第十五章 轴对称 章末评价试题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15章 轴对称 章末评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．古人将对称之美融入书法之中，空间分割均衡与对称是篆书的独特魅力．下列四个选项中的字分别为“盛、京、沈、阳”四字的篆书形式，其中可以看成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知与关于直线l对称，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（    ） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 6．如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 7．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 8．如图，将沿直线折叠，使点与点重合，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 11．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 14．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 15．如图，，定点为内一点，在射线和上分别确定点，，使得的周长最小，则此时的度数为________． 16．如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 17．如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是______． 三、解答题 18．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 19．如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 20．如图，中，，，平分交于点E，交于点F，求证：是等腰三角形． 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于轴对称的； (3)求出的面积． 22．如图，在中，，． (1)尺规作图：在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 23．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． (1)求证：， (2)若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 24．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． (1)______（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 25．【探究型问题】 (1)小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形中，于点，为上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．求的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点作于点，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． (2)参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形中，，于点，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C C A C D B 题号 11 12 答案 D B 1．B 轴对称图形的定义：就是沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形. A：“盛”找不到对称轴，对折后两侧无法重合，不是轴对称图形； B：“京”沿中间竖直直线对折后，左右两侧完全重合，是轴对称图形； C：“沈”是左右结构，左右部分不对等，无法对折重合，不是轴对称图形； D：“阳”是左右结构，左右部分不对等，无法对折重合，不是轴对称图形. 2．C 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 解：点关于x轴的对称点是． 故选：C． 3．C 本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和为180度求出，再根据轴对称图形的性质可得． 解：∵在中，，， ∴， ∵与关于直线l对称， ∴， 故选C． 4．B 根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 5．C 本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系． 解：已知，所以是等腰三角形． 又因为，所以是等腰底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即． 因为点在路灯上，所以． 因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”． 故选：C． 6．C 本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 解：∵三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使比赛公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 7．A 本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 8．C 此题主要考查了翻折变换的性质，利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可．根据题意得出是解题关键． 解：因为将沿直线折叠，使点与点重合， 所以， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 9．D 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定， 先根据线段垂直平分线的判定得直线是线段的垂直平分线，可判断A，B，再根据“边边边”证明全等说明C，不能说明的关系，判断D即可． ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． 则A，B正确； ∵， ∴． 可知C正确； 不能确定的关系， 所以D不正确． 故选：D． 10．B 本题考查命题的有关知识，熟练掌握逆命题的意义并灵活运用是解题关键． 分别写出各命题的逆命题，并判断其真假． 的逆命题：相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角）， 逆命题不成立，不符合题意； 的逆命题：角的平分线上的点在角的内部，且到角的两边距离相等，∵角平分线的性质定理成立， 逆命题成立，符合题意； 的逆命题：锐角三角形是等边三角形，∵锐角三角形不一定等边（如三锐角不等）， 逆命题不成立，不符合题意； 的逆命题：对应角相等的三角形全等，∵对应角相等的三角形相似但不一定全等， 逆命题不成立，不符合题意； 故逆命题成立的只有． 故选． 11．D 本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 12．B 由等边三角形的性质得，，，再结合角的转换可证明，得．结合，推出，再由内角和得，最终由三角形内角和即可求解． 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵ ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“”全等实现角度转化，将已知角与目标角建立关联，再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用． 13．或 或 或或 根据等边三角形的判定，解答即可； 解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 14．假 交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 15． 分别作点关于、的对称点、，连接、交于，交于，的周长最小值等于的长，然后依据中，，即可得出结果． 解：分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于，   ，，， 根据轴对称的性质可得，， 的周长的最小值， 由轴对称的性质可得， 中，， . 16． 先证明，从而得到，再根据垂线段最短得到，点E为中点，求出的长，再根据等边三角形求出的长，从而求得m． 解：为等边三角形， ， ， ， 和为等边三角形，， ， ， ， ， 当时，最短， 此时点E是中点， ， ， ． 17．5 连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线，且时，的值最小，最小值为的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，且时，的值最小，最小值为的长， ∵在中，，面积是10， ∴此时， ∴， ∴的最小值是5． 18．(1) (2) （1）根据对称性和三角形的周长公式，得到的周长，即可得出结果； （2）根据对称性和三角形的面积公式进行求解即可. （1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴的面积． 19．证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 证明：略． 20． 证明：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，根据余角性质得出，根据对顶角相等得出，求出，根据等角对等边得出，即可证明结论． 略 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义，余角性质，等腰三角形的判定．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 21．(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3)的面积为 （1）略 （2）略 （3）解：的面积为． 22．(1) 点D即为所求，如图所示： (2) 证明：在中，，， ， 由（1）得，， ， ∴， 平分． 本题考查了作图—线段垂直平分线，掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角和角平分线的定义是解决本题的关键． （1）分别以点B、点C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于两点，作过这两点的直线，此时直线交和于点E和点D，此时，为的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质可得； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据可得，进而即可得证． （1）略 （2）略 23．(1)见详解 (2) （1）利用等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，即可得出，由即可得出． （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 24．(1) (2)t的值为 (3)当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形 （1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； （1）解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； （2）解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 25．(1)，解法见解析 (2)图见解析，猜想，证明见解析 （1）方法一：连接并延长交于，由是的垂直平分线，得，根据三角形外角的性质，得，同理：，进而即可求解；方法二：连接，由垂直平分线和等边三角形性质得，作辅助线、，利用角平分线性质得，证明，通过角度代换求出答案 ． （2）补全图形如图，连接，，易证，得，同理：，从而得，根据三角形内角和定理与平角的定义，以及等腰三角形的性质，即可得到结论． （1）解：方法一：连接并延长交于， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在等边中，于点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：过F作于点M，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵在等边中，于点D， ∴是的垂直平分线，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， （2）解：补全图形如图，猜想，证明如下： 连接，设交于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴; ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $