第十五章 轴对称--等边三角形 专题练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章 轴对称--等边三角形 重点题型归纳 专题练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．等边三角形边长为a厘米，当边长增加4厘米时，它的周长是（    ）厘米． A． B． C． D． 7．古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（    ）米      A．12 B． C． D．21 8．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 9．在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 10．三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余），如图，其中，，则正确结论是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是等边的高，若，则的长为_________． 12．如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 13．如图，池塘旁边有一条笔直的小路和一棵小树A．测得的相关数据如下：．由上述数据可知__________m． 14．在中，已知，，则的取值范围是_____． 15．如图，在中，点D为上一动点，连接，点E为线段上一点，点F，点G分别为边，边上的动点，若，则的周长的最小值为_____．    16．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 17．如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，则的面积为______． 三、解答题 19．在直角三角形中，，三等分，，求证：． 20．如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 21．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 22．如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 23．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D D D C D B C 1．B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 2．A 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 3．B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 4．D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 5．D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 6．D 【分析】根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】∵等边三角形边长为a厘米， ∴当边长增加4厘米时，边长为厘米， ∴它的周长是厘米． 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 7．C 【分析】如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E，证明都是等边三角形，得到，再证明得到，则，即可得到，，设，则，求出，即可求出． 【详解】解：如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则炮索的长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到水平地面的距离是， 故选C．    【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 9．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；然后延长，交于一点，同理证明是等边三角形，再运用三角形三边关系进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则是等边三角形， ∴， ∵三根长度相等的铁丝分别各围成一幅平面图形（均无剩余）， ∴设铁丝长度为， ∴； 同理，证明是等边三角形， 则， 则， ∴， ∵， ∴， 延长，交于一点，如图所示： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 11．2 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 【详解】解：∵是等边的高， ∴． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键掌握三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形． 根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：三条边相等的三角形是等边三角形，三个内角是的三角形是等边三角形， ①如图，添加或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②添加或或时， ∵，， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一）． 13．48 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质；证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：48． 14． 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质．作点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，连接交于F，交于G，则此时，的周长最小，最小值，根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：作点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N，连接交于F，交于G， 则此时，的周长最小，且的周长的最小值， 连接，    ∵点E关于直线的对称点M，点E关于直线的对称点N， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6， 故答案为：6． 16．11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 18．6 【分析】先证明，得到，，，即可求解． 【详解】∵A点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴． 19．证明：，，三等分， ， ， ， ． 【分析】通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】略 20．(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． (2) 解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)8 (2) 是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）略 22．(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再根据定理即可得证； （2）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴ ． 23．(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 学科网（北京）股份有限公司 $