6.4 用二次函数解决问题(1) 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

6.4 用二次函数解决问题(1) 兴化市戴泽初中 范和景 ——匀变速运动和面积问题 1 问题 如图,小球从光滑的斜坡上由静止向下滚动，各时刻的位置与起点的距离如下表所示. 0.35 s时，小球和起点的距离是多少? 情境引入 问题 如图,小球从光滑的斜坡上由静止向下滚动，各时刻的位置与起点的距离如下表所示. 0.35 s时，小球和起点的距离是多少? 方法引领 解：在上述问题中，小球是做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动中物体位移和时间的关系，小球和起点的距离s(cm)关于运动时间t (s) 的函数表达式为 根据上表，当t =0.1时，s=2，所以 当t=0.35时，s=200×0.35²=24.5（cm） 解得a=400 答：0.35 s时，小球和起点的距离是24.5cm. 例1 用一段长30 m的篱笆围成一个矩形花园，怎样围花园的面积最大？   互动体验 解：设这个矩形花园一边长为x m，面积为y m²，则这条边的邻边长为(15 - x)m. 根据题意，得 所以，当矩形花园的两条边均为 m时面积最大，最大面积为 当时，y最大= 此时，这条边的邻边长为 m. 变式：某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50 m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为多少？ 解：如图，设总占地面积为S m2， AB的长度为xm，则CD=EF=GH=AB=xm， 所以BH=m. 因为0＜BH≤50，CD＞0， 所以0＜x＜12， 所以S=AB•BH= x •（48-4x）=-4(x-6)2+144 所以当x=6时，S可取得最大值，最大值为144． 答：当矩形窗框的宽约3.3m时，该窗户的透光面积最大为144m2. 互动体验 自主构建 “用二次函数解决问题”的步骤： （1）理解、分析问题中的变量和常量,确定两个变量之间的二次函数表达式和自变量的取值范围； （2）用配方法或顶点坐标公式求实际问题中的最大或最小值; （3）检查求得的最值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 .  1.比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔.据说 物理学家伽利略曾在塔顶做过著名的自由落体实验.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同，物体的下落距离h(m) 关于下落时间t(s)的函数表达式为 (g取9.8m/s²).  已知比萨斜塔的高度为55m,   试计算实验物大约经过多长时间落到地面(结果精确到0.1 s). 互动体验 解： gt2 把h=55，g=9.8 代入得 ×9.8t2 =55 t2 ≈11.22 ∵t>0，∴t ≈3.4 答：实验物大约经过3.4秒落到地面. 2.把一根长100 cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形， 这两个正方形的面积和最小是多少? 互动体验 解：设其中一个正方形边长为 x cm， 则另一个正方形边长为即(25-x) cm. 设两个正方形面积和为y cm2，根据题意得， 答：两个正方形面积和最小是 312.5cm2. 当时，y最小= 3.用20 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成高、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？ 解：设窗户的透光面积为S m2，矩形窗框的宽为x m， 则根据题意，得 当 时，S 的值最大为. 答：当矩形窗框的宽 m，高5 m为时，该窗户的透光面积最大. 互动体验 A B C D ┐ M N 40 30 x (1)如果设矩形的一边AD=x，那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y，当x取何值时，y的最大值是多少? 4.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. 能力提升 5．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 能力提升 解：(1)已知抛物线 过 A(1,0)、C(0,3) 把两点代入表达式得 解得 b = -4，c=3 ∴ 二次函数表达式为： 5．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 能力提升 (2) 对称轴 ，∴ D(2, 0)，AB = 2 设运动时间为 t 秒（0 ≤ t ≤ 2）： 　M从A出发，速度1单位/s：M(1+t, 0)，MB = 2 - t 　N在对称轴x=2上，速度2单位/s：N(2, ±2t) ∵ a = -1 < 0，开口向下 ∴ 当 t = 1 时，S最大 = 1此时 M(2, 0)，N(2, 2) 或 N(2, -2) 实际问题 抽象 转化 数学问题 运用二次函数 数学知识 问题的解 返回解释 检验 通过这节课的学习,你有什么收获? 智慧建构 建模思想 图形面积最值问题 数形结合 二次函数问题 匀变速运动问题 补充习题 1. 小明根据自由落体运动规律表达式，用一块小石子来估算一口枯井的深度 .如果石子从井口脱手1.3 s时听到石子落到井底的声音（不计声音传播的时间，g取9. 8m/s²）, 那么该枯井大约有多深（结果精确到0.1 m）? 解： gt2 把t=1.3，g=9.8 代入得 ×9.8×1.32 =4.9 ×1.69=8.281 ≈8.3 答：该枯井大约有8.3m多深. 2. 一辆汽车在公路上行驶时因故紧急刹车.刹车过程中，滑行距离s(m)关于滑行时间t(s) 的函数表达式为s=10t-3t², 速度v(m/s) 关于滑行时间t(s) 的函数表达式为v=10-6t. 汽车从刹车到停下来滑行了多远？ 补充习题 解：已知速度公式：,汽车停下时，速度为 0. 时， 把 t = 代入 答案：汽车从刹车到停下来滑行了 米. 3.某网店以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m(件)与每件的销售价x (元)之间的函数关系为m=204-3x. （1）试写出每天销售这种服装的利润y (元)关于每件销售价x(元)的函数表达式.（利润=总销售价-总进货价） （2）每件销售价定为多少元，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 补充习题 解：(1) 根据题意得 y = x·m − 42m= (x − 42)m =(x − 42)(204 − 3x) = −3x² + 330x − 8568 (2) y= −3x² + 330x − 8568 对称轴 x = = 55，y最大= 507 答：每件定价 55 元时利润最大，最大利润 507 元. 4.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，半径为x m，下半部是矩形，高为y m.制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户总面积是多少？ x x y 补充习题 (1)设矩形的一边BC=x，那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y，当x取何值时，y的最大值是多少? 5.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上. A B C D ┐ M N P 40 30 x H G ┛ 补充习题 $