福建莆田市秀屿区北京大学附属中学莆田学校2026-2027学年上学期九年级 第一次学情自测数学试题

2026-2027学年北附九年级上第一次月考试卷 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2.二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 3.已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 4.一元二次方程配方后可变形为（ ） A． B． C． D． 5.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A． B． C． D． 6.过中秋了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了1560条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A． B． C． D． 7.反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B．3 C．3 D．3 8.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 10.如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A,B两点，若反比例函数 （x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A．2≤k≤8 B．2≤k≤9 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11.一元二次方程x2=2x的解为 12.抛物线y=-x2-3x+4的对称轴为直线x= 13.抛物线y=x2-2x+c与x轴只有一个交点，则c= 14.反比例函数y=过点（m，2）和（-4，3），则m= 15.若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2-4x1x2的值为 16.已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 三．解答题（9小题，共86分） 17．解方程： （1）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）； （2）． 18．如图，四边形为矩形，，分别是边，上的中点，连接，，求证：AE=CF 19．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 20．北附九年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下： (1)求扇形统计图中成绩为“5~7分”所占扇形的圆心角度数； (2)学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． (3)班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 张颖 8 8 8 8 8 8 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 21．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣2m+1＝0， （1）求该方程根的判别式△（用含m的式子表示）； （2）若该方程的两个实数根互为倒数，求m的值． 22．第20届亚运会举办掀起了一波体育热潮，某纪念品商店推出了一整套运动徽章，涵盖了本届奥运会所有的比赛项目，受到消费者的热捧．已知每枚徽章的成本为22元，商店销售该种徽章一段时间后，发现徽章的周销售量y（单位：枚）与每枚徽章的售价x（单位：元）满足一次函数关系，函数图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）商店应如何定价才能使周销售利润最大？最大周销售利润是多少元？ 23．已知实数a，b满足a+b＝5，ab＝2． （1）请直接写出一个关于x的一元二次方程，使得满足以上条件的a，b是这个方程的两个实数根； （2）求的值． 24．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象 与图形表 示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规 范整理 如图当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据 采集 棚顶最高点到地面距离为米，棚顶与立柱交点到地面距离为米，两点水平距离为米． 已知车身长约米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 25.如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． (3)连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 2025-2026学年北附九年级上第一次月考试卷 参考答案与试题解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D D A A C C B 二．填空题 11．x1=0, x2=2 12．- 13．1 14．-6 15．7 16．0 三．解答题（共9小题） 17．解：（1）x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）， x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝，x2＝3． （2）， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9， ∴x﹣＝±3， ∴x1＝3+，x2＝﹣3+． 18．证明：四边形是矩形， ，，， ，分别是边，上的中点 AF=CE 四边形是平行四边形． ， 19．（1）解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）． 将，代入，得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； （2）当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 20．(1) (2)小丽的说法不正确，理由： 从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛． 小丽同学训练前成绩为分，从训练前成绩统计图看，1~3分有4人，3~5分有5人，，因此根据小丽训练前的成绩她一定落选． 小丽同学训练后成绩为分，从训练后成绩统计图看，， 因此成绩的中位数在“7~8”分之间，她很有可能排在前12名，有被录取的可能性． (3)从平均数看，8分=8分，李敏，张颖平均水平相同． 结合众数看，9分8分，李敏成绩更好，应该选李敏． 结合中位数看，9分8分，李敏成绩高分较多，应该选择李敏． 结合方差看，，张颖成绩更稳定，应该选择张颖． 21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣2m+1＝0， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝8m﹣4． （2）∵方程x2+2mx+m2﹣2m+1＝0的两个实数根x1、x2互为倒数， ∴x1x2＝1，即m2﹣2m+1＝1， 解得：m＝2或m＝0， ∵Δ＞0， ∴8m﹣4＞0， ∴m，∴m的值为2． 22．解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，由图象可知，函数过（24，640），（30，160）， ∴． ∴k＝﹣80，b＝2560． ∴y＝﹣80x+2560． （2）由题意，∵利润＝（售价一成本）×销售量，成本为22元， ∴利润w＝（x﹣22）y＝（x﹣22）（﹣80x+2560） ＝﹣80x2+2560x+1760x﹣56320 ＝﹣80x2+4320x﹣56320 ＝﹣80（x﹣27）2+2000． ∴当x＝27时，w取最大值，最大值为2000． 答：商店定价为27元才能使周销售利润最大，最大周销售利润是2000元． 23．解：（1）由题意，根据韦达定理，若x1，x2是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，则x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． ∵a+b＝5，ab＝2， ∴以a，b为根的一元二次方程为x2﹣5x+2＝0． （2）∵a+b＝5，ab＝2， ∴b＝5﹣a，代入ab＝2得a（5﹣a）＝2． ∴a2﹣5a+2＝0，则a2＝5a﹣2，同理b2＝5b﹣2． ∴a2+2a+9＝5a﹣2+2a+9＝7a+7＝7（a+1）．同理，b2+2b+9＝7（b+1）． ∴（a2+2a+9）（b2+2b+9）＝49（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1． 又∵a+b＝5，ab＝2， ∴ab+a+b+1＝2+5+1＝8，即（a2+2a+9）（b2+2b+9）＝49×8＝392． ∴． 24．(1)解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ，解得， 抛物线解析式为； (2)钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方，计算： 令，则， 解得或（舍去）， ， 钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； （3）设解析式为， ，解得， 解析式为， 设，则， ， ， ， ， 由（）得：当时，， ， 可完全停入，可完全遮挡， ， 当时，的最大值为，此时点纵坐标为， ， 钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 25．（1）解：当时，， ∴ 解得或， ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过D点作轴交于点M， 设，则， ∴， ∴面积，△DBO面积， ∵面积是面积的一半， ∴ ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）∵， ∴， 在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴， 过点B作轴，过点C作轴，交于N点， ∵， 在上取点H，使，如图 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴； 综上所述：E点坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $