直线分别交，于点D，E，连接．若，，则下列结论错误的是（          ） A. 的周长是8 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据线段垂直平分线的性质可判断A和C；根据直角三角形斜边中线的性质可判断B；根据相似三角形的判定与性质可判断D． 【详解】 解：A．∵垂直平分， ∴， ∴的周长是，正确； B．∵垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，正确； C．∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，正确； D．∵， ∴， ∴ ∴，故不正确． 故选D． 【点睛】 本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，点A在线段上，在的同侧作和，，连接与分别相交于点F，G，与相交于点H，连接．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（       ） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ①④⑤ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 根据题意得 ，得 ，可得① ，在根据，可得② ，由，可得③ ，根据，可得④ ，根据 ，可得⑤ ，逐一分析即可求解. 【详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，        ∴，故① 正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故② 错误； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故③ 正确；       ∴ ∵ ∴    ∴ ∴，故④ 正确； ∵， ∴    ∴ ∵没有平分， ∴ ∴，故⑤ 错误； 故正确的有：① ③ ④ 故选：D. 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形内角和，直角三角形等相关知识点，解题关键在于熟练掌握各个知识体系的运用，难点较大，需要综合能力强. 19．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（     ）； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，则，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 20．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交AC于点，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程．根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定A正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定C错误, B 、D正确；熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 【详解】 解：，， ，由作图可知：，为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确， ，， ， ，即， 整理得：， ， ， ，故C错误， ，， ， ， ，故B正确； ，，， ，故D正确． 故选：C． 21．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等只是点；熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． ① 如图：连接交于O，根据对称性可知， ，再说明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，故，又因为，故，进而得到，即可判断① ．② 可用特殊值法证明，当点P与中点重合时，，，显然，可判定② ；③ 先证明，得到，即，再结合即可判定③ ；④ 先说明当时，的值最小，此时A、P、C共线，再运用勾股定理求得、即可解答． 【详解】 解：① 如图：连接交于O．根据对称性可知，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．即① 正确； ② 当点P与中点重合时，，，显然；即② 错误； ③ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即③ 正确； ④ ∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小，此时A、P、C共线， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 综上，正确的有① ③ ④ ，共3个． 故选C． 22．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图所示，小明在地面上放置一个平面镜C，选择合适的位置，刚好在平面镜C中看到旗杆的顶部D，此时小明与平面镜C的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离AB为1.6m，已知，B、C、E在一条直线上，试求旗杆DE的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】12.8m 【分析】 根据题意，,且，得，再根据相似比解得的高度． 【详解】 解：由题意得,且， ∴， ∴， 又因为， ∴， ∴ 所以旗杆的高度为12.8m． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定及性质应用，找到相等对应角证明三角形相似是解题的关键． 23．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】 略 24．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的边长比等于相似比． （1）先证，进而可证； （2）由（2）得，再证，根据相似三角形的边长比等于相似比即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，，，则　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据，证明，，进而证明，即可求出，从而求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 26．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，中，是斜边上的高，． （1）求证； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， ∴， 又， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）依据，，即可判定； （2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，代入数据即可得出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ， ∴． ∵是线段 ∴舍去， 即 27．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，相交于点O，已知，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，根据边长之间对应成比例以及对顶角相等，可得到两个三角形相似，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】 略 28．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点，    则， 设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 29．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，． （1）证明：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ∴，， ∴， ∵， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似求证； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得． 30．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，在中，E、F分别是边上的动点，且． （1）求证：； （2）当，若，请求出． 【答案】（1） 证明：∵， ∴．     （2）      【分析】 （1）根据平行四边形的性质，三角形相似的判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质，相似三角形的性质解答即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意， ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴． 31．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴；     （2）4      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 32．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）如图，点E是正方形的边上中点，连接，过点D作，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设，则，证明，求出，即可求出，即可求解比值． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 设， ∵E是正方形的边上中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，在中，，，点P从点B开始沿边向点A以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点C以每秒的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过　　　　　秒钟与相似？ 【答案】0.8或2 【分析】 设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】 解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 34．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，在中，，分别是，上一点，且．若，，，求的长． 【答案】 【分析】先根据题意得出△AED∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ，，， ，解得． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 35．（25-26学年九上·湖南常德·期中）（多选）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【分析】 （1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】 解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 36．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　　　　　　　　． 【答案】 【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠F=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠F=∠DBF， ∴DB=DF， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ，即 ， 解得：DE= ， ∵DF=DB=2， ∴EF=DF-DE=2- = ， 故答案为. 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC． 37．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，FD的长是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分∠DA'F= 90°和∠A'FD= 90°两种情况，再根据折叠的性质加以分析即可； 【详解】 在矩形ABCD中，，， ∵将沿EF所在直线翻折，得到， ∴ 如图① 所示，当∠DA'F= 90°时， ∴. E，A'，D在同一直线上， ∵点E是AB的中点， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 如图② 所示，当∠A'FD= 90° ∴， ∵折叠 ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述：或； 故答案为：或 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 38．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ． 39．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    （1）若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； （2）在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ （3）当x为何值时，的面积为平方单位？ 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用勾股定理求出，得出B的坐标，再把B的坐标代入解析式即可解答； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况：① 若，得出 ，利用相似比的性质进行解答即可；② 若，得出，利用相似比的性质进行解答即可； （3）如图，过作于，则，可得，求解，再建立方程，再解方程可得答案． (1) 小问详解： 解：是直角三角形，且轴于A，，， ， ， 将代入得， ； (2) 小问详解： 在两个动点运动过程中，分两种情况： ① 若，如图所示，    则，，此时， ， 即：， ， ② 若，如图所示，    则，此时， ， ∴， ， 即：， ， 综上所述，当或秒时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似； (3) 小问详解： 如图，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∵，的面积为平方单位， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴当时，的面积为平方单位． 【点睛】 此题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，利用待定系数法求解反比例函数解析式，解题关键在于根据题意分情况讨论． 40．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：， （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， ∴， 解得， 即的长为． 41．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章“天时类”中，收录了四个有关测量降水量的例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中的“峻积验雪”，就是根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在中，，，，，，过点作交的延长线于点，过点作交于点，那么　　　　　． 【答案】 【分析】 作，于点，，等面积法求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，作，于点，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 42．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．       （1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点，求的长； （3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出，再由题意得出，即可求解； （2）过点A作轴，根据勾股定理及点的坐标得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出，，过点N作于点G，交于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出，结合图形分别表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交直线于点， ∴， ∴， 即； (2) 小问详解： 过点A作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴； (3) 小问详解： ∵正方形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴O、C、F、N四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 过点N作于点G，交于点Q，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】 题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 43．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）（多选）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG. (1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°. (2)证明：△AFC∽△AGD； (3)若＝，请求出的值. 【答案】(1) 27； (2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD； (3)＝. 【分析】 (1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论； (2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果； (3)设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论. 【详解】 解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°， 故答案为：27. (2)略 (3)∵＝， 设BF＝k， ∴CF＝2k，则AB＝BC＝3k， ∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF， ∴， ∴＝＝. 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键． 44．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，四边形是正方形，连接，点E是上一点，连接交于点F，连接，过点D作于点G，连接． （1）若，则的值为　　　　　　； （2）若，则的值为　　　　　　． 【答案】① 3    ② 【分析】 （1）运用正方形的性质，得，证明，再代入数值到进行化简，即可作答． （2）先运用正方形的性质，证明，则，再与（1）同理，证明，又因为，得，把，代入，得出，整理得，在中，，所以，再结合公式法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， 故答案为：3 （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 则， ∴， ∴，（舍去）， 则 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，公式法进行解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 45．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）【问题背景】 （1）如图1，在中，其中，，绕着点A逆时针旋转得到，连接，，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，，，与相交于点F，点D在线段上运动，若，，求的值； 【拓展深究】 （3）如图3，四边形为正方形，连接，，点E是上一点，连接，点B绕E点顺时针旋转得到点F，连接，，取的中点G，连接，在上取点H，使，过点H作交于点I，试求线段与的位置关系与数量关系． 【答案】（1）证明：∵绕着点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）， 【分析】 （1）根据旋转的性质得，，，再利用全等三角形判定即可证明； （2）由题意，设，，根据相似三角形的性质得到，则有，利用勾股定理求出，通过证明得到，，求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长至使得，连接、，延长交于点，交的延长线于点，根据旋转的性质得到，，先证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，利用三角形中位线定理得到，，结合推出，再通过证明，得到，通过计算得出，即可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至使得，连接、，延长交于点，交的延长线于点， ∵点B绕E点顺时针旋转得到点F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、含30度的直角三角形、勾股定理、正方形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 46．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图1，在中，，，点D、E分别是边、的中点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为，、所在直线相交所成的锐角为． （1）问题发现：当时，_________；_________． （2）拓展探究：试判断当时，和的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在旋转过程中，当时，直接写出此时的面积． 【答案】（1）   45     （2） 大小无变化，理由如下： 如图2中，延长交于点O，交于K． 由（1）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴和的大小无变化；     （3）或      【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，理解相关知识并灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论﹒ （1）先求出，，再根据点D、E分别是边、的中点，求出，，即可进而求出，； （2）证明，得到，，结合，即可证明，从而得到和的大小无变化； （3）当点D在直线左侧时，证明点E在线段上，求出，即可求出；当点D在直线右侧时，证明E、A、B三点共线，即此时点E在的延长线上，求出，即可求出． (1) 小问详解： 解：如图（1）在中，∵，， ∴，， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴，﹒ 故答案为：，45； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： （3）解：当点D在直线左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点E在线段上， ∴， ∴； 当点D在直线右侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴E、A、B三点共线，即此时点E在的延长线上， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 47．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）综合与探究 如图，在中，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结，，两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为． （1）求的长； （2）当的面积为时，求此时的值； （3）当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】（1）的长为     （2）的值为或     （3）的值为或或      【分析】 本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理可算出的长，再由即可得解； （2）当，移动时，，如图2所示，作，垂足为， 由，可得，，进而可证，根据相似三角形的性质求出的长，最后根据三角形面积建立方程，解出方程即可得解； （3）由是等腰三角形，可知有或或三种情况， 利用相似三角形的性质分情况求解即可． (1) 小问详解： 解：是边上的高， ， 在中，由勾股定理，有， ， ， ， 故的长为． (2) 小问详解： 解：当，移动时，， 如图所示，作，垂足为， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 整理得，， 解得或， 故当的面积为时，此时的值为或． (3) 小问详解： 解：是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得； ②当时，如图所示，过点作，垂足为， 且， ， ，， ， ， 即， 解得； ③ 当时，如图所示，过点作，垂足为， 且， ， 且， ， ，， ， ， 即， 解得； 综上，当是等腰三角形时，的值为或或． 48．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在矩形中，为中点，连接交于点F，连，下列结论：    ①；②；③；④．其中正确的是（填写序号）　　　　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 利用矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】 解：①为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②过点作于点，如图，    设，则，， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， ， ， 故，故②错误； ③，， ， ， ， ， ，， ，故③正确； ④如图，    在，由勾股定理得， ，， 在，由勾股定理得， ， 在，由勾股定理得， ，故④正确； 故答案为① ③ ④ 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，相似三角形的性质等知识，关键能运用这些知识表示出需要的边或角，即可解决． 49．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，矩形中，E、F分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为G，交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 由折叠知，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，得，由折叠得出，得，得，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，，再结合，得，代入数值，得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是矩形，， ，， 为中点， ， 设，则， ， ， 解得，即， ， ， ， ， ． 50．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴，    ∴，    ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，    ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴，         ∴， ∵， ∴，      ∴， ∵，        ∴， ∵，    ∴，           设，，        ∵，        ∴，           设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 综上， ． 51．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明； （2）通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即），求出的值； （3）作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过点作， 则，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 52．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：； ②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）解：是个定值，理由如下： 四边形是矩形，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）① 证明：∵在菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； （3）的长为3或4或 【分析】 （1）根据矩形的性质得出，进而证明，结合已知条件，即可证明；由① 可得，根据，即可求解； （2）① 根据菱形的性质得出，则，进而根据即可得证； ② 根据结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，① 当点G在边上时；② 当G点在边上时；③ 当G点在边上时． 【详解】 （1）略 （2）① 略 ②∵，， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）① 当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴2， ∴， 在中，， 则 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：或， 即或， ② 当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点H， 在中，， ∴，， ∴， 则 ， ∴， ∴，， ∵， 又， ∴ ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 即； ③ 当G点在边上时，如图所示， 过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴G点不可能在边上， ④ 当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 53．（25-26学年九上·湖南株洲第二中学·期中）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： （1）【问题背景】如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则______； （2）【特例探究】如图，连接，当点恰好落在上时，求证：； （3）【深入探究】如图，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请求出与之间的数量关系式； （4）【拓展探究】如图，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请求出的长． 【答案】（1）；     （2） 解：由（）得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）；     （4）．      【分析】 （）由，则，然后通过折叠性质即可求解； （）由（）得，又四边形是正方形，所以，然后证明，得 ，由翻折的性质可知，，故有，再由，，所以，从而证明，根据相似三角形性质可得，从而求证； （）由（）可知，，，然后通过即可求解； （）过作，交延长线于，作的平分线，交于，则，再证明，，，可得，设，由菱形性质可得，所以，由勾股定理可得，定义，然后求出的值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，理由如下: 由（）可知，，， ∵， ∴； (4) 小问详解： 解：过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， 即的长为． 【点睛】 本题是考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，已知，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，准确计算是解题的关键． 根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：，且， ； 故选：． 2．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，△∽△，若，，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答. 【详解】解：∵△∽△ ∴ ∴ 解得：AB=4 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解. 3．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是　　　　　　　　． 【答案】1：2 【分析】 根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成． 【详解】 ∵相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∴两个相似三角形的相似比为1：2 ∵两个相似三角形周长的比等于相似比 ∴两个三角形周长的比等于1：2 故答案为：1：2 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键． 4．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵，， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 5．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过　　　　　　　　　　秒后，与相似． 【答案】3或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，设x秒后与原三角形相似，则可用x表示出，由于与有公共角，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况． 【详解】 解：设x秒后与相似，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 即经过3秒或秒后，与相似． 故答案为：3或． 6．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）如图，，已知． （1）若，求的长； （2）若，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，则证明再结合，得出，又因为，求出，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即，又因为，则，再列式计算得出，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴ 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故； (2) 小问详解： 解：由（1）得且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图，，，点B是线段上的一点，且．    （1）证明：； （2）若，，．求线段的长． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ， ， ；     （2）3      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明两个三角形的两个角对应相等即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 解得． 8．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，若，且，，．则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）6      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 10．（25-26学年九上·湖南湘潭益智中学·期中）如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当　　　　　　　　　秒时，与相似． 【答案】或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】 由题可得：，， 设，， ， 当时，， ， ， ， 秒； 当时，， ， ， ， ； 的值是或． 11．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用秒表示时间． （1）当　　　　　　　　　　时，的面积是； （2）当　　　　　　　　　　时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，三角形相似的性质． （1）设运动时间为，则，，，根据面积公式列方程，求解即可； （2）按照和进行分类讨论，根据三角形相似对应边成比例，求解即可． 【详解】 解：（1）设运动时间为， ∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，，， ∵的面积是， ∴， 整理，得， 解得， 故答案为：． （2）当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：或． 12．（25-26学年九上·湖南岳阳·期中）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示：   ，   ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ① 当时，， ∴，即， 解得：， ② 当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 13．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； （3）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 【答案】（1）     （2）或     （3）存在，      【分析】 （1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可； （2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得． （3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 由题意知：，， 当，则， ， ， ，； 当，则， ， ， ， 当或时，以、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：或； (3) 小问详解： 过点作、，分别交于、交于，如图所示： ， 四边形是矩形， 当时，即时，为等腰三角形， 此时把沿翻折得到四边形是菱形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果． 14．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： ①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”． 如图，与互为“旋转位似图形” ②若，，，则的度数为________； ③若，，，则的长度为________； （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长． 【答案】（1）① 是；②；③； （2）证明：∵AE⊥BD，∠ABC=90°， ∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BAE， ∵∠ADC=∠AEB=90°， ∴△ACD∽△ABE， ∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A， ∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）DE=；BD=． 【分析】 （1）① 根据“旋转位似图形”的定义即可得答案； ② 由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理可得∠C、∠BAC的度数，根据旋转的性质可得∠EAC=26°，利用角的和差关系即可得答案； ③ 由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）根据直角三角形两锐角互余的性质及角的和差关系可得∠2=∠BAE，即可得出∠1=∠BAE，进而可证明△ACD∽△ABE，即可得结论； （3）作交直线于点，根据等腰直角三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可求出AE的长，根据角的和差关系可得∠DAE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AE′，即可证明点E与点E′重合，可得AE⊥DG，可得DE=AE，即可得出DE的长，利用勾股定理即可求出BD的长． 【详解】 （1）① 如图，△ABC和△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴绕点逆时针旋转角度后与构成位似图形， 故答案为：是 ② ∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠E=29°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°， ∵△ADE绕点逆时针旋转角度后，与△ABC构成位似图形， ∴∠EAC==26°， ∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°， 故答案为：25° ③ ∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴，即， 解得：BC=， 故答案为： （2）略 （3）如图，作交直线于点， ∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6， ∴AB=AC=， 与互为“旋转位似图形”， ． ， ，；． ∴∠DAE′=45°， ∴为等腰直角三角形． ， ．，点和点重合， ． ∴，， ∴． 【点睛】 本题考查位似图形及相似三角形的判定与性质的综合，理解“旋转位似图形”的定义并熟练掌握相似三角形的判定定理、是解题关键． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意并利用相似三角形的判定与性质求解是关键．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】 解：，， ， ，， 解得． 故选：A． 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为　　　　　　　　　． 【答案】28米 【分析】 本题考查了三角形中位线定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】 解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故答案为：． 3．（25-26学年九上·湖南湘潭湘潭电机子弟中学·期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸） 【答案】竹竿的长度为45尺． 【分析】 根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】 解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 解得（尺）， 答：竹竿的长度为45尺． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 4．（25-26学年九上·湖南娄底·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】 解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 5．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． （1）以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：相等， 理由：连结，， ∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E， ∴， ∵大于的长为半径画弧，两弧交于点F， ∴， 又， ， ， 即以上作图得到的和数量上有相等关系；     （2）      【分析】 （1）利用即可； （2）先根据等边对等角求得，再结合（1）求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，作角平分线(尺规作图)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 6．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为　　　　　米． 【答案】6 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）小明的身高为1.7米，某一时刻小明的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为7米，则这棵树的高为　　　米． 【答案】11.9 【分析】 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】 解：设这棵树的高度为xm， 据相同时刻的物高与影长成比例， 则可列比例为＝， 解得，x＝11.9． 故答案为：11.9． 【点睛】 本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，利用在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答是关键． 8．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识．由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意先证得四边形为矩形，得到，，然后证明，得到，代入数据求得的长度，即可求得的长度． 【详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴超然楼的高度为． 10．（25-26学年九上·湖南长沙·期中）如图，正方形的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接且满足，线段的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．取中点F，连接，先由四边形是正方形得，而，则，再由勾股定理求得，再根据两点之间线段最短得到不等式，变形为，即可得答案． 【详解】 解：如图，取中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求位似图形的对应坐标，以原点为位似中心，位似比为，对应点坐标是原坐标乘以位似比或其相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵位似中心为原点，位似比为，且点， ∴或 ∴的坐标为或， 故选：C 2．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查位似变换．位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵与是位似图形，位似比为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了位似图形的性质．位似是一种特殊的相似，周长之比等于相似比，计算求解即可． 【详解】 解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴的周长为． 故答案为：12． 4．（25-26学年九上·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点的对应点分别是点），且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可得； （2）结合相似三角形的面积比等于相似比的平方进行作答即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 5．（25-26学年九上·湖南邵阳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限作一个与位似，相似比为； （2）在（1）的条件下，在内有一点，则内与点对应的点的坐标为__________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形对应点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）将点的横纵坐标乘以即可得到点的坐标，即可描点，顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在内有一点，则内与点对应的点的坐标为， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·湖南怀化·期中）如图，三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）8      【分析】 本题主要考查了画位似图形： （1）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （2）直接求三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 8．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为2，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】 解：∵，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖南衡阳第八中学·期中）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到，在网格中画出（、、分别是A，B，C的对应点）； （2）以O为位似中心，将放大2倍，得到，在网格中画出（，，分别是A，B，C的对应点）． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）如图，即为所求．      【分析】 本题考查了作图-平移作图，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先将A、B、C右平移3个单位，再向下平移4个单位后的对应点描出来，再顺次连接各对应点即可； （2）根据位似比作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·湖南益阳·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，． （1）画出关于轴对称的； （2）在网格内画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为，并写出的坐标． 【答案】（1） 即为所求：      （2） 即为所求；点的坐标是． ． 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质与位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可，再写出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似（6大考点） 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．B 8．D 9．C 10．C 11．B 12．D 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例尺，解题的关键是掌握比例尺的定义． 根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，列方程求解实际距离，注意单位换算． 【详解】 解：设A、B两地的实际距离为， 由比例尺公式，得： 解得： 换算单位： ， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查成比例线段，如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：． 16．【答案】.4 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】6 【分析】 利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值． 【详解】 解：∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即1：2＝3：d， ∴d＝6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解答此题的关键． 18．【答案】27cm2 【分析】 根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】 解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则 设DF＝xcm，得到：， 解得：x＝4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2． 【点睛】 本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质．通过代数变换，将已知等式化为关于的等式，然后求解． 【详解】 解：， 可变形为： 移项，得： 即． 故答案为：． 20．【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例线段的定义，列出比例方程，再进行求解，即可作答． 【详解】 解：∵四条线段成比例，且， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：6． 21．【答案】 【分析】 此题主要考查了比例的性质，利用已知设，则，进而代入化简即可． 【详解】 解：， 设，则， 则． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】 解：由可设， ∴； 故答案为． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据已知比例设参数，代入所求表达式计算． 【详解】 解：由，设，， 则 故答案为 ． 25．【答案】.2 【分析】 本题考查了比例的性质．由比例关系设，（），代入分式化简即可． 【详解】 解：由于， 所以，设，， 则， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】 解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 28．【答案】2 【分析】 本题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出、、的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【详解】 解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ． 29．【答案】（1） 或      （2）一，四象限      【分析】 考查等比性质、一次函数图象性质．关键是分和求k，易错点是漏情况；再根据k的取值分析一次函数象限． （1）当，由等比性质得；当，得，故或． （2）当，直线过一、三、四象限；当，直线过一、二、四象限．综上，一定过第一、四象限． (1) 小问详解： 分两种情况讨论： 情况一： 由等比性质，． 情况二： 则，代入得． 综上，k的值为2或． (2) 小问详解： 当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、三、四象限． 当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、二、四象限． 综上，直线一定经过第一、四象限． 故答案为：一、四象限． 30．【答案】20 【分析】 根据已知等式可得，再根据即可得． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 【详解】 解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 9．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．据此列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】 解：∵，，，， ∴，即， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 10．【答案】3 【分析】 根据平行线分线段成比例的性质得到，进而可求解． 【详解】 解：∵ ∴， ∵BC=9， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键． 11．【答案】4 【分析】 根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】 解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得， ∵AD=10， ∴OD=10-OA， 代入可得， 解得OA=4，经检验，符合题意； 故答案为4． 【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本定理是解题关键． 12．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先求出，再根据平行线分线段成比例定理可得，代入计算即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．A 9．B 10．C 11．B 12．D 13．D 14．D 15．B 16．A 17．D 18．D 19．C 20．C 21．C 22．【答案】12.8m 【分析】 根据题意，,且，得，再根据相似比解得的高度． 【详解】 解：由题意得,且， ∴， ∴， 又因为， ∴， ∴ 所以旗杆的高度为12.8m． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定及性质应用，找到相等对应角证明三角形相似是解题的关键． 23．【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】 略 24．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的边长比等于相似比． （1）先证，进而可证； （2）由（2）得，再证，根据相似三角形的边长比等于相似比即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25．【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据，证明，，进而证明，即可求出，从而求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 26．【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， ∴， 又， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）依据，，即可判定； （2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，代入数据即可得出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， ， ∴． ∵是线段 ∴舍去， 即 27．【答案】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，根据边长之间对应成比例以及对顶角相等，可得到两个三角形相似，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】 略 28．【答案】 【分析】 过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点，    则， 设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 29．【答案】（1） 证明：， ∴，， ∴， ∵， ∴；     （2）12      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似求证； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得． 30．【答案】（1） 证明：∵， ∴．     （2）      【分析】 （1）根据平行四边形的性质，三角形相似的判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质，相似三角形的性质解答即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意， ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴． 31．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴；     （2）4      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 32．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设，则，证明，求出，即可求出，即可求解比值． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 设， ∵E是正方形的边上中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．【答案】0.8或2 【分析】 设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】 解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 34．【答案】 【分析】先根据题意得出△AED∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ，，， ，解得． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 35．【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【分析】 （1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】 解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 36．【答案】 【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠F=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠F=∠DBF， ∴DB=DF， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ，即 ， 解得：DE= ， ∵DF=DB=2， ∴EF=DF-DE=2- = ， 故答案为. 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC． 37．【答案】或 【分析】 分∠DA'F= 90°和∠A'FD= 90°两种情况，再根据折叠的性质加以分析即可； 【详解】 在矩形ABCD中，，， ∵将沿EF所在直线翻折，得到， ∴ 如图① 所示，当∠DA'F= 90°时， ∴. E，A'，D在同一直线上， ∵点E是AB的中点， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 如图② 所示，当∠A'FD= 90° ∴， ∵折叠 ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述：或； 故答案为：或 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 38．【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ． 39．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用勾股定理求出，得出B的坐标，再把B的坐标代入解析式即可解答； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况：① 若，得出 ，利用相似比的性质进行解答即可；② 若，得出，利用相似比的性质进行解答即可； （3）如图，过作于，则，可得，求解，再建立方程，再解方程可得答案． (1) 小问详解： 解：是直角三角形，且轴于A，，， ， ， 将代入得， ； (2) 小问详解： 在两个动点运动过程中，分两种情况： ① 若，如图所示，    则，，此时， ， 即：， ， ② 若，如图所示，    则，此时， ， ∴， ， 即：， ， 综上所述，当或秒时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似； (3) 小问详解： 如图，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∵，的面积为平方单位， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴当时，的面积为平方单位． 【点睛】 此题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，利用待定系数法求解反比例函数解析式，解题关键在于根据题意分情况讨论． 40．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， ∴， 解得， 即的长为． 41．【答案】 【分析】 作，于点，，等面积法求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，作，于点，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出，再由题意得出，即可求解； （2）过点A作轴，根据勾股定理及点的坐标得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出，，过点N作于点G，交于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出，结合图形分别表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交直线于点， ∴， ∴， 即； (2) 小问详解： 过点A作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴； (3) 小问详解： ∵正方形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴O、C、F、N四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 过点N作于点G，交于点Q，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】 题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 43．【答案】(1) 27； (2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD； (3)＝. 【分析】 (1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论； (2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果； (3)设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论. 【详解】 解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°， 故答案为：27. (2)略 (3)∵＝， 设BF＝k， ∴CF＝2k，则AB＝BC＝3k， ∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF， ∴， ∴＝＝. 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键． 44．【答案】① 3    ② 【分析】 （1）运用正方形的性质，得，证明，再代入数值到进行化简，即可作答． （2）先运用正方形的性质，证明，则，再与（1）同理，证明，又因为，得，把，代入，得出，整理得，在中，，所以，再结合公式法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， 故答案为：3 （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 则， ∴， ∴，（舍去）， 则 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，公式法进行解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 45．【答案】（1）证明：∵绕着点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）， 【分析】 （1）根据旋转的性质得，，，再利用全等三角形判定即可证明； （2）由题意，设，，根据相似三角形的性质得到，则有，利用勾股定理求出，通过证明得到，，求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长至使得，连接、，延长交于点，交的延长线于点，根据旋转的性质得到，，先证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，利用三角形中位线定理得到，，结合推出，再通过证明，得到，通过计算得出，即可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至使得，连接、，延长交于点，交的延长线于点， ∵点B绕E点顺时针旋转得到点F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、含30度的直角三角形、勾股定理、正方形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 46．【答案】（1）   45     （2） 大小无变化，理由如下： 如图2中，延长交于点O，交于K． 由（1）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴和的大小无变化；     （3）或      【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，理解相关知识并灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论﹒ （1）先求出，，再根据点D、E分别是边、的中点，求出，，即可进而求出，； （2）证明，得到，，结合，即可证明，从而得到和的大小无变化； （3）当点D在直线左侧时，证明点E在线段上，求出，即可求出；当点D在直线右侧时，证明E、A、B三点共线，即此时点E在的延长线上，求出，即可求出． (1) 小问详解： 解：如图（1）在中，∵，， ∴，， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∴，﹒ 故答案为：，45； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： （3）解：当点D在直线左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点E在线段上， ∴， ∴； 当点D在直线右侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴E、A、B三点共线，即此时点E在的延长线上， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 47．【答案】（1）的长为     （2）的值为或     （3）的值为或或      【分析】 本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理可算出的长，再由即可得解； （2）当，移动时，，如图2所示，作，垂足为， 由，可得，，进而可证，根据相似三角形的性质求出的长，最后根据三角形面积建立方程，解出方程即可得解； （3）由是等腰三角形，可知有或或三种情况， 利用相似三角形的性质分情况求解即可． (1) 小问详解： 解：是边上的高， ， 在中，由勾股定理，有， ， ， ， 故的长为． (2) 小问详解： 解：当，移动时，， 如图所示，作，垂足为， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 整理得，， 解得或， 故当的面积为时，此时的值为或． (3) 小问详解： 解：是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得； ②当时，如图所示，过点作，垂足为， 且， ， ，， ， ， 即， 解得； ③ 当时，如图所示，过点作，垂足为， 且， ， 且， ， ，， ， ， 即， 解得； 综上，当是等腰三角形时，的值为或或． 48．【答案】① ③ ④ 【分析】 利用矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】 解：①为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②过点作于点，如图，    设，则，， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， ， ， ， 故，故②错误； ③，， ， ， ， ， ，， ，故③正确； ④如图，    在，由勾股定理得， ，， 在，由勾股定理得， ， 在，由勾股定理得， ，故④正确； 故答案为① ③ ④ 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，相似三角形的性质等知识，关键能运用这些知识表示出需要的边或角，即可解决． 49．【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 由折叠知，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，得，由折叠得出，得，得，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，，再结合，得，代入数值，得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是矩形，， ，， 为中点， ， 设，则， ， ， 解得，即， ， ， ， ， ． 50．【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴，    ∴，    ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，    ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴，         ∴， ∵， ∴，      ∴， ∵，        ∴， ∵，    ∴，           设，，        ∵，        ∴，           设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 综上， ． 51．【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明； （2）通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即），求出的值； （3）作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过点作， 则，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 52．【答案】（1）解：是个定值，理由如下： 四边形是矩形，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）① 证明：∵在菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； （3）的长为3或4或 【分析】 （1）根据矩形的性质得出，进而证明，结合已知条件，即可证明；由① 可得，根据，即可求解； （2）① 根据菱形的性质得出，则，进而根据即可得证； ② 根据结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，① 当点G在边上时；② 当G点在边上时；③ 当G点在边上时． 【详解】 （1）略 （2）① 略 ②∵，， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）① 当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴2， ∴， 在中，， 则 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：或， 即或， ② 当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点H， 在中，， ∴，， ∴， 则 ， ∴， ∴，， ∵， 又， ∴ ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 即； ③ 当G点在边上时，如图所示， 过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴G点不可能在边上， ④ 当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 53．【答案】（1）；     （2） 解：由（）得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）；     （4）．      【分析】 （）由，则，然后通过折叠性质即可求解； （）由（）得，又四边形是正方形，所以，然后证明，得 ，由翻折的性质可知，，故有，再由，，所以，从而证明，根据相似三角形性质可得，从而求证； （）由（）可知，，，然后通过即可求解； （）过作，交延长线于，作的平分线，交于，则，再证明，，，可得，设，由菱形性质可得，所以，由勾股定理可得，定义，然后求出的值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，理由如下: 由（）可知，，， ∵， ∴； (4) 小问详解： 解：过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， 即的长为． 【点睛】 本题是考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．C 3．【答案】1：2 【分析】 根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成． 【详解】 ∵相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∴两个相似三角形的相似比为1：2 ∵两个相似三角形周长的比等于相似比 ∴两个三角形周长的比等于1：2 故答案为：1：2 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键． 4．【答案】（1） 证明：在和中， ∵，， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 5．【答案】3或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，设x秒后与原三角形相似，则可用x表示出，由于与有公共角，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况． 【详解】 解：设x秒后与相似，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 即经过3秒或秒后，与相似． 故答案为：3或． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，则证明再结合，得出，又因为，求出，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即，又因为，则，再列式计算得出，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴ 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故； (2) 小问详解： 解：由（1）得且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．【答案】（1） 证明：，， ，， ， ， ， ；     （2）3      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明两个三角形的两个角对应相等即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 解得． 8．【答案】 【分析】 本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ， ∵， ， ， ． 故答案为：． 9．【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）6      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 10．【答案】或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】 由题可得：，， 设，， ， 当时，， ， ， ， 秒； 当时，， ， ， ， ； 的值是或． 11．【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，三角形相似的性质． （1）设运动时间为，则，，，根据面积公式列方程，求解即可； （2）按照和进行分类讨论，根据三角形相似对应边成比例，求解即可． 【详解】 解：（1）设运动时间为， ∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，，， ∵的面积是， ∴， 整理，得， 解得， 故答案为：． （2）当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：或． 12．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ① 当时，， ∴，即， 解得：， ② 当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 13．【答案】（1）     （2）或     （3）存在，      【分析】 （1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可； （2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得． （3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 由题意知：，， 当，则， ， ， ，； 当，则， ， ， ， 当或时，以、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：或； (3) 小问详解： 过点作、，分别交于、交于，如图所示： ， 四边形是矩形， 当时，即时，为等腰三角形， 此时把沿翻折得到四边形是菱形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果． 14．【答案】（1）① 是；②；③； （2）证明：∵AE⊥BD，∠ABC=90°， ∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BAE， ∵∠ADC=∠AEB=90°， ∴△ACD∽△ABE， ∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A， ∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）DE=；BD=． 【分析】 （1）① 根据“旋转位似图形”的定义即可得答案； ② 由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理可得∠C、∠BAC的度数，根据旋转的性质可得∠EAC=26°，利用角的和差关系即可得答案； ③ 由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）根据直角三角形两锐角互余的性质及角的和差关系可得∠2=∠BAE，即可得出∠1=∠BAE，进而可证明△ACD∽△ABE，即可得结论； （3）作交直线于点，根据等腰直角三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可求出AE的长，根据角的和差关系可得∠DAE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AE′，即可证明点E与点E′重合，可得AE⊥DG，可得DE=AE，即可得出DE的长，利用勾股定理即可求出BD的长． 【详解】 （1）① 如图，△ABC和△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴绕点逆时针旋转角度后与构成位似图形， 故答案为：是 ② ∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠E=29°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°， ∵△ADE绕点逆时针旋转角度后，与△ABC构成位似图形， ∴∠EAC==26°， ∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°， 故答案为：25° ③ ∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴，即， 解得：BC=， 故答案为： （2）略 （3）如图，作交直线于点， ∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6， ∴AB=AC=， 与互为“旋转位似图形”， ． ， ，；． ∴∠DAE′=45°， ∴为等腰直角三角形． ， ．，点和点重合， ． ∴，， ∴． 【点睛】 本题考查位似图形及相似三角形的判定与性质的综合，理解“旋转位似图形”的定义并熟练掌握相似三角形的判定定理、是解题关键． 考点05 相似三角形的应用 1．A 2．【答案】28米 【分析】 本题考查了三角形中位线定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】 解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故答案为：． 3．【答案】竹竿的长度为45尺． 【分析】 根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】 解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 解得（尺）， 答：竹竿的长度为45尺． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 4．【答案】树高为 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】 解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 5．【答案】（1） 解：相等， 理由：连结，， ∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E， ∴， ∵大于的长为半径画弧，两弧交于点F， ∴， 又， ， ， 即以上作图得到的和数量上有相等关系；     （2）      【分析】 （1）利用即可； （2）先根据等边对等角求得，再结合（1）求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，作角平分线(尺规作图)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 6．【答案】6 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 7．【答案】11.9 【分析】 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】 解：设这棵树的高度为xm， 据相同时刻的物高与影长成比例， 则可列比例为＝， 解得，x＝11.9． 故答案为：11.9． 【点睛】 本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，利用在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答是关键． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识．由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意先证得四边形为矩形，得到，，然后证明，得到，代入数据求得的长度，即可求得的长度． 【详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴超然楼的高度为． 10．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．取中点F，连接，先由四边形是正方形得，而，则，再由勾股定理求得，再根据两点之间线段最短得到不等式，变形为，即可得答案． 【详解】 解：如图，取中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 考点06 位似 1．C 2．B 3．【答案】12 【分析】 本题考查了位似图形的性质．位似是一种特殊的相似，周长之比等于相似比，计算求解即可． 【详解】 解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴的周长为． 故答案为：12． 4．【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可得； （2）结合相似三角形的面积比等于相似比的平方进行作答即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 5．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形对应点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）将点的横纵坐标乘以即可得到点的坐标，即可描点，顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在内有一点，则内与点对应的点的坐标为， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）8      【分析】 本题主要考查了画位似图形： （1）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （2）直接求三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为2，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】 解：∵，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 9．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）如图，即为所求．      【分析】 本题考查了作图-平移作图，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先将A、B、C右平移3个单位，再向下平移4个单位后的对应点描出来，再顺次连接各对应点即可； （2）根据位似比作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．【答案】（1） 即为所求：      （2） 即为所求；点的坐标是． ． 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质与位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可，再写出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $