2026-2027学年人教版九年级数学上学期期中模拟检测卷

人教版2026-2027学年九年级数学上学期 期中模拟检测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：第25章-第28章。 评卷人 得分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象上三点，则由大到小排列正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 5．关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 6．如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 7．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 9．随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 评卷人 得分 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若函数是反比例函数，则的值为______________． 12．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___． 14．如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 15．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：①0；②；③；④，正确的结论是______填序号）． 16．定义：在反比例函数的图象上，若点的横纵坐标之和与点的横纵坐标之和的比值等于，则称点是点的“相伴点”．如图，点、是该函数在第一象限内图象上的两点，轴于点．若，，且点是点的“相伴点”则点的坐标是_______________． 评卷人 得分 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． (1)某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 18．根据题目条件，解答下列各题 (1)法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么________，________． (2)已知方程的两根分别是，，那么________，________； (3)已知方程的两根分别是，，且，求的值； (4)已知、是方程的两个根，则________． 19．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且点B的坐标为，点C的坐标为，一次函数的图象过点A、C两点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； (3)结合图象，直接写出时自变量x的取值范围． 20．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)写出点关于原点对称的点的坐标__________； (2)画出绕原点逆时针旋转90°得到的； (3)在（2）条件下求的面积． 21．在平面直角坐标系中，函数和直线（为常数，且）的图象如图所示，若函数与的图象有一个交点． (1)___________，___________； (2)直接写出不等式的解集； (3)过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点所连线段的中点，求此时n的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． (1)求，的值； (2)在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； (3)关于的不等式的解集为________． 23．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．将军饮马问题是一道典型的几何最值问题，下面一起探究相关问题． (1)如图1，点，是直线外的定点，，点P是直线上一动点，连接，，求的最大值． (2)如图2，在等腰中，，，作中点，延长至点，使得，在上取点，使得，求的最大值． (3)如图3，在等腰中，，，点P为动点且，求的最大值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C D C C B D D 1．D 【详解】解：选项A的方程含，两个未知数，不是一元二次方程． 选项B的方程未说明，当时不是二次方程，不一定是一元二次方程． 选项C的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 选项D的方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． 2．A 【分析】两条图象都经过点，且开口方向与直线的倾斜方向由同一个决定． 【详解】解：一次函数与二次函数中，相同， 两图象都经过轴上的点； 当时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为，在轴左侧，选项A符合题意； 当时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B，C，D均不符合题意． 3．A 【分析】将各点横坐标代入解析式，求得函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴． 4．C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 5．D 【分析】移项提取公因式求解，避免直接除以含未知数的式子丢根． 【详解】解：A、未考虑的情况，故计算错误； B、不是，故计算错误； C、配方时，等式两边应该加，故计算错误； D、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴，，该解法与选项D完全一致，故计算正确． 6．C 【分析】设，；根据轴可推出点B的纵坐标为，横坐标为，再由求解即可． 【详解】解：设， ∵E为的中点， ∴； ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ ． 7．C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 8．B 【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，该抛物线的开口向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且点和点都在抛物线上， 而，，， ∴，故②错误； 由图象知，当时，为最大值， 当时，， ∴对于任意实数m，都有， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，则，故④正确， 综上，正确的有③④，故选项B符合题意． 9．D 【分析】根据“遥望函数”定义，结合关于原点对称的点的坐标特征，将问题转化为一元二次方程有实根的问题，通过判别式确定的取值范围． 【详解】解：设函数上的点与函数上的点关于原点对称， 将代入，得， 整理得， ∵两函数互为“遥望函数”， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵， ∴的值不可能是2026． 10．D 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．2 【分析】根据反比例函数的定义，得到指数为且系数不为，列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且 ∴． 12． 【分析】先利用勾股定理求得，再根据旋转性质得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由旋转性质得，，， 在中，， ∴． 13．且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，列不等式，再根据一元二次方程有两个不相等实数根即可得，据此列不等式，解出即可得m的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， ∴，解得：， ∵原方程有两个不相等的实数根 ∴，解得：， 综上所述，的取值范围是且. 14． 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 15． 【分析】对于①，根据图象判断、、的符号即可；对于②，由对称性可知二次函数的图象与轴的交点为与，则；对于③，由对称轴为即可判断；对于④，将与都用表示，结合的符号进行判断． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵二次函数的图象交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， ∵二次函数的图象交轴于点， ∴由二次函数的对称性可知，另一个交点为， ∴，故②错误， ∵，且， ∴，即， ∴， 综上，正确的结论为③④． 16．或 【分析】根据可知的取值，进而可知的坐标，进而根据新定义构造方程即可求解． 【详解】解：∵，，且在第一象限， ∴点且， 将点代入反比例函数得：， 解得：或（舍去）， 则点 设点， 又∵点是点的“相伴点”， ∴满足， 解得：或， 经检验，或是方程的解， ∴点的坐标是或． 17．(1)1750元 (2)60元/千克或80元/千克 【分析】（1）设螃蟹的售价为x元/千克，根据每涨价1元，每天少销售2千克，某天商家正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为y元/千克，根据商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设螃蟹的售价为x元/千克，根据题意得： ， 解得：， ∴元， 答：某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； （2）解：设螃蟹的售价为y元/千克，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：当天螃蟹的售价为60元/千克或80元/千克． 18．(1)， (2)6；0 (3) (4)2 【分析】（1）根据求根公式表示出一元二次方程的两个实根，即可解答； （2）先把原方程化为一般式，再仿照题意求解即可； （3）先仿照题意得到，再根据求出的值即可得到答案； （4）先根据题意和一元二次方程解的定义得到，再根据所求可以变形为进行求解即可． 【详解】（1）解：对于有两个实根的一元二次方程， 由求根公式得， 那么，．​ （2）解：∵方程，即的两根分别是， ． （3）解：∵方程的两根分别是，， ， ， ， ． （4）解：∵、是方程的两个根， ， ， ． 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点A的坐标； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，， 此二次函数的图象与轴的另一个交点A的坐标为； （3）解：观察图象可知， 当或时，一次函数的图象在二次函数的图象下方，即． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标的对称性（关于原点对称，横纵坐标改变，且为原来坐标的相反数）即可求出答案． （2）分别确定绕原点逆时针旋转的，和三点位置，顺次连接即可得到． （3）根据旋转的性质和已知条件确定等腰直角三角形，推出，利用勾股定理求出的长度，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， 点关于原点对称的点的坐标是． （2）解：①连接，将绕原点逆时针旋转即可得到，确定点位置， ②两点都在轴上，绕原点逆时针旋转，确定和的位置都在轴的负半轴上，且距离分别为6和1． ③将，和三点连线即可得到． （3）解：连接，如图所示， 由直角坐标系可知，， 逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ． 21．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把交点 代入反比例函数 求 ，再代入一次函数 求 ． （2）由 得不等式 ，结合两函数图象交点横坐标直接写出解集． （3）过 作水平直线 ，分别与 、 交于 、，则三点纵坐标相同，分 、、 分别为中点三种情况，用中点坐标公式列方程求解并检验 ． 【详解】（1）解： 点 在函数 （）的图象上， ． 又点 在直线 上， ，解得 ． （2）解：由（1）知 ，不等式 即为 ． 函数 与 的交点横坐标为 和 ． 结合图象，当 或 时，直线 在双曲线 下方或与它相交， 不等式 的解集为 或 ． （3）解：设 （），过点 作平行于 轴的直线 ． 点 在 上， ． 点 在 上， ． 点 、、 均在直线 上，分三种情况讨论： ① 当 是线段 的中点时，， 即 ，整理得 ， 解得 ，均满足 ． ② 当 是线段 的中点时，， 即 ，整理得 ， 解得 ，其中 舍去， ． ③ 当 是线段 的中点时，， 即 ，整理得 ． ， 方程无实数解． 综上所述， 的值为 、 或 ． 22．(1) (2)点的坐标是或 (3)或 【分析】（1）把代入和求出即可； （2）设此直线交轴于点C，求得，，再根据面积求出点P坐标； （3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方时对应的x的值． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于， ∴把代入和，得： ，， 解得：； （2）解：由（1）知，直线表达式为，设此直线交轴于点C，如下图： ∴， 解得：， ∴， ∵直线，当时，， 解得：， ， ∵在轴上找一点，使得的面积等于12， ∴， ， ， ∴点的坐标是或； （3）解：由图可知，双曲线的图象在一次函数的图象的上方时满足不等式， ∴x的取值范围为或． 23．(1) (2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴ ， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 24．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可； （2）过点作于点，连接，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据三角形的三边关系求解即可； （3）当三点共线时，点一定在线段上，此时，再将绕点逆时针旋转，得到，其中，点的对应点为点，点的对应点为点；过点作于点，则，求出的长，根据求解即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知，，当直线延长后与直线交于点时，三点共线，等号成立， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2． （2）解：如图，过点作于点，连接， ∵在等腰中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 由三角形的三边关系可知，，当三点共线时，等号成立， ∴， ∴的最大值为． （3）解：如图，过点作于点， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴当三点共线时，点一定在线段上，此时， 如图，将绕点逆时针旋转，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点；过点作于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，，当三点共线时，等号成立， ∴， ∴， ∴的最大值为． 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