第十五章《轴对称》单元检测试卷（典型例题+针对训练+提优练习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册【提优专题+专项训练+测评试卷】

第十五章《轴对称》单元检测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是(  ) A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】D 【详解】A、B既不是轴对称图形，也不是旋转对称图形；C不是轴对称图形，是旋转对称图形；D是轴对称图形，不是旋转对称图形. 故选D. 点睛:本题考查了轴对称图形的识别.在平面内，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形. 2．若A（2a﹣b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，﹣3），则P（a，b）关于x轴对称点P1的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得方程组，解方程组，可得P点坐标，根据关于关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：由A（2a-b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，-3）， 得， 解得， ∴P（-2，-1）． P（-2，-1）关于x轴对称点P1的坐标是（-2，1）， 故选C． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】可依据题意线作出图形，结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A，利用“等角对等边”可得其为等腰三角形． 【详解】解：如图， DC平分∠ACE，且AB∥CD， ∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE， ∴∠B=∠A， ∴△ABC为等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 4．已知等腰三角形有两边长为和，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形周长，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论，求出符合条件的等腰三角形三边长度，继而求出周长． 【详解】解：∵等腰三角形有两边长为和， ①当为腰长时，即三边为，，， ∵， ∴可以构成三角形，此时周长为：， ②当为腰长时，即三边为，，， ∵，不符合构成三角形条件， ∴此种情况舍去， 故选：B． 5．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，CD=2，则DF的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，且∠ECD=60°，可知△EDC是等边三角形，已知EF⊥DE，∠DEF=90°，可得∠F=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60° ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60° ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90° ∴∠F=30° ∵∠ACB=∠EDC=60° ∴△DEC是等边三角形 ∴ED=DC=2 ∵∠DEF=90°，∠F=30° ∴DF=2DE=4 故答案为：4 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等；等边三角形的判定与性质，以及解含30°角的直角三角形． 6．如图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（    ）． A．20° B．30° C．35° D．70° 【答案】A 【分析】利用等边对等角依次可求得∠B和∠BAF的大小，根据等腰三角形三线合一可得∠BAD的度数，从而可得∠FAD的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵AB的垂直平分线交AB于点E， ∴AF=BF， ∴∠BAF=∠B=35°， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数是解题关键． 7．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图1． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； 故选：C． 8．如图，是的中线，，．把沿直线折叠，点落在点处，连接，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的知识，同时考查了等边三角形的性质和判定，判定出为等边三角形是解答本题的关键． 根据中点的性质得，再根据对称的性质得，判定三角形为等边三角形即可求． 【详解】解：根据题意：，为的中点；故． 由轴对称的性质可得：， ，， 故为等边三角形，故． 故选：C． 9．如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N，    ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴ ． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可． 【详解】如图1，以为边作等边，连接，    由题意 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过P作轴，垂足为T，    ∵是等边三角形，， ∴， ∵点A的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为1.5． 当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，11-12题每小题3分，13-16题每小题4分，共22分） 11．如图，在中，点在边上，．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据，可得，由三角形外角的性质可得，再由，即可解得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中， 的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点，则的度数是 答案】10° 【分析】根据垂直平分线的性质得，，先求出的度数，即可得出结果． 【详解】解：∵DF是AB的垂直平分线， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 13．如图，在中， 的垂直平分线、相交于点O，若，则_____．    【答案】10° 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】连接， 的垂直平分线交于点O， ， 故答案为：10°．    【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 14．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是_______个．    【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 16．如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ________ ． 【答案】/30度 【分析】连接，由都是等边三角形，是的中点，得，，，证明，所以，从而得在过并且垂直的线上运动，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，然后通过等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵都是等边三角形，是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在过并且垂直的线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，， ∴， ∴如图，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）一个等腰三角形的周长为25cm． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为6cm．求其它两边的长． 【答案】（1）10cm，10cm，5cm（2）9.5cm，9.5cm 【分析】（1）设底边长acm，则腰长2acm，根据等腰三角形的周长为25cm．即可得出答案； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】（1）解：设底边长acm，则腰长2acm ∵三角形的周长是25cm， ∴2a+2a+a＝25， ∴a＝5，2a＝10， ∴三角形的底边长为5cm，腰长为10cm，即各边的长为：10cm，10cm，5cm， （2）解：①底边长为6cm，则腰长为：（25﹣6）÷2＝9.5，所以另两边的长为9.5cm，9.5cm，能构成三角形； ②腰长为6cm，则底边长为：25﹣6×2＝13， ∵6+6=1213，∴不能构成三角形． 因此另两边长为9.5cm，9.5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 18．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，△ABC的顶点坐标分别是A（a，4），B（-1，2）和C（-1，6）． （1）已知点A（a，4）关于x轴的对称点P的坐标为（-5，b），求a，b的值； （2）画出△ABC，并求出它的面积； （3）画出与△ABC关于y轴成对称的图形△A1B1C1，并写出各个顶点的坐标． 【答案】（1）a=-5，b=-4； （2）如图：△ABC即为所求 S△ABC=； （3）如图：△A1B1C1即为所求 A1（5,4）、B1（1,2）、C1（1,6）． 【分析】（1）利用关于x轴的对称点的坐标特点直接写出答案即可； （2）先确定A、B、C点的位置，然后顺次连接，最后运用三角形面积公式计算即可； （3）先确定A、B、C三点关于y轴对称的对称点位置，然后顺次连接即可；最后直接写出A1、B1、C1的坐标即可． 【详解】解：（1）∵点A（a，4）关于x轴的对称点P的坐标为（-5，b） ∴a=-5，b=-4； （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查了轴对称变换的作图题，确定组成图形的关键点的对称点是解答本题的关键． 19．（8分）如图，平分，点在上，点在的延长线上，且 ，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】利用平行线的性质得出，再利用角平分线的定义得出，然后等量代换得出，利用等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 20．（12分）如图，在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； (2)连接，若 ，则_____ （用含x的代数式表示）． 【答案】(1)如图所示，所作即所求； (2) 【分析】（1）根据用尺规作线段的垂直平分线及角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线定义可得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，再由垂直平分线的性质可得，即，即可得出的度数． 【详解】（1）解：①如下图， 分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P、Q，连接，交边于点E，交边于点M，则即为的垂直平分线； ②如上图， 以点C为圆心，任意长为半径画弧，交边、于点G、H，分别以点G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧在内部交于点K，作射线交边于点F，则即为的平分线； （2）解：如下图， ，， ， 由作图知：垂直平分，平分， ，， ， ． 21．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F． （1）若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ （2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ （3）若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）． 【答案】（1）CD＝PE+PF，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD． 【分析】（1）如图1，连接PA，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）连接PA，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）如图2和图3，连接PA，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】（1）CD＝PE+PF．理由如下： 如图1，连接PA． ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． ∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF． 又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF． ∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF． （2）成立，理由如下： 连接PA． ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． ∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF． 又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF． ∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF． （3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．理由如下： 如图2，连接PA． ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． ∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF． 又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AB×CDAC×PFAB×PE． ∵AB＝AC，∴CD＝PF﹣PE． 如图3，连接PA． ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． ∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF． 又∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF． ∵AB＝AC，∴CD＝PE﹣PF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用． 22．（10分）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC， (1)求∠APO+∠DCO的度数; (2)求证:点P在OC的垂直平分线上. 【答案】（1）30°； （2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， ∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形， ∴OP=PC， ∴点P在OC的垂直平分线上 【分析】（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解； （2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形，进而解答即可． 【详解】解：（1）如图1，连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30° ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO， ∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°； （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 23．（12分）学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°． （1）请你完成这道思考题； （2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ … 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；选择一个给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①是；②是；证明见解析. 【分析】（1）可证明△ABM≌△BCN，可求得∠BAM=∠CBN，再再利用外角的性质可证∠BQM=60°； （2）①由∠BQM=60°可求得∠BAM=∠CBN，可证明△ABM≌△BCN，可求得BM=CN；②由条件可证明△ABM≌△BCN，同（1）可求得∠BQM=60°． 【详解】（1）证明： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°， 在△ABM和△BCN中 ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM=∠CBN， ∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABM=60°； （2）①是，证明如下： ∵∠BQM=60°， ∴∠ABM=∠BQM， ∴∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ， ∴∠BAM=∠CBN， 在△ABM和△BCN中 ∴△ABM≌△BCN（ASA）， ∴BM=CN； ②是，证明方法同（1）． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 24．（12分）如图．在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A=60°，他将△ABC折叠压平使点A落在点B处，折痕DE，D在AB上，E在AC上． （1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）判断△ABE的形状并说明； （3）若AE=5，△BCE的周长为12，求△ABC的周长． 【答案】 （1）如图1所示： （2）△ABE是等边三角形； （3）17； 【分析】（1）作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由∠A=60°，即可得出△ABE是等边三角形； （3）由三角形的周长和AE=BE得出BC+AC=13，由等边三角形的性质得出AB=AE=6，即可得出△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据题意得： 作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求． （2）△ABE是等边三角形，理由如下： 如图2所示： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE，   ∵∠A=60°， ∴△ABE是等边三角形；    （3）∵△BCE的周长为12， ∴BC+BE+CE=12， ∵AE=BE， ∴BC+AC=12，             ∵△ABE是等边三角形， ∴AB=AE=5，            ∴△ABC的周长=AB+BC+AC =5+12=17． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 25．（12分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一： 如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：______；（填“能”或“不能”） （2）若，则______度； 活动二： 如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考： （3）若已经向右摆放了3根小棒，则______，______，______（用含的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求的范围． 【答案】（1）能；（2）；（3）；；；（4） 【分析】（1）因为角的两条边为两条射线，没有长度限制，所以小棒可以无限摆下去； （2）根据直角三角形的性质、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出； （3）根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可推出，即可推出，同理即可推出，； （4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵角的两边为两条射线，没有长度限制， ∴小棒可以无限摆下去； （2）∵，， ∴为等腰三角形，， ∴； （3）∵，, ∴， ∴， ∴； （4）∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质， ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了射线的性质、等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章《轴对称》单元检测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是(  ) A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 2．若A（2a﹣b，a+b）关于y轴对称点是A1（3，﹣3），则P（a，b）关于x轴对称点P1的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 3．如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．已知等腰三角形有两边长为和，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 5．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，CD=2，则DF的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（    ）． A．20° B．30° C．35° D．70° 7．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（    ） A． B． C．或 D．或 8．如图，是的中线，，．把沿直线折叠，点落在点处，连接，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，，平分，且，若点M，N分别在，上，且△为等边三角形，则满足上述条件的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（    ）    A．1.5 B．2 C．3 D．1 二、填空题（本大题共6小题，11-12每小题3分，13-16每小题4分，共22分） 11．如图，在中，点在边上，．若，则_______． 12．如图，在中， 的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点，则的度数是 13．如图，在中， 的垂直平分线、相交于点O，若，则_____．    14．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 15．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是_______个．    16．如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ________ ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）一个等腰三角形的周长为25cm． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为6cm．求其它两边的长． 18．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，△ABC的顶点坐标分别是A（a，4），B（-1，2）和C（-1，6）． （1）已知点A（a，4）关于x轴的对称点P的坐标为（-5，b），求a，b的值； （2）画出△ABC，并求出它的面积； （3）画出与△ABC关于y轴成对称的图形△A1B1C1，并写出各个顶点的坐标． 19．（8分）如图，平分，点在上，点在的延长线上，且 ，交于点．求证：是等腰三角形． 20．（12分）如图，在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； (2)连接，若 ，则_____ （用含x的代数式表示）． 21．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F． （1）若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ （2）若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ （3）若P为直线BC上任意一点，则PE，PF，CD三条线段间有何数量关系（请直接写出）． 22．（10分）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC， (1)求∠APO+∠DCO的度数; (2)求证:点P在OC的垂直平分线上. 23．（12分）学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°． （1）请你完成这道思考题； （2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ … 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；选择一个给出证明． 24．（12分）如图．在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A=60°，他将△ABC折叠压平使点A落在点B处，折痕DE，D在AB上，E在AC上． （1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）判断△ABE的形状并说明； （3）若AE=5，△BCE的周长为12，求△ABC的周长． 25．（12分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设，小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． 活动一： 如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：______；（填“能”或“不能”） （2）若，则______度； 活动二： 如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考： （3）若已经向右摆放了3根小棒，则______，______，______（用含的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求的范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $