精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

2025-2026学年第一学期九年级 数　学 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质，掌握中心对称图形的特征是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，一个图形绕某个点旋转后与原图形重合的图形，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：该图形绕正六边形的中心旋转后能与原图形重合，满足要求，符合题意； 选项B、C、D中的图形绕任意一点旋转后都不能与原图形重合，不满足要求，不符合题意； 故选A． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 通常加热到时，水沸腾 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件、不可能事件和必然事件的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，该选项不符合题意； 、从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，该选项符合题意； 、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，该选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，该选项不符合题意； 故选：． 3. 关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中的， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，若，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据旋转和全等的性质可得，，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 6. 已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值．直接计算点A和B的纵坐标，的值，并比较它们与 1 的大小关系． 【详解】解：将，代入，得： ， ， ∴ ，即 ． 故选：A． 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 二次函数的最小值为___________． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，即可得到函数的最小值. 【详解】解：在二次函数中， ∵， ∴当时，函数有最小值； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出函数的最小值. 10. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 11. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为68万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据年平均增长率的定义，2023年的出口量为万辆，2024年的出口量为万辆，结合2024年出口量达到210万辆，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，则2023年出口量为万辆，2024年出口量为万辆． 根据题意，2024年出口量为210万辆， 因此列方程为． 故答案为：． 12. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格数据可得，随着移植棵数逐渐增加，成活的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的原理，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为， 将精确到，结果为． 13. 如图，是半圆的直径，，，则的长为 _______．（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，等边对等角．设半圆的圆心为O，连接，求出圆心角，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设半圆的圆心为O，连接，如图， ， ， ， ， 的长为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 15. 已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数不等式解集可得方程的两根，求出抛物线对称轴；再用作差配方比较两点纵坐标大小，结合开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大，列出绝对值不等式，进而求出的取值范围． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向上，且方程的两根为， 抛物线的对称轴为， 又点、均在抛物线上，， ， 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，而点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ，即， ． 16. 如图，是的内接三角形，，，将绕点A逆时针旋转后得到（点B，C的对应点分别为D，E）．当与相切时，恰好所在的直线也与相切，若的半径为3，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先画出图形，设所在的直线也与的切点为，连接，，，，连接过的直径，连接，连接交于，过作于，由，的半径为3，可得，，，再由旋转可得，，由切线长定理可得，，，，得到，，再证明，求出，再在中利用勾股定理求即可． 【详解】解：设所在的直线也与的切点为，连接，，，，连接过的直径，连接，连接交于，过作于， ∵，的半径为3， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵当与相切时，恰好所在的直线也与相切， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 由图可得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及切线长定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 18. 如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵且交的延长线于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，则，而，即可根据证明，则． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键． 20. 随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． （2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人 （2）恰好抽到2名男生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率，扇形统计图，条形统计图， （1）由非常了解的学生人数及其所占百分比可得人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得； （2）将抽取分别记为第一次和第二次，列表表示出所有可能出现的结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，再利用概率公式计算即可得； 掌握概率，扇形统计图，条形统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：（1）本次调查的学生总人数为， “不了解”对应的百分比， ∴估计该校名学生中“不了解”的人数是（人）， 即估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人； 【小问2详解】 解：将抽取分别记为第一次和第二次，用下表列出所有可能出现的结果 第一次 第二次 由表可知，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，可能出现的结果有种，恰好抽到2名男生的结果有2个， ∴P（抽到2名男生） ， 即恰好抽到2名男生的概率为． 21. 如图，在中，，． （1）在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图即为所求． （2） 直线与相切． 证明：如图所示，连接． 在中，， ． ． 经过点，， ． ． ，即． 点在上， 直线与相切． 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，垂直平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线， （1）利用垂直平分线的性质即可判断； （2）连接，证明出即可． 【小问1详解】 作的垂直平分线交延长线于点，以点为圆心，为半径作圆． 【小问2详解】 略 22. 如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值； （2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值． 【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6， ∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6； （2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°， ∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得 +﹣1＝0， 解得＝， ∵n＞m＞0， ∴＝． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 23. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔． （1）写出与h的关系式：并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶使射出水的最大射程增加，试问垫高的高度是否可以等于最大射程？若可以请求出此时垫高的高度，若不可以请说明理由． 【答案】（1）+当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20； （2）或； （3）垫高的高度不可以等于最大射程．理由： 设垫高的高度为m，则， ∵， ∴当时，有最大值，s的最大值为， 依题意得：， 无解， ∴垫高的高度不可以等于最大射程． 【解析】 【分析】（1）将写成顶点式，按照二次函数的性质得出的最大值，再求的算术平方根即可； （2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为m，写出此时关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当时，s有最大值20． ∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20； 【小问2详解】 解：∵， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 24. 在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，过点M作交于点G，连接， 则． 在和中． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角得到，证明，即可得出结论； （2）过点M作交于点G，连接，证明，得到，，进而得到，倒角推出，得到，进而推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， （1）求抛物线的解析式； （2）矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间 ②存在或使得直线平分矩形面积 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，矩形的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，二次函数图象的性质得到，顶点的坐标为，运用待定系数法即可求解； （2）①根据题意得到，由二次函数图象平移的性质，图形结合分析即可求解； ②由题意得到平移后的抛物线的顶点在抛物线上，再求出它与的交点，由数形结合思想可得将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积，从而得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在轴上，且位于第一象限， ∴， ∵抛物线的顶点在线段上， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①由题意可得，抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵矩形与矩形关于原点对称， ∴，如图所示， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， 线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴当抛物线向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到， 抛物线向下平移个单位得到，使得平移后抛物线经过点， 设抛物线，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标， ∴向下平移的范围是之间， ∴若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间； ②存在，理由如下， ∵， ∴， 当抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴得到解析式为：， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点为， 令 则平移后的抛物线的顶点在抛物线上， 令，解得，， ∴，， 则，是靠近其端点的两个四等分点， 因此，只需将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积， 如图所示， ∵，，原抛物线的顶点是 ∴当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； 当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； ∴或 ∴存在或使得直线平分矩形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级 数　学 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 通常加热到时，水沸腾 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 8. 勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 二次函数的最小值为___________． 10. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 11. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为68万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程______． 12. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 13. 如图，是半圆的直径，，，则的长为 _______．（结果保留）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______． 15. 已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是，则的取值范围是______． 16. 如图，是的内接三角形，，，将绕点A逆时针旋转后得到（点B，C的对应点分别为D，E）．当与相切时，恰好所在的直线也与相切，若的半径为3，则的长为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程． 18. 如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． （2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 21. 如图，在中，，． （1）在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 22. 如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 23. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔． （1）写出与h的关系式：并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶使射出水的最大射程增加，试问垫高的高度是否可以等于最大射程？若可以请求出此时垫高的高度，若不可以请说明理由． 24. 在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， （1）求抛物线的解析式； （2）矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $