7.1相似多边形（3）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.1 相似多边形（3） ——位似 戴泽初中 · 范和景 公安人员在侦破案件中，有时会从一枚指纹来确定罪犯的身份，最终破案.借助放大镜可以将它放大，保持形状不变.再如微型胶卷所拍摄的照片就是把实物缩小形状不变. 生活中如何将一个图形放大或缩小? 情境引入 我们用计算机处理图片时，可以根据需要，把图片按比例放大或缩小.   2 如图，在图片按比例放大或缩小的过程中，将图片的轮廓看作矩形，可以发现这些矩形有一个顶点重合于点A， 其他对应顶点分别共线，连线都经过点A，且矩形的对应边成比例. 情境引入 活动1 操作（1）：如图(1)，已知点 O 和 △ABC．连接 OA、OB、OC，分别在线段 OA、OB、OC 的反向延长线上取点 A′、B′、C′，使 ，画 △A′B′C′． 画法：反向延长 OA 至 A′，使 OA′＝2OA；同法作出 B′、C′，顺次连接 A′B′、B′C′、C′A′，△A′B′C′ 就是所求的图形． 方法引领 活动1 操作（2）：在图(2)中，连接 OC、OD，分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A′、B′、C′、D′，使 ，画四边形 A′B′C′D′． 画法：在 OA、OB、OC、OD 上分别截取线段的一半，使 OA′＝1/2 OA……顺次连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，四边形 A′B′C′D′ 就是所求． 方法引领 分别在OA、OB、OC的反向延长线上取点A′、B′、C′，使 ，画△A′B′C′． 活动2 已知点O和△ABC. 方法引领 B ． A C O A′ B′ C′ 6 如图，连接OC、OD，分别在线段OA、OB、OC、OD上取 点A'、B'、C'、D',使 画四边形A'B'C'D'. 活动2 已知点O和四边形ABCD. 方法引领 自主构建 利用位似可以按所给相似比把一个图形________或________． 放大　 缩小 位似(变换)的作用 在上面两个图形中，都有 两个多边形的对应顶点 A 与 A′、B 与 B′……的连线（或连线的延长线）都经过同一点 O，我们称像这样的两个多边形位似(homothetic), 对应顶点连线(或连线的延长线)的公共点叫作位似中心. 观察图像结合定义你能归纳出位似形的性质吗？ 位似形的性质： (3)对应边互相平行（或在同一直线上） 自主构建 (2)各对对应顶点到位似中心的距离的比值相等. (1)各对对应顶点所在的直线都经过同一点； 9 例1 .尺规作图：如图，已知点 O 和 △ABC．以点 O 为位似中心 作 △A′B′C′， 作法：① 连接 OA、OB、OC，并分别作它们的反向延长线； ② 在射线 AO 的延长线上用圆规连续截取 3 段 OA，得点 A′，使 OA′＝3OA；同法得 B′、C′； ③ 顺次连接 A′B′、B′C′、C′A′．△A′B′C′ 就是所求的图形． 使其与 △ABC 位似，且 互动体验 例2 .如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O(0，0)、A(5，4)、B(3，0)，分别将点 A、B 的横坐标、纵坐标都乘 2，得到相应的点 A′、B′． （1）画 △OA′B′；（2）△OA′B′ 与 △OAB 是位似形吗？为什么？ 解：（1）A′（10，8）、B′（6，0），在图中描出 A′、B′ 并连线即可． （2）是位似形． ∵ OA′/OA＝OB′/OB＝2，且 AA′、BB′ 的连线都经过点 O， ∴ △OA′B′ 与 △OAB 位似． 互动体验 1．如图，以点 O 为位似中心，把 △ABC 放大到原来的 2 倍得到 △A′B′C′．以下说法中错误的是（　　） A．∠A＝∠A′　　 B．点 C、O、C′ 三点在同一条直线上　　C．AO∶AA′＝1∶2　　D．AB∥A′B′ 提示：同侧时 AA′＝OA′－OA＝OA， AO∶AA′＝1∶1； 异侧时 AA′＝3OA，AO∶AA′＝1∶3． C 互动体验 互动体验 2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小， 位似中心（　　） A．只能选在原图形的外部　　B．只能选在原图形的内部 C．只能选在原图形的边上　　　D．可以选择任意位置 D 3.如图，以 CD 的中点 O 为位似中心，按比例尺 2∶1，把矩形 ABCD 缩小为矩形 A′B′C′D′（使得对应点在位似中心同侧）． 答：分别取 OA、OB、OC、OD 的中点 A′、B′、C′、D′，顺次连接即可， 此时 A′B′＝1/2 AB，C′D′＝1/2 CD． 4．在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)、F(－1，－1)．以原点 O 为位似中心，把 △EFO 放大，使得放大前后对应线段的比为 1∶2，则点 E 的对应点 E′ 的坐标为 ． 提示：（×2 或 ×(－2)，同侧、异侧各一解） （－8，4）或（8，－4）　 互动体验 互动体验 5.在所给平面直角坐标系中描点、画图： （1）画出点A(－4，0)、B(2，－2)、C(4，2)、D(－2，4)、E(－4，2)，并用线段顺次连接上述各点； （2）以(－2，0)为位似中心，按比例尺 2∶1 将（1）中的图形缩小，并写出变化后各点的坐标． 提示：P1＝(－2，0)＋1/2·(x＋2，y) （各点横、纵坐标的一半）， 解：缩小后各点（与原图形同侧）： A1（－3，0）B1（0，－1） C1（1，1）D1（－2，2） E1（－3，1） 第五步：过P点作PQ⊥BC于点Q．四边形PQMN即为所求作的正方形． 6.在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形PQMN，使Q、M落在BC上，N、P分别落在AC、AB边上，作法如下： 第一步：画出一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形P′Q′M′N′ ； 第二步：连结BN′ ，并延长交AC于点N′； 第三步：过N′点作MN⊥BC交BC于点M； 第四步：过N点作PN∥BC交AB于点P； （1）请根据以上步骤作图； (2)上述所求作的四边形 PQMN是正方形吗？为什么？ 能力提升 16 6.在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形PQMN，使Q、M落在BC上，N、P分别落在AC、AB边上，作法如下： (2)上述所求作的四边形 PQMN是正方形吗？为什么？ 能力提升 证明：∵PQ⊥BC，MN⊥BC， ∴PQ∥MN； 且对应顶点的连线 BP、BQ、BM、BN 都经过点 B， 对应边 P′Q′∥PQ、Q′M′ 与 QM 共线、M′N′∥MN、N′P′∥NP， ∴ 四边形 PQMN 与 P′Q′M′N′ 位似（位似中心为 B）， 对应边成比例， ∴ PQ＝QM；又各角均为 90°， ∴ 四边形 PQMN 为正方形． 17 智慧建构 通过这节课的学习，你有什么收获？ 位似概念 对应顶点的连线（或延长线）交于同一点，且对应点到位似中心的距离之比相等． 位似性质 对应边平行（或在同一条直线上）；对应点的连线都经过位似中心； 利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小． 坐标规律 以原点 O 为位似中心、位似比为 k：对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）． 1．如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O(0，0)、A(4，3)、B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 位似的图形△OCD，且 OD:OB＝1:3，则点 C 的坐标为 . ，-1)　 补充习题 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且 ．点 A、B、E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为________． （3，2） 补充习题 3.在平面直角坐标系中. （1）取横坐标、纵坐标都是整数的四个点，画出以这四个点为顶点的四边形ABCD. （2）以坐标原点为位似中心，把四边形ABCD按相似比2:1放大，得四边形A'B'C'D'; （3）四边形A'B'C'D'的顶点坐标与四边形ABCD的顶点坐标有怎样的数量关系？ 补充习题 $