【刷考点】2.4恒成立问题、有解问题大总结（13个考点题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

恒成立问题、有解问题·考点一遍过 目录 考点01 判别式法 考点02 最值法 考点03 某区间上的恒成立 考点04 分离参数法 考点05 分类讨论型 考点06 更换主元法 考点07 实数集合上的有解问题 考点08 区间上的有解问题 考点09 根的分布法求有解问题 考点10 含参分段型 考点11 双变量最值比较型 考点12 绝对值型 考点13 解答题综合 考点01 判别式法 1．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】当时，解得，此时，符合题意，当时，解得， 若不等式的解集为，可得，解得， 综上可得实数的取值范围为. 考点02 最值法 2．若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因，则，则，等号成立时，因恒成立，则 ，故实数的取值范围是. 考点03 某区间上的恒成立 3．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，，对任意恒成立，因为，所以当时，的最小值为，所以. 考点04 分离参数法 4．已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为_________ 【答案】 【详解】对任意恒成立，即 对任意恒成立，则， 令，则在上单调递增，所以，故， 则实数 a 的取值范围为.故答案为： 考点05 分类讨论型 5．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，.∵二次函数，∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴，∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时，函数在区间上递减，在上递增， ∴，∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或，∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 考点06 更换主元法 6．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】利用主元思想将转化为关于的函数.令. 是关于的增函数.要使对成立，只需保证最大值. ,解得.故答案为： . 考点07 实数集合上的有解问题 7．，使成立，求m的取值范围______； 【答案】 【详解】因为，使成立，所以，解得得或． 故答案为： 考点08 区间上的有解问题 8．，使成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由于当时，不等式，要，使成立，即满足.因为函数在上单调递增，所以，即， 故答案为： 考点09 根的分布法求有解问题 9．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题，可得命题的否定：“，使得”是真命题，设，则在上恒成立， 所以，即，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点10 含参分段型 10．已知函数，若对于任意的，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】当时，解得，可得在上单调递减，在上单调递减，如图（1）所示，此时函数是上的减函数，则对任意成立，符合题意； 当时，如图（2）所示， 若，即对于恒成立， 即对于恒成立， 设，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，则满足，解得，不符合题意，舍去 当时，则满足， 即，解得，解得，所以， 综上：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 考点11 双变量最值比较型 11．已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______. 【答案】 【详解】解：依题意显然，因为对任意，总存在，使得， 所以存在，使得， 故在上有解，即在上有解. 设，其图象的对称轴为， 若，即，则此时，故不成立； 若，即，此时需在上，即， 故，解得. 故答案为： 考点12 绝对值型 12．已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】设，，则，对于固定的，在的值域是，值域的区间长度为，此时函数在的最大值为的含义是：数轴上，点到区间上所有点的最大距离为. 若，则，若或，则，所以. 对任意恒成立等价于，即：， ， ①当时，即：时，在上单调递增，所以 ，令，解得，符合题意； ②当，即：时，，而，， 若，则：，，因为，所以 ，则 ，不满足条件； 若，则，，令，解得：或，不满足条件； ③当，即：时，在上单调递减，所以，令，解得：，符合条件. 综上所述，的取值范围为. 考点13 解答题综合 13．已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因为，则，所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，，，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 14．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数为偶函数可知，对任何都有， 得，即对任何恒成立， 平方得对任何恒成立，而不恒为0，则； （2）将不等式化为， 即（*）对任意恒成立， ①当时，将不等式（*）可化为，对上恒成立， 又在为单调递增， 只需，解得； ②当时，不等式（*）可化为对恒成立， 由①可知，则在为单调递减， 只需，解得或，即； ③当时，将不等式（*）可化为对恒成立 又在为单调递增， 只需，解得或，即， 综合①②③可知：的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $恒成立问题、有解问题·考点一遍过 目录 考点01判别式法 考点02最值法 考点O3某区间上的恒成立 考点04分离参数法 考点05分类讨论型 考点06更换主元法 考点07实数集合上的有解问题 考点08区间上的有解问题 考点09根的分布法求有解问题 考点10含参分段型 考点11双变量最值比较型 考点12绝对值型 考点13解答题综合 考点01判别式法 1.若关于x的不等式a-2)r-2a-2)-4<0的解华为R,则实数“的取省范围为 考点02最值法 2.若>1上且+>㎡恒成立，则实数m的取值范围是 考点03某区间上的恒成立 3.若命题。x1,P-2->0”为真命题，则实数“的取值范围为 考点04分离参数法 4.已知函数f田=2-ar+1 对任意x2,4f)s0 恒成立，则实数a的取值范围为 考点05分类讨论型 5.已知二次西数()=2+：+1，设对任意的xe6,6+2,都有f>2恒成立，则实数6的取值 范围为一 考点06更换主元法 6.若不等式m2+3x+2m<0对mc0]恒成立，则实数的取值范周为 考点07实数集合上的有解问题 7.3∈R,使-m,+4≤0 成立，求m的取值范围一： 考点O8区间上的有解问题 8.3x∈，2，使-a心-2>0成立，则实数0的取值范围是 考点09根的分布法求有解问题 ).若命题。x-2,使得2+m-m-8≥0”是假金题，则m的取值范围为 考点10含参分段型 -2x+2a,x<2 10.已知函数 ()--2+x之2，若对于任意的xeR,/(x-2)之f(四，则实数a的取值范国是一 考点11双变量最值比较型 1,已知a>0,函数f四=+，8（创=x-分，若对任意x-a,d总存在5-a,d小，使得 f(x)≥g),则a的取值范围为 考点12绝对值型 12.已知4，beR,函数（④---A在0，上的最大值为M,若M≥1对任意b恒成立，则a的取 值范围为」 考点13解答题综合 13.已知二次函数（闭=a++c(a≠0）满足f0)-1.f+川-f(个-2x ①求(~)的解析式： ②若西数8()-(“在区间1,2习上的最小值为3，求实数人的值： 8)若对任意xc4,有不等式f)≥(m+)r-(2+m)x- 恒成立，求实数m的取值范围. 14.已知函数 f(x)=x2-2lx-al(aER) Q)若函数四为偶函数，求“的值 ②当0>0时，若对任意的∈0，+），不等式f-)s2恒成立，求实数“的取值范园