第1-3章期中模拟卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 第1-3章期中模拟卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 4．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A．∠B=90。 B． C． D． 5．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 9．如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．方程 x² - 9 = 0 的两个根是________________． 12．一个数比它的平方小6，设这个数为x，可列方程为________________． 13．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ． 14．如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 15．如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为 ． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 17．若，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求实数m的值； (2)若该方程没有实数根，求实数m的取值范围． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，，点在的延长线上，射线平分． (1)尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 20．已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 21．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 五．解答题（三）（22题13分，23题14分） 22．综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 23．在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《期中检测模拟卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A C D A D C A 1．C 【分析】A选项含有两个未知数，是二元一次方程； B选项分母中含有未知数，是分式方程； D选项化简后为−4x+1=0，是一元一次方程； 只有C选项符合一元二次方程的定义． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．C 解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 4．A 解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似图形的周长比等于位似比． 先根据求出位似比，再结合位似图形周长比等于位似比，计算的周长． 【详解】解：由，得， 因为与是位似图形，位似比为， 所以它们的周长比为． 已知的周长为，设的周长为，则，解得． 故选：C． 6．D 解：∵在正方形中，，为的中点， ∴，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 故选：D． 7．A 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 8．D 【分析】本题考查了命题，平行四边形、矩形、菱形的判定，熟练掌握各判定方法是解题关键．根据平行四边形、矩形、菱形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，则此项命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线相等的平行四边形是矩形），则此项命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，则此项命题是假命题，不符合题意； D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，则此项命题是真命题，符合题意； 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 10．A 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 11. x₁ = 3, x₂ = -3 解析：移项得x² = 9，开平方得x = ±3。 12. x² - x = 6（或x² - x - 6 = 0） 解析：“它的平方”即x²，“数比平方小6”即x = x² - 6，整理即可。 13． 解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ． 故答案为：． 14． 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 15． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴， 如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，……， 以此类推可得，， 故答案为：． 16． 解：（1） 移项得， 两边同除以9得 开方得 即 （2） 移项得） 配方得 即 开方得x-1=±3 解得x1=4，x2=-2 17．5 【分析】设，得到，进而可解答； 本题主要考查成比例线段的应用，掌握相关求解方法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了方程的根，一元二次方程根的判别式； （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 掌握根的判别式：“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）解：该方程没有实数根， ， 解得：． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的性质，先作线段的垂直平分线，该垂直平分线与射线的交点即为所求的点，此时点到、两点的距离相等，满足的条件； （2）先利用等腰三角形等边对等角的性质，由推出；再根据角平分线的定义得到；接着利用三角形外角的性质，得出是的外角，因此∠，结合角平分线的结论进一步推出；然后结合作图得到的，再次利用等边对等角得到，从而推导出且；最后根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，证明． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）证明：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵为的外角， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 20．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1) 解：如图，点P就是位似中心； ； (2)；； (3) 解：如图，就是所求作的三角形． 【分析】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连接，，即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）略 22．(1)； (2)，； (3) 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）略 23．(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】（1）矩形的性质，得到，，进而得到，易得，推出，进而得到，推出，即可得证； （2）取的中点，连接，斜边上的中线，得到，等边对等角，结合三角形的外角，推出，进而得到，证明，得到，设，求出，根据，得到，求出的值，再根据等腰梯形的两腰相等，即可得出结果； （3）延长，交于点，连接，证明，得到，，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，以及平行面积转化，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵四边形为等腰梯形，， ∴； （3）解：延长，交于点，连接， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰梯形的性质，平行四边形的性质，斜边上的中线，等边对等角，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 答案第12页（共13页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $